漫步数理统计二十四——伽玛、卡方与贝塔分布

本篇博文我们讲介绍伽玛(Γ\Gamma)，卡方(χ2\chi^2)与贝塔(β\beta)分布。在高等微积分中已经证明过，对于α>0\alpha>0，积分

∫∞0yα−1e−ydy

\int_0^\infty y^{\alpha-1}e^{-y}dy

存在且积分值为正数，这个积分称为α\alpha的伽玛函数，写成

Γ(α)=∫∞0yα−1e−ydy

\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty y^{\alpha-1}e^{-y}dy

如果α=1\alpha=1，显然

Γ(1)=∫∞0e−ydy=1

\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-y}dy=1

如果α>1\alpha>1，用分部积分法可得

Γ(α)=(α−1)∫∞0yα−2e−ydy=(α−1)Γ(α−1)

\Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\int_0^\infty y^{\alpha-2}e^{-y}dy=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)

因此如果α\alpha是比1大的正整数，那么

Γ(α)=(α−1)(α−2)⋯(3)(2)(1)Γ(1)=(α−1)!

\Gamma(\alpha)=(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(3)(2)(1)\Gamma(1)=(\alpha-1)!

因为Γ(1)=1\Gamma(1)=1，这表明我们可以取0!=10!=1。

我们用积分形式定义了Γ(α)\Gamma(\alpha)，现在我们引入新变量y=x/βy=x/\beta，其中β>0\beta>0，那么

Γ(α)=∫∞0(xβ)α−1ex/β(1β)dx

\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha-1}e^{x/\beta}\left(\frac{1}{\beta}\right)dx

或者等价的

1=∫∞01Γ(α)βαxα−1e−x/βdx

1=\int_0^\infty\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}dx

因为α>0,β>0,Γ(α)>0\alpha>0,\beta>0,\Gamma(\alpha)>0，所以

f(x)={1Γ(α)βαxα−1e−x/β00<x<∞elsewhere

f(x)= \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}&0

是连续型随机变量的pdf，有这种pdf形式的随机变量XX满足参数为α,β\alpha,\beta的伽玛分布，写作XX满足Γ(α,β)\Gamma(\alpha,\beta)分布。

注1：\textbf{注1：}伽玛分布是等待时间的概率模型；例如在寿命测试中，直到死亡的等待时间是用伽玛分布建模的随机变量。为了理解这个，假设泊松假定以及区间长度ww是时间区间，特别地令随机变量WW是得到kk变化量所需要的时间，其中kk是固定的正整数，那么WW的cdf为

G(w)=P(W≤w)=1−P(W>w)

G(w)=P(W\leq w)=1-P(W>w)

然而对于w>0w>0，事件W>wW>w等价于时间区间ww内少于kk变化量的概率，即如果随机变量XX是区间ww内的变化量，那么

P(W>w)=∑x=0k−1P(X=x)=∑x=0k−1(λw)xe−λwx!

P(W>w)=\sum_{x=0}^{k-1}P(X=x)=\sum_{x=0}^{k-1}\frac{(\lambda w)^xe^{-\lambda w}}{x!}

读者需要证明

∫∞λwzk−1e−z(k−1)!dx=∑x=0k−1(λw)xe−λwx!

\int_{\lambda w}^\infty\frac{z^{k-1}e^{-z}}{(k-1)!}dx=\sum_{x=0}^{k-1}\frac{(\lambda w)^xe^{-\lambda w}}{x!}

如果我们接受这个结论，那么对w>0w>0我们有

G(w)=1−∫∞λwzk−1e−zΓ(k)dz=∫λw0zk−1e−zΓ(k)dz

G(w)=1-\int_{\lambda w}^\infty\frac{z^{k-1}e^{-z}}{\Gamma(k)}dz=\int_0^{\lambda w}\frac{z^{k-1}e^{-z}}{\Gamma(k)}dz

且对于w≤0,G(w)=0w\leq 0,G(w)=0。如果我们改变积分变量，将z=λyz=\lambda y代入的

G(w)=∫w0λkyk−1e−λyΓ(k)dy,w>0

G(w)=\int_0^w\frac{\lambda^ky^{k-1}e^{-\lambda y}}{\Gamma(k)}dy,w>0

且对于w≤0,G(w)=0w\leq 0,G(w)=0。所以WW的pdf为

g(w)=G′(w)={λkyk−1e−λyΓ(k)00<w<∞elsewhere

g(w)=G^\prime(w)= \begin{cases} \frac{\lambda^ky^{k-1}e^{-\lambda y}}{\Gamma(k)}&0

