期权Greeks(Delta、Gamma、Vega、Theta) 介绍与Python实现

期权希腊字母度量了不同因素的变化对期权价格的影响。现将主要希腊字母的含义、计算与实现方法以及一些业内常用处理方式总结如下。

文章目录

1. Delta
- 定义与计算
- 意义与用法
2. Gamma
- 定义与计算
- 意义与用法
3. Vega
- 定义与计算
- 意义与用法
4. Theta
- 定义与计算
- 意义与用法
5. Python实现
参考

1. Delta

定义与计算

Delta衡量期权理论价值相对于标的资产价格的变化率，Δ=∂V∂S\Delta =\frac{\partial V}{\partial S}Δ=∂S∂V。
基于BS Model，欧式期权，无分红下Delta的计算公式为：

Call	Put
Δ=Φ(d1)\Delta =\Phi (d_{1})Δ=Φ(d1)	Δ=−Φ(−d1)\Delta =-\Phi (-d_{1})Δ=−Φ(−d1)

其中，

d1=ln(S/K)+(r+σ2/2)τστd_{1} = \frac{ln(S/K) + (r + {\sigma ^{2}}/2)\tau }{ \sigma\sqrt{\tau } }d1=στln(S/K)+(r+σ2/2)τ;
Φ\PhiΦ是标准正态分布的累积分布函数，Φ(x)=12π∫−∞xe−y22dy\Phi (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{x }e^{-\frac{y^{2}}{2}}dyΦ(x)=2π1∫−∞xe−2y2dy;
SSS为标的资产价格；
KKK为行权价；
rrr为无风险利率，实际常用一年期国债利率来表示；
τ=T−t\tau=T-tτ=T−t，表示距离到期日的时间。实际常将单位转化为年，例如，距离到期日还有25天，则τ=25/365=0.068\tau=25/365=0.068τ=25/365=0.068；
σ\sigmaσ为标的资产的历史波动率。例如，计算50ETF期权的Greeks时，sigmasigmasigma常用过去60天50ETF对数收益率的标准差，再将其年化后来表示。

意义与用法

认购期权的Delta值介于0到1之间，认沽期权的值介于-1到0之间。越实值的期权，Delta的绝对值越接近于1，越虚值的期权，Delta的绝对值越趋近于0，平值期权的Delta的绝对值为0.5。基于这一特性，也常把Delta看作期权到期时实值的概率。

Delta具有可加性，可以被用来衡量头寸风险。例如，买入delta为0.5的A期权2张和delta为-0.4的B期权1张，那么总体持仓的风险状况可以表示为：0.5∗2−0.4=0.60.5*2-0.4=0.60.5∗2−0.4=0.6，这是一个多头头寸。

对于交易者来说，Delta也常代表着Delta中性策略的对冲比率，只要使头寸的整体Delta值保持为0，那么就建立了一个中性的套保策略。例如，1份ETF期权多头需要用Delta份ETF空头来对冲。

最后，可以用Delta来计算杠杆。我们知道期权具有一定的杠杆性，比如ETF上涨1%，期权上涨10%，那么期权的杠杆就是10倍。通过Delta，我们可以计算期权的杠杆倍数。假设目前50ETF的价格是3.000元，有一份期权现在的价格是0.100元，Delta为0.33。如果ETF上涨1%，也就是0.03元，期权价格就会上涨0.03*Delta，等于0.01元。从涨幅来看，期权合约上涨了10%。因此，期权合约的杠杆大概是10倍。

2. Gamma

定义与计算

Gamma衡量期权Delta相对于标的资产价格的变化率，也即期权理论价值对标的资产价格的二阶导数，Γ=∂Δ∂S=∂2V∂S2\Gamma = \frac{\partial \Delta}{\partial S} = \frac{\partial ^{2} V}{\partial S^{2}}Γ=∂S∂Δ=∂S2∂2V。

基于BS Model，欧式期权，无分红下Delta的计算公式为：
Γ=ϕ(d1)Sστ\Gamma = \frac{\phi(d_{1})}{S\sigma\sqrt{\tau }}Γ=Sστϕ(d1)
其中，

ϕ\phiϕ是标准正态分布的概率密度函数，ϕ(x)=e−x222π\phi(x) = \frac{e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\sqrt{2\pi}}ϕ(x)=2πe−2x2;

