生成函数入门及应用生成函数

说实话这东西至少得学一天……

普通型生成函数 OGF

数列 f ( x ) = a x f(x)=a_x f(x)=ax的普通型生成函数为 g ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i g(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i g(x)=∑i=0∞aixi。
一般来说， f ( x ) f(x) f(x)是有特殊性质的。它会得到一些特殊的生成函数。在收敛意义下（假设函数会收敛） x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1] x∈[−1,1]时，由等比数列计算公式 ∑ i = 0 n − 1 a 0 q i = a 0 ( 1 − q n ) 1 − q \sum_{i=0}^{n-1}a_0q^i=\frac{a_0(1-q^n)}{1-q} ∑i=0n−1a0qi=1−qa0(1−qn)，生成函数有以下计算公式：
∑ i = 0 ∞ x i = 1 1 − x \sum_{i=0}^\infty x^i=\frac{1}{1-x} ∑i=0∞xi=1−x1，即 f ( x ) = 1 f(x)=1 f(x)=1的生成函数为 g ( x ) = 1 1 − x g(x)=\frac{1}{1-x} g(x)=1−x1。
∑ i = 0 n C n i x i = ( 1 + x ) n \sum_{i=0}^n C_n^ix^i=(1+x)^n ∑i=0nCnixi=(1+x)n，即 f ( x ) = C n x f(x)=C_n^x f(x)=Cnx的生成函数。这其实是二项式定理。
∑ i = 0 ∞ C n + i − 1 i x i = 1 ( 1 − x ) n \sum_{i=0}^\infty C_{n+i-1}^ix^i=\frac{1}{(1-x)^n} ∑i=0∞Cn+i−1ixi=(1−x)n1，即 f ( x ) = C n + x − 1 x f(x)=C_{n+x-1}^x f(x)=Cn+x−1x的生成函数。（广义二项式定理）
∑ i = 0 ∞ ( i + 1 ) x i = 1 ( 1 − x ) 2 \sum_{i=0}^\infty (i+1)x^i=\frac{1}{(1-x)^2} ∑i=0∞(i+1)xi=(1−x)21，即 f ( x ) = x + 1 f(x)=x+1 f(x)=x+1的生成函数。这是上式的特殊情况。
在第一个式子中，将 x x x代为其它式子，有：
∑ i = 0 ∞ x k i = 1 1 − x k \sum_{i=0}^\infty x^{ki}=\frac{1}{1-x^k} ∑i=0∞xki=1−xk1，即 f ( x ) = [ k ∣ x ] f(x)=[k|x] f(x)=[k∣x]的生成函数。
∑ i = m ∞ x i = x m 1 − x \sum_{i=m}^\infty x^i=\frac{x^m}{1-x} ∑i=m∞xi=1−xxm，即 f ( x ) = [ x ≥ m ] f(x)=[x\ge m] f(x)=[x≥m]的生成函数。
∑ i = 0 ∞ a i x i = 1 1 − a x \sum_{i=0}^\infty a^ix^i=\frac{1}{1-ax} ∑i=0∞aixi=1−ax1，即 f ( x ) = a x f(x)=a^x f(x)=ax的生成函数。
还有一些显然的式子，如：
∑ i = 0 n x i = 1 − x n + 1 1 − x \sum_{i=0}^n x^i=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} ∑i=0nxi=1−x1−xn+1，即 f ( x ) = 1 ( x ≤ n ) f(x)=1(x\le n) f(x)=1(x≤n)的生成函数。
将以上形式进行组合，还可以得到多种生成函数。得到生成函数后，从右反推到左得到原函数。
生成函数的意义在于将复杂的组合问题转化为简单的计算问题。普通型生成函数做组合问题，而指数型生成函数做排列问题。

练习题：求选n个水果的方案数。苹果和香蕉有无限个，但苹果必须成对拿，而香蕉必须五个一组地拿；橘子只有4个，梨只有一个。

设 f ( n ) f(n) f(n)表示选 n n n个水果的方案数。将每种水果的生成函数乘起来，有
g ( x ) = ∑ i = 0 ∞ x 2 i ∑ i = 0 ∞ x 5 i ∑ i = 0 4 x i ∑ i = 0 1 x i g(x)=\sum_{i=0}^\infty x^{2i}\sum_{i=0}^\infty x^{5i}\sum_{i=0}^4 x^i\sum_{i=0}^1 x^i g(x)=i=0∑∞x2ii=0∑∞x5ii=0∑4xii=0∑1xi
= 1 1 − x 2 1 1 − x 5 1 − x 5 1 − x ( 1 + x ) =\frac{1}{1-x^2}\frac{1}{1-x^5}\frac{1-x^5}{1-x}(1+x) =1−x211−x511−x1−x5(1+x)
= 1 ( 1 − x ) 2 =\frac{1}{(1-x)^2} =(1−x)21
由开篇第四个式子，得 f ( x ) = x + 1 f(x)=x+1 f(x)=x+1。

求斐波那契数列通项

斐波那契数列的生成函数为 g ( x ) = x + x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 5 x 5 + 8 x 6 + . . . g(x)=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+... g(x)=x+x2+2x3+3x4+5x5+8x6+...
由数列性质容易推知 x 2 g ( x ) + x g ( x ) + x = g ( x ) x^2g(x)+xg(x)+x=g(x) x2g(x)+xg(x)+x=g(x)
整理得 g ( x ) = x 1 − x − x 2 g(x)=\frac{x}{1-x-x^2} g(x)=1−x−x2x
我们需要将生成函数还原。设 g ( x ) = a 1 − c x + b 1 − d x g(x)=\frac{a}{1-cx}+\frac{b}{1-dx} g(x)=1−cxa+1−dxb
化简解得参数，于是得到递推式。具体请读者计算。