即WW满足α=k,β=1/λ\alpha=k,\beta=1/\lambda的伽玛分布，如果WW是第一次变化的等待时间，即k=1k=1，那么WW的pdf为

g(w)={λe−λw00<w<∞elsewhere

g(w)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda w}&0

WW满足参数为λ\lambda的指数分布。

接下来计算伽玛分布的mgf。因为

M(t)=∫∞0etx1Γ(α)βαxα−1e−x/βdx=∫∞01Γ(α)βαxα−1e−x(1−βt)/βdx

\begin{align*} M(t) &=\int_0^\infty e^{tx}\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}dx\\ &=\int_0^\infty\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-x(1-\beta t)/\beta}dx \end{align*}

我们可以令y=x(1−βt)/β,t<1/βy=x(1-\beta t)/\beta,t或者x=βy/(1−βt)x=\beta y/(1-\beta t) 得到

M(t)=∫∞0β/(1−βt)Γ(α)βα(βy1−βt)α−1e−ydy

M(t)=\int_0^\infty\frac{\beta/(1-\beta t)}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}\left(\frac{\beta y}{1-\beta t}\right)^{\alpha-1}e^{-y}dy

即

M(t)=(11−βt)α∫∞01Γ(α)yα−1e−ydy=1(1−βt)α,t<1β

\begin{align*} M(t) &=\left(\frac{1}{1-\beta t}\right)^\alpha\int_0^\infty\frac{1}{\Gamma(\alpha)}y^{\alpha-1}e^{-y}dy\\ &=\frac{1}{(1-\beta t)^\alpha},t

现在

M′(t)=(−α)(1−βt)−α−1(−β)

M^\prime(t)=(-\alpha)(1-\beta t)^{-\alpha-1}(-\beta)

且

M″(t)=(−α)(−α−1)(1−βt)−α−2(−β)2

M^{''}(t)=(-\alpha)(-\alpha-1)(1-\beta t)^{-\alpha-2}(-\beta)^2

因此对于伽玛分布我们有

μ=M′(0)=αβ

\mu=M^\prime(0)=\alpha\beta

且

σ2=M″(0)−μ2=α(α+1)β2−α2β2=αβ2

\sigma^2=M^{''}(0)-\mu^2=\alpha(\alpha+1)\beta^2-\alpha^2\beta^2=\alpha\beta^2

例1：\textbf{例1：}令等待时间WW满足α=k,β=1/λ\alpha=k,\beta=1/\lambda的伽玛pdf，那么E(W)=k/λE(W)=k/\lambda。如果k=1k=1，那么E(W)=1/λE(W)=1/\lambda；即对于k=1k=1变化的期望等待时间等于λ\lambda的倒数。

例2：\textbf{例2：}令XX表示随机变量，使得

E(Xm)=(m+3)!3!3m,m=1,2,3,…

E(X^m)=\frac{(m+3)!}{3!}3^m,m=1,2,3,\ldots

那么XX的mgf为级数

M(t)=1+4!33!1!t+5!323!2!t2+6!333!3!t3+⋯

M(t)=1+\frac{4!3}{3!1!}t+\frac{5!3^2}{3!2!}t^2+\frac{6!3^3}{3!3!}t^3+\cdots

然而这是(1−3t)−4(1-3t)^{-4}的麦克劳林级数，假设−1<3t<1-1。因此XX满足α=4,β=3\alpha=4,\beta=3的伽玛分布。

注2：\textbf{注2：}伽玛分布不仅是等待时间的模型，也是许多非负连续型随机变量的模型。例如某些收入的分布可以用伽玛分布来建模，这是因为α,β\alpha,\beta提供了很大的灵活性，图11给出了几个伽玛概率密度函数。

图1

现在我们考虑伽玛分布的一个特例，即α=r/2\alpha=r/2，其中rr是一个正数且β=2\beta=2。对于一个连续型的随机变量，其pdf为

f(x)={1Γ(r/2)2r/2xr/2−1e−x/200<x<∞elsewhere

f(x)= \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(r/2)2^{r/2}}x^{r/2-1}e^{-x/2}&0

