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一、生成函数应用场景
二、使用生成函数求解递推方程

参考博客 :

【组合数学】生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
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【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★
【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 )

一、生成函数应用场景

生成函数应用场景 :

求解递推方程
多重集 rrr 组合计数
不定方程解个数
整数拆分

多重集 rrr 组合计数 , 之前只能计数特殊情况下的组合数 , 也就是选取数 rrr 小于多重集每一项的重复度 , 才有组合数 N=C(k+r−1,r)N= C(k + r - 1, r)N=C(k+r−1,r) , 如果 rrr 大于重复度 , 就需要使用生成函数进行求解 ;

不定方程的解个数 , 之前只能求解没有约束的情况 , 如果对变量有约束 , 如 x1x_1x1 只能在某个区间取值 , 这种情况下 , 就必须使用生成函数进行求解 ;

整数拆分 , 将一个正数拆分多若干整数之和 , 拆分方案个数 , 也可以通过生成函数进行计算 ;

回顾多重集排列组合 :

可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列 ; 全排列=n!n1!n2!⋯nk!全排列 = \cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}全排列=n1!n2!⋯nk!n! , 非全排列 kr,r≤nik^r , \ \ r\leq n_ikr, r≤ni
可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合 ; N=C(k+r−1,r)N= C(k + r - 1, r)N=C(k+r−1,r)

二、使用生成函数求解递推方程

递推方程 : an−5an−1+6an−2=0a_n - 5a_{n-1} + 6a_{n-2} = 0an−5an−1+6an−2=0

初值 : a0=1,a1=2a_0 = 1, a_1 = 2a0=1,a1=2

{an}\{a_n\}{an} 数列为 {a0,a1,a2,a3,⋯,an,⋯}\{ a_0 , a_1, a_2, a_3 , \cdots , a_n , \cdots\}{a0,a1,a2,a3,⋯,an,⋯}

ana_nan对应的生成函数是 G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯G(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3x^3 + \cdotsG(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯

根据递推方程 , 同时为了使得后面的项可以约掉 , 使用 −5x-5x−5x 乘以 G(x)G(x)G(x) 生成函数 , 使用 +6x2+6x^2+6x2 乘以 G(x)G(x)G(x) , 得到如下三个式子 ,

−5x-5x−5x 乘以 G(x)G(x)G(x) 得到的第一项就是 xxx 的一次方项 , 将该项对应到 G(x)G(x)G(x) 中的 xxx 一次方项下面 ,

+6x2+6x^2+6x2 乘以 G(x)G(x)G(x) 得到的第一项就是 xxx 的二次方项 , 将该项对应到 G(x)G(x)G(x) 中的 xxx 二次方项下面 ;

G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ G(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3x^3 + \cdots G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯

−5xG(x)=−5a0x−5a1x2−5a2x3−⋯\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -5x \ G(x) = \ \ \ \ -5a_0x - 5a_1x^2 - 5a_2x^3 - \cdots −5x G(x)= −5a0x−5a1x2−5a2x3−⋯

6x2G(x)=+6a0x2+6ax3+⋯\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^2 \,G(x) = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \,6a_0x^2 + 6a_x^3 + \cdots 6x2G(x)= +6a0x2+6ax3+⋯

(1−5x+6x2)G(x)=a0+(a1−5a0)x(1-5x+6x^2)G(x) =a_0 + (a_1 - 5a_0)x(1−5x+6x2)G(x)=a0+(a1−5a0)x

上述横线下的式子是横线上面三个式子相加的结果 ;

观察上述右侧第三列 , 图中红框部分 ;

上述幂次对齐后 , 出现的等号右侧的第三列 +a2x2−5a1x2+6a0x2+ a_2 x^2 -5a_1x^2 + \,6a_0x^2+a2x2−5a1x2+6a0x2 , 将其中 x2x^2x2 提取出来得到 (a2−5a1+6a0)x2(a_2 - 5a_1 + 6a_0)x^2(a2−5a1+6a0)x2 , 正好对应递推方程 an−5an−1+6an−2=0a_n - 5a_{n-1} + 6a_{n-2} = 0an−5an−1+6an−2=0 ,

因此有 a2−5a1+6a0=0a_2 - 5a_1 + 6a_0 = 0a2−5a1+6a0=0 , 进而可以得到 (a2−5a1+6a0)x2=0(a_2 - 5a_1 + 6a_0)x^2 = 0(a2−5a1+6a0)x2=0

由此可以看出 , 如果三个式子全部相加 , 下图右侧蓝色矩形框内 , 全部都是 000 ;

目前右侧只剩下 a0+a1x−5a0xa_0 + a_1x -5a_0xa0+a1x−5a0x 三项 ; 其中的 a0=1,a1=−2a_0 = 1 , a_1 = -2a0=1,a1=−2 是初值 ;

最终等式右侧是 : 1−2x−5x=1−7x1 - 2x - 5x = 1-7x1−2x−5x=1−7x

将上述式子代入到 (1−5x+6x2)G(x)=a0+(a1−5a0)x(1-5x+6x^2)G(x) =a_0 + (a_1 - 5a_0)x(1−5x+6x2)G(x)=a0+(a1−5a0)x 中 , 使用 1−2x−5x=1−7x1 - 2x - 5x = 1-7x1−2x−5x=1−7x 替换等式右侧的式子 , 得到 :

(1−5x+6x2)G(x)=1−7x(1-5x+6x^2)G(x) =1-7x(1−5x+6x2)G(x)=1−7x

G(x)=1−7x1−5x+6x2G(x) = \cfrac{1-7x}{1-5x+6x^2}G(x)=1−5x+6x21−7x

使用给定生成函数 , 求对应的级数的方法 , 将上述式子展开 , 参考【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 ) 二、给定生成函数求级数方法 ,

先将分母进行因式分解 , 然后设置两个待定系数 , 通分后 , 根据 xxx 项系数写出方程组 , 最终解该方程组 , 最终可以得到 :

G(x)=1−7x1−5x+6x2=51−2x−41−3xG(x) = \cfrac{1-7x}{1-5x+6x^2} = \cfrac{5}{1-2x} - \cfrac{4}{1-3x}G(x)=1−5x+6x21−7x=1−2x5−1−3x4

51−2x\cfrac{5}{1-2x}1−2x5 对应的级数是 : ∑n=0∞5(2x)n=5∑n=0∞2nxn\sum\limits_{n=0}^\infty 5 (2x)^n = 5\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n x^nn=0∑∞5(2x)n=5n=0∑∞2nxn

41−3x\cfrac{4}{1-3x}1−3x4 对应的级数是 : ∑n=0∞(−4)(3x)n=−4∑n=0∞3nxn\sum\limits_{n=0}^\infty (-4) (3x)^n = -4\sum\limits_{n=0}^\infty 3^n x^nn=0∑∞(−4)(3x)n=−4n=0∑∞3nxn

最终生成函数的级数形式为 : G(x)=5∑n=0∞2nxn−4∑n=0∞3nxnG(x) = 5\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n x^n - 4\sum\limits_{n=0}^\infty 3^n x^nG(x)=5n=0∑∞2nxn−4n=0∑∞3nxn

递推方程的通解 : an=5⋅2n−4⋅3na_n = 5 \cdot 2^n - 4 \cdot 3^nan=5⋅2n−4⋅3n

基本思路 : 有原来的递推方程 , 导出关于生成函数的递推方程 ;

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