整理的算法模板合集： ACM模板

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实际上是一个全新的精炼模板整合计划

一、矩阵树定理
二、常用定理
三、例题
- 1. Luogu P6178 【模板】Matrix-Tree 定理（外向树）
- 2. P4455 [CQOI2018]社交网络（内向树）
- 3. Luogu P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡（容斥，矩阵树定理）
- 4. P3317 [SDOI2014]重建
- 5. BZOJ3659 : Which Dreamed It（BEST 定理）

一、矩阵树定理

对于无向图 GGG

定义 GGG 的度数矩阵 DDD 满足：

dij={deg⁡ii=j0i≠jd_{i j}=\left\{\begin{array}{rl}\operatorname{deg}_{i} & i=j \\0 & i \neq j\end{array}\right. dij={degi0i=ji=j

即：矩阵 DDD 是除了对角线以外各个点值都为 000 的矩阵，D[i][i] 表示 iii 号点的度数。

定义 GGG 的邻接矩阵 CCC 满足：

cij={0i=jadjiji≠jc_{i j}=\left\{\begin{array}{rl}0 & i=j \\\text{adj}_{i j} & i \neq j\end{array}\right. cij={0adjiji=ji=j

即：矩阵 CCC 记录两点之间的度数，C[i][j] 表示 iii 号点与 jjj 号点之间的边数

定义 GGG 的基尔霍夫矩阵 L(G)=D−CL(G)=D-CL(G)=D−C, 则图 GGG 的生成树数量是 L(G)L(G)L(G) 的任意一个代数余子式。

矩阵树定理完整证明（包括下面的常用定理证明）：https://www.luogu.com.cn/blog/juruodewo/solution-p6178

二、常用定理

定理 1（矩阵树定理，无向图行列式形式） 对于任意的 iii，都有

t(G)=det⁡L(G)(1,2,⋯,i−1,i+1,⋯,n1,2,⋯,i−1,i+1,⋯,n)t(G) = \det L(G)\binom{1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n}{1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n} t(G)=detL(G)(1,2,⋯,i−1,i+1,⋯,n1,2,⋯,i−1,i+1,⋯,n)

其中记号 L(G)(1,2,⋯,i−1,i+1,⋯,n1,2,⋯,i−1,i+1,⋯,n)\displaystyle L(G)\binom{1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n}{1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n}L(G)(1,2,⋯,i−1,i+1,⋯,n1,2,⋯,i−1,i+1,⋯,n) 表示矩阵 L(G)L(G)L(G) 的第 1,⋯,i−1,i+1,⋯,n1,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n1,⋯,i−1,i+1,⋯,n 行与第 1,⋯,i−1,i+1,⋯,n1,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n1,⋯,i−1,i+1,⋯,n 列构成的子矩阵。也就是说，无向图的 Laplace 矩阵具有这样的性质，它的所有 n−1n-1n−1 阶主子式都相等。

定理 2（矩阵树定理，无向图特征值形式） 设 λ1,λ2,⋯,λn−1\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_{n-1}λ1,λ2,⋯,λn−1 为 L(G)L(G)L(G) 的 n−1n - 1n−1 个非零特征值，那么有

t(G)=1nλ1λ2⋯λn−1t(G) = \frac{1}{n}\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_{n-1}t(G)=n1λ1λ2⋯λn−1

定理 3（矩阵树定理，有向图根向形式） 对于任意的 kkk，都有

troot(G,k)=det⁡Lout(G)(1,2,⋯,k−1,k+1,⋯,n1,2,⋯,k−1,k+1,⋯,n)t^{root}(G,k) = \det L^{out}(G)\binom{1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n}{1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n} troot(G,k)=detLout(G)(1,2,⋯,k−1,k+1,⋯,n1,2,⋯,k−1,k+1,⋯,n)

因此如果要统计一张图所有的根向树形图，只要枚举所有的根 kkk 并对 troot(G,k)t^{root}(G,k)troot(G,k) 求和即可。

定理 4（矩阵树定理，有向图叶向形式） 对于任意的 kkk，都有

tleaf(G,k)=det⁡Lin(G)(1,2,⋯,k−1,k+1,⋯,n1,2,⋯,k−1,k+1,⋯,n)t^{leaf}(G,k) = \det L^{in}(G)\binom{1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n}{1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n} tleaf(G,k)=detLin(G)(1,2,⋯,k−1,k+1,⋯,n1,2,⋯,k−1,k+1,⋯,n)

因此如果要统计一张图所有的叶向树形图，只要枚举所有的根 kkk 并对 tleaf(G,k)t^{leaf}(G,k)tleaf(G,k) 求和即可。

定理 5 (BEST 定理） 设 GGG 是有向欧拉图，那么 GGG 的不同欧拉回路总数 ec(G)ec(G)ec(G) 是

ec(G)=troot(G,k)×∏v∈V(deg⁡(v)−1)!ec(G) = t^{\text{ root}}(G,k)\times \prod_{v\in V}(\deg (v) - 1)! ec(G)=t root(G,k)×v∈V∏(deg(v)−1)!