且mgf为

M(t)=(1−2t)−r/2,t<12

M(t)=(1-2t)^{-r/2},t

那么称该变量满足卡方分布，任意这种形式的f(x)f(x)称为卡方pdf，卡方分布的均值与方差分别为μ=αβ=(r/2)2=r,σ2=αβ2=(r/2)22=2r\mu=\alpha\beta=(r/2)2=r,\sigma^2=\alpha\beta^2=(r/2)2^2=2r，我们称参数rr为卡方分布的自由度。因为卡方分布在统计中扮演着重要角色且经常出现，所以为了简洁XX是χ2\chi^2意味着随机变量XX满足自由度为rr的卡方分布。

例3：\textbf{例3：}如果XX满足pdf

f(x)={14xe−x/200<x<∞elsewhere

f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4}xe^{-x/2}&0

那么XX是χ2(4)\chi^2(4)，这里μ=4,σ2=8,M(t)=(1−2t)−2,t<12\mu=4,\sigma^2=8,M(t)=(1-2t)^{-2},t。

例4：\textbf{例4：}如果XX有mgfM(t)=(1−2t)−8,t<12M(t)=(1-2t)^{-8},t，那么XX是χ2(16)\chi^2(16)。

如果随机变量XX是χ2(r)\chi^2(r)，那么c1<c2c_1时我们有

P(c1<X<c2)=P(X≤c2)−P(X≤c1)

P(c_1

这是因为P(X=c2)=0P(X=c_2)=0。为了计算概率，我们需要像

P(X≤x)=∫x01Γ(r/2)2r/2wr/2−1e−w/2dw

P(X\leq x)=\int_0^x\frac{1}{\Gamma(r/2)2^{r/2}}w^{r/2-1}e^{-w/2}dw

这样的值，这些值有表可供查询。

下面的结论之后还会用几次；因此我们用定理的形式给出。

定理1：\textbf{定理1：}令XX满足χ2(r)\chi^2(r)分布，如果k>−r/2k>-r/2，那么E(Xk)E(X^k)存在且等于

E(Xk)=2kΓ(r2+k)Γ(r2),if k>−r/2

E(X^k)=\frac{2^k\Gamma(\frac{r}{2}+k)}{\Gamma(\frac{r}{2})},if\ k>-r/2

证明：\textbf{证明：}注意

E(Xk)=∫∞01Γ(r2)2r/2x(r/2)+k−1e−x/2dx

E(X^k)=\int_0^\infty\frac{1}{\Gamma(\frac{r}{2})2^{r/2}}x^{(r/2)+k-1}e^{-x/2}dx

变量替换u=x/2u=x/2可得

E(Xk)=∫∞01Γ(r2)2r/2−12(r/2)+k−1u(r/2)+k−1e−udu

E(X^k)=\int_0^\infty\frac{1}{\Gamma(\frac{r}{2})2^{r/2-1}}2^{(r/2)+k-1}u^{(r/2)+k-1}e^{-u}du

这就是要求的揭露。||||

注意如果kk是一个非负整数，那么k>−(r/2)k>-(r/2)总是为真，因此χ2\chi^2分布的所有矩存在且kk阶矩如定理所示。

例5：\textbf{例5：}令XX是χ2(10)\chi^2(10)，那么通过查表可得，

P(3.25≤X≤20.5)=P(X≤20.5)−P(X≤3.5)=0.975−0.025=0.95

\begin{align*} P(3.25\leq X\leq 20.5) &=P(X\leq 20.5)-P(X\leq 3.5)\\ &=0.975-0.025=0.95 \end{align*}

如果P(a<X)=0.05P(a，那么P(X≤a)=0.95P(X\leq a)=0.95，通过查表可得a=18.3a=18.3。

例6：\textbf{例6：}令XX满足α=r/2\alpha=r/2的伽玛分布，其中rr是正整数且β>0\beta>0。定义随机变量Y=2X/βY=2X/\beta，我们要求YY的pdf。现在YY的cdf为

G(y)=P(Y≤y)=P(X≤βy2)

G(y)=P(Y\leq y)=P\left(X\leq\frac{\beta y}{2}\right)

如果y≤0y\leq 0，那么G(y)=0G(y)=0；但是如果y>0y>0，那么

G(y)=∫βy/201Γ(r/2)βr/2xr/2−1e−x/βdx

G(y)=\int_0^{\beta y/2}\frac{1}{\Gamma(r/2)\beta^{r/2}}x^{r/2-1}e^{-x/\beta}dx

因此YY的pdf为

g(y)=G′(y)=β/2Γ(r/2)βr/2(βy/2)r/2−1e−y/2=1Γ(r/2)2r/2yr/2−1e−y/2

\begin{align*} g(y) &=G^\prime(y)=\frac{\beta/2}{\Gamma(r/2)\beta^{r/2}}(\beta y/2)^{r/2-1}e^{-y/2}\\ &=\frac{1}{\Gamma(r/2)2^{r/2}}y^{r/2-1}e^{-y/2} \end{align*}

