Greeks介绍，python实现方案

##对冲的介绍
以期权举例能更容易的理解对冲的意义，持有期权有两种形式：

naked position
covered position

第一种顾名思义就是单独持有期权，假设一个人write a call option on a stock，如果到期日时股票价格高于行权价格，那么这个人就会遭受损失，股票价格越高这个损失越多，理论上资产价格可以无限增长但不能低于0，所以这个人的风险就是无限大的。

如果这个人同时持有同种股票，那么当股票价格上升时虽然option遭到损失，但是持有的股票确可以受益，在一定的stock和option的比例下，这个人可以实现0风险，拿到一个risk-free rate。这就是对冲的意义。

在金融市场中，不同的机构或这个人对于风险的需求不同，而作为一个完善的金融市场能提供多种的可能性也是其基本的职能。不同产品的诞生，包括不同的结构化，不同的风险构成，不同的期限结构，需要大量的金融工程的人士来进行设计，估值，架构。而对于如何对冲自己持有的金融产品的风险则是基金，资管，银行等机构中的人士需要重点关注的对象。

##Greeks介绍
Greeks包含多种指标，其主要用来帮助专业人士来进行对冲工作，通过不同的greeks exposure我们可以进行不同的金融产品的买卖来有效的稀释风险，达到整体的风险等级需要。

###Delta
Delta: option价格的变化随着underlying asset价格变化的比率
举个例子，假设一个人sell 1000 call option，我们可以计算出delta for this option 是0.6，那么如果我想对冲掉风险，我们就可以买入underlying asset（0.6✖️1000=600）。这样一个组合就是delta neutral的。

Delta 的计算方法有两种：

Delta= change in call option price/ change in underlying asset price
Delta= N(d1) 之前文章提到的BSM模型中的一部分

随便画了一个call option的delta 的图，可以看出随着underlying asset价格的变化delta是不断变化的，所以为了保持delta中性我们也需要随时调整参数。

###Theta
Theta：option价格的变化随着到期时间的变化的比率
Theta 的计算方法也分为两种，第一种就是change in price/change in time。
第二种也要用到BSM模型中的一部分具体的公式很复杂，可以网上搜索一下很快就出来了。

介绍下theta的特点吧：

对于put和call，theta的影响是一样的
当underlying asset的价格等于执行价格时候，theta是最明显的，也就是在at-the-money的情况下

###Gamma
Gamma：delta的变化随着underlying asset价格变化的比率
公式同样，两种方法，一种是delta的导数，第二章运用BSM
Gamma，和delta同样的重要，delta仅仅能对冲掉价格小范围变化产生的风险，而gamma则能对冲掉价格大范围变化的风险。所以同时使用delta和gamma是非常有必要的。

Gamma也有很多特点，图片可以看出其在at-the-money时是最大的也就是说delta的变化最大。
###Vega
Vega：形容的是option价格的变化随着sensitivity变化的比率

###Rho
Rho：形容的是option价格的变化随着risk-free rate变化的比率

##最后附上python的code

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import math
from BSM.option import d1f,N,dN
#
#Functions for greeks
#
def BSM_delta (St,K,t,T,r,sigma):d1=d1f(St,K,t,T,r,sigma)delta=N(d1)return deltadef BSM_gamma(St,K,t,T,r,sigma):d1=d1f(St,K,t,T,r,sigma)gamma=dN(d1)/(St*sigma*math.sqrt(T-t))return gammadef BSM_theta(St,K,t,T,r,sigma):d1 = d1f(St, K, t, T, r, sigma)d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T - t)theta = -(St * dN(d1) * sigma / (2 * math.sqrt(T - t))+ r * K * math.exp(-r * (T - t)) * N(d2))return thetadef BSM_rho(St,K,t,T,r,sigma):d1 = d1f(St, K, t, T, r, sigma)d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T - t)rho = K * (T - t) * math.exp(-r * (T - t)) * N(d2)return rhodef BSM_vega(St,K,t,T,r,sigma):d1 = d1f(St, K, t, T, r, sigma)vega = St * dN(d1) * math.sqrt(T - t)return vega
#
#Plotting
#
def plot_greeks(function,greek):# model parametersSt = 100.0  # index levelK = 100.0  # option striket = 0.0  # valuation dateT = 1.0  # maturity dater = 0.05  # risk-less short ratesigma = 0.2  # volatility# Greek Calculationstlist = np.linspace(0.01, 1, 50)klist = np.linspace(80, 120, 50)V = np.zeros((len(tlist), len(klist)), dtype=np.float)for j in range(len(klist)):for i in range(len(tlist)):V[i, j] = function(St, klist[j], t, tlist[i], r, sigma)# 3D Plottingx, y = np.meshgrid(klist, tlist)fig = plt.figure(figsize=(9, 5))plot = Axes3D(fig)plot.plot_wireframe(x, y, V)plot.set_xlabel('strike $K$')plot.set_ylabel('maturity $T$')plot.set_zlabel('%s(K, T)' % greek)