开篇第四个式子的解释

upd on 2019.4.18
广义二项式定理描述为 1 ( 1 − x ) n = ∑ i = 0 ∞ ( − n i ) x i \frac{1}{(1-x)^n}=\sum_{i=0}^\infty\binom{-n}{i}x^i (1−x)n1=i=0∑∞(i−n)xi
其中 ( − n i ) = ( − n ) ! i ! ( − n − i ) ! = ( − 1 ) n − 1 1 ( n − 1 ) ! ∞ i ! ( − 1 ) n + i − 1 1 ( n + i − 1 ) ! ∞ = ( n + i − 1 ) ! i ! ( − 1 ) i ( n − 1 ) ! = ( − 1 ) i ( n + i − 1 i ) \binom{-n}{i}=\frac{(-n)!}{i!(-n-i)!}=\frac{(-1)^{n-1}\frac{1}{(n-1)!}\infty}{i!(-1)^{n+i-1}\frac{1}{(n+i-1)!}\infty}=\frac{(n+i-1)!}{i!(-1)^i(n-1)!}=(-1)^i\binom{n+i-1}{i} (i−n)=i!(−n−i)!(−n)!=i!(−1)n+i−1(n+i−1)!1∞(−1)n−1(n−1)!1∞=i!(−1)i(n−1)!(n+i−1)!=(−1)i(in+i−1)
然后再吃掉一个负号就行了。

总之原来写的式子肯定是对的……这个是什么我就不知道了

指数型生成函数 EGF

函数 f ( x ) = a x f(x)=a_x f(x)=ax的指数型生成函数为 h ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i i ! h(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_ix^i}{i!} h(x)=∑i=0∞i!aixi。
由泰勒展开，新的公式是 ∑ i = 0 ∞ x i i ! = e x \sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}=e^x ∑i=0∞i!xi=ex。同样可以通过代换 x x x得到很多公式变形。以下为典型变形：
∑ i = 0 ∞ x 2 i ( 2 i ) ! = e x + e − x 2 \sum_{i=0}^\infty \frac{x^{2i}}{(2i)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2} ∑i=0∞(2i)!x2i=2ex+e−x；
∑ i = 0 ∞ x 2 i + 1 ( 2 i + 1 ) ! = e x − e − x 2 \sum_{i=0}^\infty \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\frac{e^x-e^{-x}}{2} ∑i=0∞(2i+1)!x2i+1=2ex−e−x。
数列{0,1,0,-1,0,1,0,-1….}的指数型生成函数为sin(x)，数列{1,0,-1,0,1,0,-1,0….}的指数型生成函数为cos(x)。

练习题：求选n个水果的方案数。苹果、香蕉、橙子、梨都有无限个，但苹果要选奇数个，香蕉要选偶数个。每个水果都不同。

因为是排列问题，所以用指数型生成函数。
h ( x ) = e x − e − x 2 e x + e − x 2 ( e x ) 2 h(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\frac{e^x+e^{-x}}{2}(e^x)^2 h(x)=2ex−e−x2ex+e−x(ex)2
= e 4 x − 1 4 =\frac{e^{4x}-1}{4} =4e4x−1
= ∑ i = 1 ∞ 4 i x i i ! 4 =\frac{\sum_{i=1}^\infty4^i\frac{x^i}{i!}}{4} =4∑i=1∞4ii!xi
= ∑ i = 1 ∞ 4 i − 1 x i i ! =\sum_{i=1}^\infty4^{i-1}\frac{x^i}{i!} =i=1∑∞4i−1i!xi
于是 f ( x ) = 4 x − 1 f(x)=4^{x-1} f(x)=4x−1。

生成函数的运算

upd on 2019.1.28
无论是OGF还是EGF，生成函数都可以如下计算：

F + G F+G F+G意义为可能是两种情况中的一种。
F G FG FG意义为同时选择两种情况。
e F e^F eF意义为自我组合（合并）。

练习题

大朋友与多叉树

叶子结点权值为 1 1 1，非叶子结点权值为儿子的权值的和，且其儿子个数 ∈ D \in D ∈D。求这样的根节点权值为 S S S的无标号且儿子形状有序的树的个数。

设 F F F表示根节点权值为 x x x的树的方案数OGF。考虑一个方案是什么，即可能是儿子数 ∈ D \in D ∈D的OGF，还有可能是一个权值为 1 1 1的叶子，其方案数为 1 1 1。 d d d个儿子是必须同时选择 d d d棵子树的， d d d可能是 D D D中的任何一个元素。由上，转移公式为 F = 1 @ 1 + ∑ d ∈ D F d F=1@1+\sum_{d\in D}F^d F=1@1+∑d∈DFd，其中 1 @ 1 1@1 1@1表示 1 x 1 1x^1 1x1。

于是用拉格朗日反演解出 F F F的第 S S S项即可。

城市规划

（2018.12.5）
求 n n n个点的有标号的简单连通无向图的个数。 n ≤ 130000 n\le 130000 n≤130000。

在本题中，“有标号简单连通无向图计数”的组合是“有标号简单无向图”，因此我们只需解决有标号简单无向图计数，然后用多项式取对数即可。
而有标号简单无向图计数非常简单，答案就是 2 ( n 2 ) 2^{n\choose 2} 2(2n)。其指数型生成函数为 G ( x ) = ∑ i = 0 ∞ 2 ( i 2 ) x i i ! G(x)=\sum_{i=0}^\infty2^{i\choose 2}\frac{x^i}{i!} G(x)=∑i=0∞2(2i)i!xi。