即YY是χ2(r)\chi^2(r)。

伽玛分布最重要的一条性质是其加性。

定理2：\textbf{定理2：}令X1,…,XnX_1,\ldots,X_n是独立随机变量，假设对于i=1,…,ni=1,\ldots,n，XiX_i满足Γ(αi,β)\Gamma(\alpha_i,\beta)分布，令Y=Σni=1XiY=\Sigma_{i=1}^nX_i，那么YY满足Γ(Σni=1αiβ)\Gamma(\Sigma_{i=1}^n\alpha_i\beta)分布。

证明：\textbf{证明：}利用独立性与伽玛分布的mgf，对于t<1/βt我们有

MY(t)=E[exp{t∑i=1nXi}]=∏i=1nE[exp{tXi}]=∏i=1n(1−βt)−αi=(1−βt)−Σni=1αi

\begin{align*} M_Y(t) &=E[\exp\{t\sum_{i=1}^nX_i\}]=\prod_{i=1}^nE[\exp\{tX_i\}]\\ &=\prod_{i=1}^n(1-\beta t)^{-\alpha_i}=(1-\beta t)^{-\Sigma_{i=1}^n\alpha_i} \end{align*}

这就是Γ(Σni=1αi,β)\Gamma(\Sigma_{i=1}^n\alpha_i,\beta)分布的mgf。||||

之后我们会用到χ2\chi^2分布的一个性质，为了方便我们将结论以推论的形式给出，因为β=2,Σαi=Σri/2\beta=2,\Sigma\alpha_i=\Sigma r_i/2。

推论1：\textbf{推论1：}令X1,…,XnX_1,\ldots,X_n是独立随机变量，对于i=1,…,ni=1,\ldots,n，假设XiX_i满足χ2(ri)\chi^2(r_i)分布，令Y=Σni=1XiY=\Sigma_{i=1}^nX_i，那么YY满足χ2(Σni=1ri)\chi^2(\Sigma_{i=1}^nr_i)分布。

最后在介绍一个重要的分布，即贝塔分布，它是由一对独立的Γ\Gamma随机变量推导来的。令X1,X2X_1,X_2是满足Γ\Gamma分布的两个独立随机变量，其联合pdf为

h(x1,x2)=1Γ(α)Γ(β)xα−11xβ−12e−x1−x2,0<x1<∞,0<x2<∞

h(x_1,x_2)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x_1^{\alpha-1}x_2^{\beta-1}e^{-x_1-x_2},0

其余地方为零，其中α>0,β>0\alpha>0,\beta>0。令Y1=X1+X2Y_1=X_1+X_2且Y2=X1/(X1+X2)Y_2=X_1/(X_1+X_2)，我们将说明Y1,Y2Y_1,Y_2是独立的。

空间\mathcal{S}是x1x2x_1x_2平面的第一象限，排除坐标轴上的点。那么

y1=u1(x1,x2)=x1+x2y2=u2(x1,x2)=x1x1+x2

\begin{align*} &y_1=u_1(x_1,x_2)=x_1+x_2\\ &y_2=u_2(x_1,x_2)=\frac{x_1}{x_1+x_2} \end{align*}

可以写成x1=y1y2,x2=y1(1−y2)x_1=y_1y_2,x_2=y_1(1-y_2)，所以

J=∣∣∣y21−y2y1−y1∣∣∣=−y1≢0

J= \begin{vmatrix} y_2&y_1\\ 1-y_2&-y_1 \end{vmatrix} =-y_1\not\equiv0

这个变换时一对一的且将\mathcal{S}映射到y1y2y_1y_2平面上的={(y1,y2):0<y1<∞,0<y2<1}\mathcal{T}=\{(y_1,y_2):0，那么Y1,Y2Y_1,Y_2的联合pdf为

g(y1,y2)=(y1)1Γ(α)Γ(β)(y1y2)α−1[y1(1−y2)]β−1e−y1={yα−12(1−y2)β−1Γ(α)Γ(β)yα+β−11e−y100<y1<∞,0<y2<1elsewhere

\begin{align*} g(y_1,y_2) &=(y_1)\frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}(y_1y_2)^{\alpha-1}[y_1(1-y_2)]^{\beta-1}e^{-y_1}\\ &=\begin{cases} \frac{y_2^{\alpha-1}(1-y_2)^{\beta-1}}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}y_1^{\alpha+\beta-1}e^{-y_1}&0

