【学习笔记】原根 + 欧拉定理 + 威尔逊定理

欧拉定理：对于互质的两个正整数 aaa 和 mmm，若 (a,m)=1(a,m) = 1(a,m)=1，那么 aϕ(m)≡1(modm)a^{\phi(m)}\equiv 1\pmod maϕ(m)≡1(modm) 。注意 m>1m>1m>1 。

根据欧拉定理我们知道，aϕ(m)≡1(modm)a^{\phi(m)}\equiv 1\pmod maϕ(m)≡1(modm) 。因此，a1,a2,...a^1,a^2,...a1,a2,... 这样一个数列在模 mmm 意义下将有一个长度为 ϕ(m)\phi(m)ϕ(m) 的循环节。

我们定义最短的循环节长度为 ordmaord_maordma 。严格地，定义 aaa 在模 mmm 的意义下的阶是同余方程 ax≡0(modm)a^x\equiv 0\pmod max≡0(modm) 的最小正整数解。

显然，ordmaord_maordma 一定是 ϕ(m)\phi(m)ϕ(m) 的因数。特别地，当 ordma=ϕ(m)ord_ma=\phi(m)ordma=ϕ(m) 时，就称 aaa 为模 mmm 下的一个原根。

并不是所有数都存在原根。正整数有原根的充要条件为：它能表示为下列形式之一：2,4,pn,2pn2,4,p^n,2p^n2,4,pn,2pn 。其中 ppp 为奇素数。

那么如何判断一个数有多少原根？如果 aaa 是 mmm 的一个原根，当且仅当 (b,ϕ(m))=1(b,\phi(m))=1(b,ϕ(m))=1 时，aba^bab 在模 ppp 意义下也是原根。证明如下：根据幂运算的性质，ab∗ord(ab)≡1(modm)a^{b*ord(a^b)}\equiv 1\pmod mab∗ord(ab)≡1(modm) 。那么底数相同，得到 ϕ(m)∣b∗ord(ab)\phi(m)|b*ord(a^b)ϕ(m)∣b∗ord(ab) ，即是 ord(ab)=ϕ(m)(ϕ(m),b)ord(a^b)=\frac{\phi(m)}{(\phi(m),b)}ord(ab)=(ϕ(m),b)ϕ(m) 。当且仅当 (b,ϕ(m))=1(b,\phi(m))=1(b,ϕ(m))=1 时 ord(ab)=ϕ(m)ord(a^b)=\phi(m)ord(ab)=ϕ(m) 。

又因为 a1,a2,...,aϕ(m)a^1,a^2,...,a^{\phi(m)}a1,a2,...,aϕ(m) 在模 mmm 意义下互不相同，其中 as∣(s,ϕ(m))=1a^s|(s,\phi(m))=1as∣(s,ϕ(m))=1 是原根，而 sss 一共有 ϕ(ϕ(m))\phi(\phi(m))ϕ(ϕ(m)) 种取值，所以一共有 ϕ(ϕ(m))\phi(\phi(m))ϕ(ϕ(m)) 个原根（容易证明它们就是 mmm 的所有原根，因为模 mmm 最多有 ϕ(m)\phi(m)ϕ(m) 种取值）。

这同时启示我们，求原根时，只需要找到一个原根，就很容易得到全部原根。因为最小原根不超过 n0.25n^{0.25}n0.25 。

威尔逊定理：设正整数 p≥2p\geq 2p≥2。当且仅当 ppp 是素数时，(p−1)!≡p−1(modp)(p-1)!\equiv p-1\pmod p(p−1)!≡p−1(modp) 。否则如果 p=4p=4p=4 ，那么 (p−1)!≡2(modp)(p-1)!\equiv 2\pmod p(p−1)!≡2(modp) ；其余情况 (p−1)!≡0(modp)(p-1)!\equiv 0\pmod p(p−1)!≡0(modp) 。注意 p=4p=4p=4 要特判。

扩展欧拉定理：设 m>1m>1m>1 ，aaa 和 mmm 不互质，如果 b≥ϕ(m)b\geq \phi(m)b≥ϕ(m) ，那么 ab≡abmodϕ(m)+ϕ(m)(modm)a^{b}\equiv a^{b\bmod \phi(m)+\phi(m)}\pmod mab≡abmodϕ(m)+ϕ(m)(modm) 。

证明：考虑把 mmm 质因数分解，只要对于任意 piqip_i^{q_i}piqi 满足 ab≡abmodϕ(m)+ϕ(m)(modpiqi)a^{b}\equiv a^{b\bmod \phi(m)+\phi(m)}\pmod {p_i^{q_i}}ab≡abmodϕ(m)+ϕ(m)(modpiqi) 即可。

现在再分类讨论 piqip_i^{q_i}piqi 。

若 (piqi,a)=1(p_i^{q_i},a)=1(piqi,a)=1 那么根据欧拉定理有 aϕ(m)≡1(modm)a^{\phi(m)}\equiv 1\pmod maϕ(m)≡1(modm) 。又因为 ab≡a⌊b/ϕ(m)⌋∗ϕ(m)+bmodϕ(m)(modpiqi)a^{b}\equiv a^{\lfloor b/\phi(m)\rfloor *\phi(m)+b\bmod \phi(m)}\pmod {p_i^{q_i}}ab≡a⌊b/ϕ(m)⌋∗ϕ(m)+bmodϕ(m)(modpiqi) ，注意到欧拉函数是 积性函数 ，所以 ϕ(piqi)∣ϕ(m)\phi(p_i^{q_i})|\phi(m)ϕ(piqi)∣ϕ(m)，因此上述结论是显然的。
若 (piqi,a)≠1(p_i^{q_i},a)\neq 1(piqi,a)=1 ，则 aaa 一定是 pip_ipi 的倍数，注意到 ϕ(m)≥ϕ(piqi)=piqi−1(pi−1)≥qi\phi(m)\geq \phi(p_i^{q_i})=p_i^{q_i-1}(p_i-1)\geq q_iϕ(m)≥ϕ(piqi)=piqi−1(pi−1)≥qi ，所以 piqi∣aϕ(m)p_i^{q_i}|a^{\phi(m)}piqi∣aϕ(m) ，同时因为 b≥ϕ(m)b\geq \phi(m)b≥ϕ(m) 所以 piqi∣abp_i^{q_i}|a^bpiqi∣ab ，等式左右都为 0 所以是成立的。

证毕。

注意这个式子只对 b≥ϕ(m)b\geq \phi(m)b≥ϕ(m) 成立。（从第二条证明可以看出）。

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