[SDOI2015] 序列统计
由题意可得出递推式\(f[i ,j]=\sum_{e\in S} f[i-1,\frac{j}{e}]\),初值\(f[0,0]=1\),答案为\(f[n,x]\),具体意义不表。
分析可知\(f[1,e(e\in S)]=1\),\(f[i,ab]=\sum_{a\in S,b\in S}f[i-1,a]f[1,b]\);
设模数\(m\)(指数)的一个原根为\(g\),构造\(e'=\log_g(e)\in S', e\in S\),改写递推式\(f[1,e'\in S']=1\),\(f[i,a'+b']=\sum_{a',b\in S'}f[i-1,a']f[1,b']\) 。就能套卷积做了*(^e^)*。
做法的正确性:因为\(g^i(0\le i<m-1)\)能取遍\([1,m-1]\)所有数,故\(e\in S\)都有存在唯一在\([0,m-1)\)里的离散对数。
于是此题就是离散快速傅利叶的模板了。
最后谈谈\(g\)的求法很暴力,枚举原根\(g\),然后小大枚举阶(阶的个数是\(O(\sqrt M)\)级的)来判断是否过早地产生循环,如下
int getG(int m) {vector<int> r;for(int i=2; i*i<=m-1; ++i) if((m-1)%i==0) {r.push_back(i);if(i*i!=m-1) r.push_back((m-1)/i);}sort(r.begin(),r.end());for(int i=2; ; ++i) {bool flag=1;for(auto rr: r) if(fpow(i,rr,m)==1) {flag=0; break;}if(flag) return i;}
}
就酱,实现留坑。
转载于:https://www.cnblogs.com/nosta/p/10568073.html
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