所以他们是独立的随机变量。Y2Y_2的边缘pdf为

g2(y2)=yα−12(1−y2)β−1Γ(α)Γ(β)∫∞0yα+β−11e−y1={Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)yα−12(1−y2)β−100<y2<1elsewhere0<y1<∞dy1

\begin{align*} g_2(y_2) &=\frac{y_2^{\alpha-1}(1-y_2)^{\beta-1}}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_0^\infty y_1^{\alpha+\beta-1}e^{-y_1}&0

这个pdf就是参数为α,β\alpha,\beta的贝塔分布。因为g(y1,y2)≡g1(y1)g2(y2)g(y_1,y_2)\equiv g_1(y_1)g_2(y_2)，所以Y1Y_1的pdf一定为

g1(y1)={1Γ(α+β)yα+β−11e−y100<y1<∞elsewhere

g_1(y_1)= \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(\alpha+\beta)}y_1^{\alpha+\beta-1}e^{-y_1}&0

这是参数值为α+β,1\alpha+\beta,1的伽玛分布。

很容易得出参数为α,β\alpha,\beta的贝塔分布其均值与方差分别为

μ=αα+β,σ2=αβ(α+β+1)(α+β)2

\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta},\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)^2}

最后这个例子中随机变量的分布是由伽玛随机变量变换推导出来的。

例7：\textbf{例7：}(狄利克雷函分布)令X1,X2,…,Xk+1X_1,X_2,\ldots,X_{k+1}是独立随机变量，每个都满足β=1\beta=1的伽玛分布，这些变量的联合pdf可能写成

h(x1,x2,…,xk+1)={∏k+1i=11Γ(αi)xαi−1ie−xi00<xi<∞elsewhere

h(x_1,x_2,\ldots,x_{k+1})= \begin{cases} \prod_{i=1}^{k+1}\frac{1}{\Gamma(\alpha_i)}x_i^{\alpha_i-1}e^{-x_i}&0

令

Yi=XiX1+X2+⋯+Xk+1,i=1,2,…,k

Y_i=\frac{X_i}{X_1+X_2+\cdots+X_{k+1}},i=1,2,\ldots,k

且Yk+1=X1+X2+⋯+Xk+1Y_{k+1}=X_1+X_2+\cdots+X_{k+1}表示k+1k+1个新变量，相关变换将={(x1,…,xk+1):0<xi<∞,i=1,…,k+1}\mathcal{A}=\{(x_1,\ldots,x_{k+1}):0 映射到空间

={(y1,…,yk,yk+1):0<yi,i=1,…,k,y1+⋯+yk<1,0<yk+1<∞}

\mathcal{B}=\{(y_1,\ldots,y_k,y_{k+1}):0

单值逆函数是x1=y1yk+1,…,xk=ykyk+1,xk+1=yk+1(1−y1−⋯−yk)x_1=y_1y_{k+1},\ldots,x_k=y_ky_{k+1},x_{k+1}=y_{k+1}(1-y_1-\cdots-y_k)，使得雅克比为

J=∣∣∣∣∣∣∣∣∣yk+10⋮0−yk+10yk+1⋮0−yk+1⋯⋯⋯⋯00⋮yk+1−yk+1y1y2⋮yk(1−y1−⋯−yk)∣∣∣∣∣∣∣∣∣=ykk+1

J= \begin{vmatrix} y_{k+1}&0&\cdots&0&y_1\\ 0&y_{k+1}&\cdots&0&y_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&y_{k+1}&y_{k}\\ -y_{k+1}&-y_{k+1}&\cdots&-y_{k+1}&(1-y_1-\cdots-y_k) \end{vmatrix} =y_{k+1}^k

因此Y1,…,Yk,Yk+1Y_1,\ldots,Y_k,Y_{k+1}的联合pdf为

yα1+⋯+αk+1−1k+1yα1−11⋯yαk−1k(1−y1−⋯−yk)αk+1−1e−yk+1Γ(α1)⋯Γ(αk)Γ(αk+1)

\frac{y_{k+1}^{\alpha_1+\cdots+\alpha_{k+1}-1}y_1^{\alpha_1-1}\cdots y_k^{\alpha_k-1}(1-y_1-\cdots-y_k)^{\alpha_{k+1}-1}e^{-y_{k+1}}}{\Gamma(\alpha_1)\cdots\Gamma(\alpha_k)\Gamma(\alpha_{k+1})}