意义与用法

绝大多数的期权多头拥有正的Gamma，平值期权的Gamma最大，而深实值或深虚值期权的Gamma则趋近于0。随着到期日的临近，平值期权的Gamma还会急剧增加。

Gamma常被用于衡量对冲风险。当标的价格变化一个单位时，为了保证对冲的效果，需要调整对冲比率Delta，而新的Delta值便等于原来的Delta值加上(减去)Gamma值。因此Gamma值越大，Delta值变化越快，进行Delta中性对冲时的风险程度也越高。

3. Vega

定义与计算

Vega衡量期权理论价值相对于标的资产隐含(预期)波动率的变化率，ν=∂V∂σ\nu =\frac{\partial V}{\partial \sigma}ν=∂σ∂V。
基于BS Model，欧式期权，无分红下Delta的计算公式为：
ν=Sϕ(d1)τ\nu = S\phi (d_{1})\sqrt{\tau }ν=Sϕ(d1)τ

业内习惯把Vega理解为波动率变动1个百分点对应期权价值的变化量，所以根据此公式计算出的vega还需再除以100。

意义与用法

期权价格随着标的资产预期波动率的增加而上升，因此不论认购还是认沽，多头期权的Vega都是正数，空头期权的Vega都是负数。平值期权的Vega值最大，当期权处于较深的价内或价外时，Vega值接近于0。

4. Theta

定义与计算

Theta衡量期权时间价值的损耗，表示时间每经过一天，期权价值会损失多少，Θ=−∂V∂τ\Theta=-\frac{\partial V}{\partial \tau}Θ=−∂τ∂V。
基于BS Model，欧式期权，无分红下Theta的计算公式为：

Call	Put
Θ=−Sϕ(d1)σ2τ−rKe−rτΦ(d2)\Theta = -\frac{S\phi(d_{1})\sigma}{2\sqrt{\tau }} - rKe^{-r\tau }\Phi(d_{2})Θ=−2τSϕ(d1)σ−rKe−rτΦ(d2)	Θ=−Sϕ(d1)σ2τ+rKe−rτΦ(−d2)\Theta = -\frac{S\phi(d_{1})\sigma}{2\sqrt{\tau }} + rKe^{-r\tau }\Phi(-d_{2})Θ=−2τSϕ(d1)σ+rKe−rτΦ(−d2)

d2=ln(S/K)+(r−σ2/2)τστ=d1−στd_{2} = \frac{ln(S/K) + (r - {\sigma ^{2}}/2)\tau }{ \sigma\sqrt{\tau } }=d_{1} - \sigma\sqrt{\tau}d2=στln(S/K)+(r−σ2/2)τ=d1−στ
业内习惯Theta用来衡量每日的time decay，而BS Model中的时间单位是年，所以按此公式算出来的Theta需要再除以365。

意义与用法

不论是看涨还是看跌期权，随着时间的流逝，期权价值都会不断下降，所以对于期权多头，Theta值几乎都为负，而对于期权空头，则每天都在坐享时间价值的收入。一个例外是深度实值的欧式认沽期权，其Theta值可能为正。越接近到期日，期权的时间价值消逝的速度会越快，即Theta的绝对值会随时间消逝而变大。

5. Python实现

import numpy as np
import scipy.stats as sidef d(s,k,r,T,sigma):d1 = (np.log(s / k) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)return (d1,d2)def delta(s,k,r,T,sigma,n):'''认购期权的n为1认沽期权的n为-1'''d1 = d(s,k,r,T,sigma)[0]delta = n * si.norm.cdf(n * d1)return deltadef gamma(s,k,r,T,sigma):d1 = d(s,k,r,T,sigma)[0]gamma = si.norm.pdf(d1) / (s * sigma * np.sqrt(T))return gammadef vega(s,k,r,T,sigma):d1 = d(s,k,r,T,sigma)[0]vega = (s * si.norm.pdf(d1) * np.sqrt(T)) / 100return vegadef theta(s,k,r,T,sigma,n):'''认购期权的n为1认沽期权的n为-1'''d1 = d(s,k,r,T,sigma)[0]d2 = d(s,k,r,T,sigma)[1]theta = (-1 * (s * si.norm.pdf(d1) * sigma) / (2 * np.sqrt(T)) - n * r * k * np.exp(-r * T) * si.norm.cdf(n * d2)) / 365return theta

最后计算出的Greeks值，可以对照Options Calculator来查验纠错。

参考

WIKIPEDIA: Greeks
Investopedia: Greeks
知乎：期权之希腊字母Delta, Gamma, Vega和Theta解读