其中 troot(G,k)t^{ \text{root}}(G,k)troot(G,k) 表示以 root\text{root}root 为根的生成树的数量。

三、例题

1. Luogu P6178 【模板】Matrix-Tree 定理（外向树）

Problem

Solution

显然当边权为 111 时，本题即为生成树计数模板题。

本题中，计算的是所有生成树的边权之和，定义生成树的边权为所有边的边权的乘积，所以我们这里的度数矩阵中的值应该是度数 ×\times× 边权。所以对于每一条边 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)：

若图是有向图：

度数矩阵 DDD：
- 外向树中 D[y][y] += z, D[y][y] += z
- 内向树中 D[x][x] += z, D[x][x] += z
邻接矩阵 CCC：
- 无论是内外向树，显然均有：C[x][y] += z, C[x][y] += z;

我们计算出图 GGG 的基尔霍夫矩阵 L(G)=D−CL(G) = D − CL(G)=D−C ，计算 L(G)L(G)L(G) 的代数余子式即可。

即删去指定的根所在的行和列，求剩下的矩阵行列式，我们删去根所在的第一行和第一列，然后高斯消元计算代数余子式的行列式即可。

Code

// Problem: P6178 【模板】Matrix-Tree 定理
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P6178
// Memory Limit: 250 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e3 + 7, mod = 1e9 + 7;int n, m, s, t, k, ans;
int a[N][N];int qpow(int a, int b)
{int res = 1;while(b) {if(b & 1) res = res * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return res;
}int guass()
{int det = 1;for (int i = 2; i <= n; ++ i) {for (int j = i; j <= n; ++ j) {if(a[j][i]) {swap(a[i], a[j]);if(i != j) det = mod - det;break;}}int inv = qpow(a[i][i], mod - 2);for (int j = i + 1; j <= n; ++ j) {if(a[j][i]) {int tmp = a[j][i] * inv % mod;for (int k = i; k <= n; ++ k) {a[j][k] = (a[j][k] - a[i][k] * tmp % mod + mod) % mod;}}}}for (int i = 2; i <= n; ++ i) det = det * a[i][i] % mod;return det;
}signed main()
{scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &t);for (int i = 1; i <= m; ++ i) {int x, y, z;scanf("%lld%lld%lld", &x, &y, &z);if(t == 0) {a[x][x] = (a[x][x] + z) % mod;a[y][y] = (a[y][y] + z) % mod;//L(G) = D - Ca[x][y] = (a[x][y] - z + mod) % mod;a[y][x] = (a[y][x] - z + mod) % mod;}else {a[y][y] = (a[y][y] + z) % mod;//L(G) = D - Ca[x][y] = (a[x][y] - z + mod) % mod;}}cout << guass() << endl;return 0;
}

2. P4455 [CQOI2018]社交网络（内向树）

Problem

Solution

和 Luogu P6178 【模板】Matrix-Tree 定理几乎一摸一样，外向树改为内向树即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e3 + 7, mod = 1e4 + 7;int n, m, s, t, k, ans;
int a[N][N];int qpow(int a, int b)
{int res = 1;while(b) {if(b & 1) res = res * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return res;
}int guass()
{int det = 1;for (int i = 2; i <= n; ++ i) {for (int j = i; j <= n; ++ j) {if(a[j][i]) { swap(a[i], a[j]);if(i != j) det = mod - det;break;}}int inv = qpow(a[i][i], mod - 2);for (int j = i + 1; j <= n; ++ j) {if(a[j][i]) {int tmp = a[j][i] * inv % mod;for (int k = i; k <= n; ++ k) {a[j][k] = (a[j][k] - a[i][k] * tmp % mod + mod) % mod;}}}}for (int i = 2; i <= n; ++ i) det = det * a[i][i] % mod;return det;
}signed main()
{scanf("%lld%lld", &n, &m);for (int i = 1; i <= m; ++ i) {int x, y;scanf("%lld%lld", &x, &y);a[x][x] ++ ;a[y][x] -- ;}cout << guass() << endl;return 0;
}

3. Luogu P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡（容斥，矩阵树定理）

Problem

n≤17,P=109+7n\le 17, P = 10^9+7n≤17,P=109+7

Solution

题目就是要求由 n−1n-1n−1 个公司每个公司一条边建成的生成树的方案数。

显然求生成树的方案数，我们直接用矩阵树定理计算即可。

现在考虑满足 每个公司都只负责一条边的方案数 如何计算。

显然有：n≤17+计数问题=容斥n\le 17 + 计数问题 = \text{容斥}n≤17+计数问题=容斥

我们可以先用矩阵树定理计算 n−1n-1n−1 个公司包含的所有边集的生成树的个数，显然这里算出来的生成树，不一定 n−1n-1n−1 个公司都参与了建设，我们用容斥原理减去不合法的即可。