其余地方为零，这里(y1,…,yk,yk+1)∈(y_1,\ldots,y_k,y_{k+1})\in\mathcal{B}。Y1,…,YkY_1,\ldots,Y_k 的联合pdf为

g(y1,…,yk)=Γ(α1+⋯+αk+1)Γ(α1)⋯Γ(αk+1)yα1−11⋯yαk−1k(1−y1−⋯−yk)αk+1−1

g(y_1,\ldots,y_k)=\frac{\Gamma(\alpha_1+\cdots+\alpha_{k+1})}{\Gamma(\alpha_1)\cdots\Gamma(\alpha_{k+1})}y_1^{\alpha_1-1}\cdots y_k^{\alpha_k-1}(1-y_1-\cdots-y_k)^{\alpha_{k+1}-1}

0<yi,i=1,…,k,y1+⋯+yk<10，函数gg在其他地方等于零。有这种联合pdf形式的随机变量Y1,…,YkY_1,\ldots,Y_k 有狄利克雷pdf，而且从Y1,…,Yk,Yk+1Y_1,\ldots,Y_k,Y_{k+1}的联合pdf 可以看出Yk+1Y_{k+1}满足参数为α1+⋯+αk+αk+1,β=1\alpha_1+\cdots+\alpha_k+\alpha_{k+1},\beta=1的伽玛分布，Yk+1Y_{k+1}与Y1,Y2,…,YkY_1,Y_2,\ldots,Y_k无关。

漫步数理统计二十四——伽玛、卡方与贝塔分布相关推荐

漫步数理统计二十五——正态分布
正态分布的动机源于中心极限定理(我们后面会介绍这个定理),这个定理说明正态分布为应用于统计推断提供了重要的一族分布,我们首先从标准正态分布开始. 考虑积分 I=∫∞−∞12π‾‾‾√exp(−z22) ...
漫步最优化二十四——二分搜索
你喜欢有小情绪,\textbf{你喜欢有小情绪,} 像夜晚的月亮,\textbf{像夜晚的月亮,} 但各有各的精彩.\textbf{但各有各的精彩.} 你情感丰富,\textbf{你情感丰富,} 时常 ...
漫步数理统计二十八——混合分布
假设有kk个分布,它们的pdf分别为f1(x),f2(x),-,fk(x)f_1(x),f_2(x),\ldots,f_k(x),支撑为1,2,-,k\mathcal{S_1,S_2,\ldot ...
漫步数理统计二十二——二项及相关分布
之前我们介绍了均匀分布与超几何分布,这篇文章我们讨论一些其他在统计中经常使用的分布,首先从二项与相关分布开始. 伯努利试验是一个随机试验,输出为两个相互独立且有穷中的一个,例如成功或失败(男或女,生或 ...
漫步线性代数二十四——行列式应用
本篇文章介绍四个应用:AA的逆,求解Ax=bAx=b,盒子的体积以及主元.他们都是线性代数里面非常关键的计算,而行列式给出了这些答案的公式. 1.计算A−1A^{-1}.2×22\times 2矩阵展 ...
漫步数理统计二十九——函数期望
令X=(X1,-,Xn)′\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^\prime表示某试验的随机变量,我们一般对X\mathbf{X}的函数感兴趣,表示为T=T(X)T=T(\mathb ...
漫步数理统计二十——多元随机变量
两个随机变量的概念立即可以扩展到nn个随机变量,下面就是nn个随机变量空间的定义. 定义1:\textbf{定义1:}考虑一个随机试验,其样本空间为C\textbf{C},随机变量XiX_i给每个元素 ...
漫步数学分析二十四——连续函数空间
固定集合A⊂RnA\subset R^n并且考虑所有函数f:A→Rmf:A\to R^m的集合VV,那么VV可以看成一个向量空间.在VV中,零向量就是对于所有的x∈Ax\in A函数等于0的函数.另外 ...
漫步微积分二十四——定积分引言
在之前的文章中我们提到过,微积分就是与曲线有关的两种计算方法即曲线上切线的斜率曲线围成的面积当然,这将主题描述的过于简单,因为它强调微积分作为几何的工具,没有说它在科学研究中起着不可或缺的作用. ...

漫步数理统计二十四——伽玛、卡方与贝塔分布

漫步数理统计二十四——伽玛、卡方与贝塔分布相关推荐

最新文章

热门文章