数学建模——评价模型之TOPSIS
文章目录
- 一、TOPSIS的应用场景
- 二、TOPSIS法的模型建立
- 1.对原始决策矩阵正向化
- 2.决策矩阵标准化
- 3.计算得分并归一化
- 三、TOPSIS与(组合)赋权法结合
- 代码
一、TOPSIS的应用场景
Topsis法,全称为Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution,中文常翻译为优劣解距离法,该方法能够根据现有的数据,对个体进行评价排序。根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法,是在现有的对象中进行相对优劣的评价。
下图中假设只有两个评价指标,因此是二维坐标。
TOPSIS法其中“理想解”和“负理想解”是TOPSIS法的两个基本概念。
- 所谓理想解是一设想的最优的解(方案),它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值
- 负理想解是一设想的最劣的解(方案),它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。
二、TOPSIS法的模型建立
主要步骤:
- 原始决策矩阵正向化
- 决策矩阵标准化
- 计算得分并归一化
1.对原始决策矩阵正向化
构造决策矩阵A=(aij)m×nA=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}A=(aij)m×n,每一列是一个评价指标,每一行是一条待评价样本。
有的数据是越大越好,有的数据是靠近某个值越好,有的是在一个区间中最好,这种不同的方向和区间让分析变得混乱,为了简化分析我们将数据进行正向化处理,都让他越大越好。
最常见的四种指标:
所谓的将原始矩阵正向化,就是要将所有的指标类型统一转化为
极大型指标。
- 极小型指标转化为极大型指标:
使用公式
max−x\max -x max−x
如果所有的元素均为正数,那么也可以使用1x\dfrac{1}{x}x1 - 中间型指标转化为极大型指标:
xˉi=1−∣xi−xbest ∣max(∣X−xbest ∣)\bar{x}_{i}=1-\frac{\left|x_{i}-x_{\text {best }}\right|}{\max \left(\left|X-x_{\text {best }}\right|\right)} xˉi=1−max(∣X−xbest ∣)∣xi−xbest ∣ - 区间型指标转化为极大型指标:
M=max{a−min{xi},max{xi}−b},x~i={1−a−xiM,xi<a1,a≤xi≤b1−xi−bM,,xi>bM=\max \left\{a-\min \left\{x_{i}\right\}, \max \left\{x_{i}\right\}-b\right\}, \tilde{x}_{i}= \begin{cases}1-\frac{a-x_{i}}{M}, & x_{i}<a \\ 1 & , a \leq x_{i} \leq b \\ 1-\frac{x_{i}-b}{M}, & , x_{i}>b\end{cases} M=max{a−min{xi},max{xi}−b},x~i=⎩⎪⎨⎪⎧1−Ma−xi,11−Mxi−b,xi<a,a≤xi≤b,xi>b
其中[a, b]是最佳区间。
2.决策矩阵标准化
标准化的目的是消除不同指标量纲的影响,常用方法有max-min标准化和Z-score标准化,本文介绍Z-score标准化。
假设有nnn个要评价的对象,mmm个要评价指标(已经正向化)构成的正向化矩阵如下:
X=[x11x12⋯x1mx21x22⋯x2m⋮⋮⋱⋮xn1xn2⋯xnm]X=\left[\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1 m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2 m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n 1} & x_{n 2} & \cdots & x_{n m} \end{array}\right] X=⎣⎢⎢⎢⎡x11x21⋮xn1x12x22⋮xn2⋯⋯⋱⋯x1mx2m⋮xnm⎦⎥⎥⎥⎤
,记对其进行标准化的矩阵为Z,Z中的每一个元素通过如下公式计算:
zij=xij/∑i=1nxij2z_{i j}=x_{i j} / \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i j}^{2}} zij=xij/i=1∑nxij2
例:下表是5位同学身体相关参数,请用TOPSIS法来对同学身体情况进行一个综合的评价。
正向化后矩阵:
得到标准化后的矩阵:
3.计算得分并归一化
假设有nnn个要评价的对象,mmm个要评价指标构成的标准化矩阵如下:
Z=[z11z12⋯z1mz21z22⋯z2m⋮⋮⋱⋮zn1zn2⋯znm]Z=\left[\begin{array}{cccc} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1 m} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2 m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{n 1} & z_{n 2} & \cdots & z_{n m} \end{array}\right] Z=⎣⎢⎢⎢⎡z11z21⋮zn1z12z22⋮zn2⋯⋯⋱⋯z1mz2m⋮znm⎦⎥⎥⎥⎤
定义最大值
Z+=(Z1+,Z2+,⋯,Zm+)=(max{z11,z21,⋯,zn1},max{z12,z22,⋯,zm2},⋯,max{z1m,z2m,⋯,zmm})\begin{array}{rlr} Z^{+} & =\left(Z_{1}^{+}, Z_{2}^{+}, \cdots, Z_{m}^{+}\right) \\ & =\left(\max \left\{z_{11}, z_{21}, \cdots, z_{n 1}\right\}, \max \left\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{m 2}\right\}, \cdots, \max \left\{z_{1 m}, z_{2 m}, \cdots, z_{m m}\right\}\right) \end{array} Z+=(Z1+,Z2+,⋯,Zm+)=(max{z11,z21,⋯,zn1},max{z12,z22,⋯,zm2},⋯,max{z1m,z2m,⋯,zmm})
