直角四面体面积公式推导

如图是一个四面体OABC,其中 OA⊥OB⊥OCOA \perp OB \perp OCOA⊥OB⊥OC 。设 ∣OA∣=x,∣OB∣=y,∣OC∣=z,∣AB∣=a,∣BC∣=b,∣CA∣=c|OA|=x, |OB|=y, |OC|=z, |AB|=a, |BC|=b, |CA|=c∣OA∣=x,∣OB∣=y,∣OC∣=z,∣AB∣=a,∣BC∣=b,∣CA∣=c。则面ABC的面积公式为：
SABC=12x2y2+y2z2+z2x2S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}SABC=21x2y2+y2z2+z2x2证明：
先给出海伦公式：S=p(p−a)(p−b)(p−c)S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}S=p(p−a)(p−b)(p−c)其中p=a+b+c2其中p=\frac{a+b+c}{2}其中p=2a+b+c。将其展开，得到
S=14(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(b+c−a)S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)} S=41(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(b+c−a)=142(a2b2+a2c2+b2c2)−(a4+b4+c4)=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}=412(a2b2+a2c2+b2c2)−(a4+b4+c4)
又由勾股定理知a2=x2+y2,b2=y2+z2,c2=z2+x2a^2=x^2+y^2, b^2=y^2+z^2,c^2=z^2+x^2a2=x2+y2,b2=y2+z2,c2=z2+x2。
带入得 a4+b4+c4=2(x4+y4+z4)+2(x2y2+y2z2+z2x2)a^4+b^4+c^4=2(x^4+y^4+z^4)+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)a4+b4+c4=2(x4+y4+z4)+2(x2y2+y2z2+z2x2) a2b2+b2c2+c2a2=(x4+y4+z4)+3(x2y2+y2z2+z2x2)a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(x^4+y^4+z^4)+3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)a2b2+b2c2+c2a2=(x4+y4+z4)+3(x2y2+y2z2+z2x2)
最终得到SABC=12x2y2+y2z2+z2x2S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}SABC=21x2y2+y2z2+z2x2
证毕。
后记：这是我在做题过程中闲极无聊得到的公式，虽然经网上查阅已有前人得出，但仍然想记录一下。

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