一、傅里叶变换线性性质

傅里叶变换线性性质 :

两个序列之和的傅里叶变换 ,

等于

两个序列的傅里叶变换之和 ;

SFT[ax1(n)+bx2(n)]=aSFT[x1(n)]+bSFT[x2(n)]SFT[ax_1(n) + bx_2(n)] = aSFT[x_1(n)] + bSFT[x_2(n)]SFT[ax1(n)+bx2(n)]=aSFT[x1(n)]+bSFT[x2(n)]

代入傅里叶变换公式

SFT[x(n)]=X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnSFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}SFT[x(n)]=X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn

得到 :

SFT[ax1(n)+bx2(n)]=aX1(ejω)+bX2(ejω)SFT[ax_1(n) + bx_2(n)] = aX_1(e^{j\omega}) + bX_2(e^{j\omega})SFT[ax1(n)+bx2(n)]=aX1(ejω)+bX2(ejω)

二、傅里叶变换时移性质

傅里叶变换时移性质 :

序列信号在 " 时间 " 上 , 进行一系列 " 平移 " 之后 ,

平移只是影响序列信号傅里叶变换的 " 相频特性 " ,

平移没有影响序列信号傅里叶变换的 " 幅频特性 " ;

x(n)x(n)x(n) 序列线性移位 −n0-n_0−n0 后为 x(n−n0)x(n - n_0)x(n−n0) ,

x(n−n0)x(n - n_0)x(n−n0) 序列的傅里叶变换 SFT[x(n−n0)]SFT[x(n - n_0)]SFT[x(n−n0)] 是

原来的 x(n)x(n)x(n) 序列的傅里叶变换 SFT[x(n)]SFT[x(n)]SFT[x(n)] 乘以 e−jωn0e^{-j \omega n_0}e−jωn0 ;

使用公式表示为 :

SFT[x(n−n0)]=e−jωn0X(ejω)SFT[x(n - n_0)] = e^{-j \omega n_0} X(e^{j \omega})SFT[x(n−n0)]=e−jωn0X(ejω)

证明过程

傅里叶变换公式为 :

SFT[x(n)]=X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnSFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}SFT[x(n)]=X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn

x(n)x(n)x(n) 序列 , 在时间维度 nnn 的基础上 , 平移 n0n_0n0 , 得到的序列是 x(n−n0)x(n - n_0)x(n−n0) ,

代入傅里叶变换公式后得到 :

SFT[x(n−n0)]=∑n=−∞+∞x(n−n0)e−jωnSFT[x(n - n_0)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n - n_0) e^{-j \omega n}SFT[x(n−n0)]=n=−∞∑+∞x(n−n0)e−jωn

令 n′=n−n0n' = n - n_0n′=n−n0 , 则有 n=n′+n0n = n' + n_0n=n′+n0 , 代入到上面的式子中 :

SFT[x(n−n0)]=∑n=−∞+∞x(n′)e−jω(n′+n0)SFT[x(n - n_0)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n ') e^{-j \omega ( n' + n_0 )}SFT[x(n−n0)]=n=−∞∑+∞x(n′)e−jω(n′+n0)

展开 e−jω(n′+n0)e^{-j \omega ( n' + n_0 )}e−jω(n′+n0) 得到 :

SFT[x(n−n0)]=∑n=−∞+∞x(n′)e−jωn′e−jωn0①SFT[x(n - n_0)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n ') e^{-j \omega n' } e^{-j \omega n_0 } \ \ \ \ ①SFT[x(n−n0)]=n=−∞∑+∞x(n′)e−jωn′e−jωn0 ①

傅里叶变换公式为 :

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn

使用 n′n'n′ 替换上面公式中的 nnn , 可得到 ;

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n′)e−jωn′②X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n') e^{-j \omega n'} \ \ \ \ ②X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n′)e−jωn′ ②

将 ② 带入到 ① 中 , 可以得到

SFT[x(n−n0)]=X(ejω)e−jωn0SFT[x(n - n_0)] = X(e^{j\omega}) e^{-j \omega n_0 }SFT[x(n−n0)]=X(ejω)e−jωn0

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【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换线性性质 | 傅里叶变换时移性质 )

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一、傅里叶变换线性性质

二、傅里叶变换时移性质

证明过程

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