定义最小值
Z−=(Z1−,Z2−,⋯,Zm−)=(min{z11,z21,⋯,zn1},min{z12,z22,⋯,zn2},⋯,min{z1m,z2m,⋯,znm})\begin{aligned} Z^{-} &=\left(Z_{1}^{-}, Z_{2}^{-}, \cdots, Z_{m}^{-}\right) \\ &=\left(\min \left\{z_{11}, z_{21}, \cdots, z_{n 1}\right\}, \min \left\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{n 2}\right\}, \cdots, \min \left\{z_{1 m}, z_{2 m}, \cdots, z_{n m}\right\}\right) \end{aligned} Z−=(Z1−,Z2−,⋯,Zm−)=(min{z11,z21,⋯,zn1},min{z12,z22,⋯,zn2},⋯,min{z1m,z2m,⋯,znm})
定义第iii个评价对象与最大值的距离Di+=∑j=1m(Zj+−zij)2D_{i}^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\left(Z_{j}^{+}-z_{i j}\right)^{2}}Di+=∑j=1m(Zj+−zij)2
定义第iii个评价对象与最小值的距离Di−=∑j=1m(Zj−−zij)2D_{i}^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\left(Z_{j}^{-}-z_{i j}\right)^{2}}Di−=∑j=1m(Zj−−zij)2
那么我们就可以计算得出第iii个评价对象未归一化的得分:Si=Di−Di++Di−S_{i}=\frac{D_{i}^{-}}{D_{i}^{+}+D_{i}^{-}}Si=Di++Di−Di−
很明显0≤Si≤10 \leq S_{i} \leq 10≤Si≤1,且SiS_iSi越大Di+D_i^+Di+越小,即越接近最大值。
最后我们可以将得分归一化:S~i=Si/∑i=1mSi\tilde{S}_{i}=S_{i} / \sum\limits_{i=1}^{m} S_{i}S~i=Si/i=1∑mSi,可以得知∑i=1mS~i=1\sum\limits_{i=1}^{m} \tilde{S}_{i} = 1i=1∑mS~i=1
建模完毕。
三、TOPSIS与(组合)赋权法结合
假设有nnn个要评价的对象,mmm个要评价指标构成的标准化矩阵如下:
Z=[z11z12⋯z1mz21z22⋯z2m⋮⋮⋱⋮zn1zn2⋯znm]Z=\left[\begin{array}{cccc} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1 m} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2 m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{n 1} & z_{n 2} & \cdots & z_{n m} \end{array}\right] Z=⎣⎢⎢⎢⎡z11z21⋮zn1z12z22⋮zn2⋯⋯⋱⋯z1mz2m⋮znm⎦⎥⎥⎥⎤
可以使用层次分析法或者熵权法给这mmm个评价指标赋权
Di+=∑j=1mωj(Zj+−zij)2D_{i}^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m} \omega_{j}\left(Z_{j}^{+}-z_{i j}\right)^{2}} Di+=j=1∑mωj(Zj+−zij)2
Di−=∑j=1mωj(Zj−−zij)2D_{i}^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m} \omega_{j}\left(Z_{j}^{-}-z_{i j}\right)^{2}} Di−=j=1∑mωj(Zj−−zij)2
代码
基于熵权法对上例进行求解(matlab)。
%基于熵权法对于TOPSIS的修正
clear;clc;
load X.mat;
%获取行数列数
r = size(X,1);
c = size(X,2);
%首先,把我们的原始指标矩阵正向化
%第二列中间型--->极大型
middle = input("请输入最佳的中间值:");
M = max(abs(X(:,2)-middle));
for i=1:rX(i,2) = 1-abs(X(i,2)-middle)/M;
end
%第三列极小型--->极大型
max_value = max(X(:,3));
X(:,3) = abs(X(:,3)-max_value);
%第四列区间型--->极大型
a = input("请输入区间的下界:");
b = input("请输入区间的下界:");
M = max(a-min(X(:,4)),max(X(:,4))-b);
for i=1:rif (X(i,4)<a)X(i,4) = 1-(a-X(i,4))/M;elseif (X(i,4)<=b&&X(i,4)>=a)X(i,4) = 1;elseX(i,4) = 1-(X(i,4)-b)/M;end
end
disp("正向化后的矩阵为:");
disp(X);
%然后对正向化后的矩阵进行熵权法赋权重
tempX = X; %代替X进行计算的辅助变量,避免X受到影响而发生改变
%测试:tempX = [1,2,3;-1,0,-6;5,-3,2];
%标准化矩阵,消除负数项,并且把数值控制在0-1区间
min = min(tempX);
max = max(tempX);
min = repmat(min,size(tempX,1),1);
max = repmat(max,size(tempX,1),1);
tempX = (tempX-min)./(max-min);
%求出矩阵的概率矩阵,即能取到该值的概率
sumX = repmat(sum(tempX),size(tempX,1),1);
pX = tempX./sumX;
%求出信息熵矩阵,信息熵越大,能获得的信息就越少
temp = pX.*mylog(pX);
n = size(tempX,1);
sum1 = sum(temp);
eX = sum1.*(-1/log(n));
%求出信息效用值
dX = 1-eX;
%求出每个指标的熵权
wX = dX./(sum(dX));
%打印输出
disp("每个指标依次的熵权为:");
disp(wX);
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