显然就是枚举有多少个公司没有参与建设，然后利用容斥原理奇加偶减，答案减去容斥原理计算出的结果，变成奇减偶加，即：减去 111 个公司没有参与，由剩下的 n−2n-2n−2 个公司建成的生成树的个数，加上 222 个公司没有参与，由剩下的 n−3n-3n−3 个公司建成的生成树的个数，减去 333 个公司没有参与，由剩下的 n−4n-4n−4 个公司建成的生成树的个数 ⋯\cdots⋯

我们可以通过二进制枚举来枚举具体选择了那几个公司的边，处理出此时的基尔霍夫矩阵，然后直接利用矩阵树定理高斯消元 O(n3)O(n^3)O(n3) 计算代数余子式的行列式即可。

注意我们矩阵树定理计算的时候是可以处理重边的，所以如果一条边被多个公司覆盖，就把它当成重边即可，这样都当成重边算，最后减下来是没有重边的。

Time

O(2n×n3log⁡P)O(2^{n}\times n^3\log P)O(2n×n3logP)

Code

// Problem: P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P4336
// Memory Limit: 250 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;const int N = 100 + 7, M = 1e5 + 7, mod = 1e9 + 7;int n, m[M], s, t, k, ans, a[N][N];
int siz[M];
int u[N][N], v[N][N];int qpow(int a, int b)
{int res = 1;while(b) {if(b & 1) res = res * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return res;
}int guass2(int n)// 辗转相除 = TLE
{int det = 1;for (int i = 2; i <= n; ++ i) {for (int j = i + 1; j <= n; ++ j) {while(a[j][i]) {int t = a[i][i] / a[j][i];for (int k = i; k <= n; ++ k)a[i][k] = (a[i][k] - t * a[j][k] + mod) % mod;swap(a[i], a[j]);det = -det;} }det = (det * a[i][i]) % mod;if(det == 0) return 0;}return (det + mod) % mod;
}int guass(int n)// 求逆元 = AC
{int det = 1;for (int i = 2; i <= n; ++ i) {for (int j = i; j <= n; ++ j) {if(a[i][j]) {swap(a[i], a[j]);if(i != j) det = mod - det;break;}}int inv = qpow(a[i][i], mod - 2);for (int j = i + 1; j <= n; ++ j) {if(a[j][i]) {int tmp = a[j][i] * inv % mod;for (int k = i; k <= n; ++ k) {a[j][k] = (a[j][k] - a[i][k] * tmp % mod + mod) % mod;}}}}for (int i = 2; i <= n; ++ i)det = det * a[i][i] % mod;return det;
}signed main()
{scanf("%lld", &n); for (int i = 1; i <= n - 1; ++ i) {scanf("%lld", &m[i]);for (int j = 1; j <= m[i]; ++ j) {scanf("%lld%lld", &u[i][j], &v[i][j]);int x = u[i][j], y = v[i][j];a[x][x] ++ ;a[y][y] ++ ;a[x][y] = (a[x][y] + mod - 1) % mod;a[y][x] = (a[y][x] + mod - 1) % mod;}} ans = guass(n);for (int i = 1; i <= (1 << (n - 1)) - 1; ++ i) {for (int j = 1; j <= n; ++ j) for (int k = 1; k <= n; ++ k) a[j][k] = 0;int cnt = 0;int tmp = i, j;for (j = 1; tmp; tmp >>= 1, ++ j) {if((tmp & 1) == 0) continue;cnt ++ ; for (int k = 1; k <= m[j]; ++ k) {int x = u[j][k], y = v[j][k];a[x][x] ++ ;a[y][y] ++ ;a[x][y] = (a[x][y] + mod - 1) % mod;a[y][x] = (a[y][x] + mod - 1) % mod;}}if(cnt == n - 1) continue;ans = (ans - ((((n - 1) - cnt) & 1) ? 1 : -1) * guass(n) + mod) % mod;}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

4. P3317 [SDOI2014]重建

5. BZOJ3659 : Which Dreamed It（BEST 定理）

Weblink

https://darkbzoj.tk/problem/3659

Problem

Solution

BEST 定理的模板题，注意题目中规定两种完成任务的方式算作不同当且仅当使用钥匙的顺序不同，即对每个欧拉回路，111 号房间可以沿着任意一条出边出发，从而答案还要乘以 111 号房间的出度。

O(n3log⁡P)O(n^3\log P)O(n3logP)

%https://www.cnblogs.com/clrs97/p/5348718.html

Code

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【学习笔记】矩阵树定理（Matrix-Tree）

目录

一、矩阵树定理

二、常用定理

三、例题

1. Luogu P6178 【模板】Matrix-Tree 定理（外向树）

2. P4455 [CQOI2018]社交网络（内向树）

3. Luogu P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡（容斥，矩阵树定理）

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