2022全国大学生数学建模A题的思路与解法
题目回顾与写在前面
- 首先，我们队在历经了千辛万苦之后，光荣得获得了 省三......
- 队伍构成 物理*2 + 计算机*1
- 队伍分工 计算机-->受力分析 物理-->数值计算
- 总评：图一乐，狠乐！物理系，计算机系嘛，不怎么看建模的啦！
- 如果只是考虑力学问题的话，我们分析得肯定还不太到位，但是这个题肯定很好分析
- 所以，这个题主要在数值计算上
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思路
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基本假设
1.海水是无粘及无旋的。
2.浮子在线性周期微幅波作用下会受到波浪激励力（矩）、附加惯性力（矩）、兴波阻尼力（矩）和静水恢复力（矩）。
3.忽略中轴、底座、隔层及 PTO的质量和各种摩擦。
4.初始浮子和振子平衡于静水中。
问题一的求解
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问题一浮子振子整体的受力分析 |
问题一振子在浮子参考系下的受力分析 |
数值求解
4级显式Runge-Kutta方法
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求解过程的代码：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
import matplotlibmatplotlib.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
matplotlib.rcParams["axes.unicode_minus"] = Falsedef runge_kutta4(df, a, b, h, y0):num = len(y0)x = np.arange(a, b+h, h)w = np.zeros( (x.size, num) )w[0, :] = y0for i in range(x.size - 1):s0 = df(x[i], w[i, :],i*h)s1 = df(x[i] + h/2., w[i, :] + h * s0 / 2.,i*h)s2 = df(x[i] + h/2., w[i, :] + h * s1 / 2.,i*h)s3 = df(x[i+1], w[i, :] + h * s2,i*h)w[i+1,:] = w[i,:] + h * (s0 + 2*(s1+s2) + s3) / 6.return x, wdef df(x, variables,i):th1, th2, om1, om2 = variablesA = np.zeros((2, 2))b = np.zeros(2)A[0, 0] = 2433+6201.535A[0, 1] = 2433A[1, 0] = 2433A[1, 1] = 2433b[0] = 6250*np.cos(1.4005*i)-10045*4*np.arctan(1)*th1*(th1<=0.999989731)-10045*4*np.arctan(1)*0.999989731*(th1>0.999989731)-656.3616*om1b[1] = -80000*th2-10000*om2dom1, dom2 = np.linalg.solve(A,b)return np.array([om1,om2,dom1,dom2])a, b = 0.0,180.0
h = 0.01th10 = 0.1
th20 = 0.1
om10 = 0.1
om20 = 0.1y0 = np.array([th10, th20, om10, om20])# 计算求解
t, w = runge_kutta4(df, a, b, h, y0)th1 = w[:, 0]
th2 = w[:, 1]
om1 = w[:, 2]
om2 = w[:, 3]plt.plot([h*i for i in range(len(th1))],th1,label="x1")
plt.plot([h*i for i in range(len(th2))],th2,label="x2")
#plt.plot([i*h for i in range(len(om1))],om1,label="x1'")
#plt.plot([i*h for i in range(len(om2))],om2,label="x2'")
plt.xlabel("时间/s")
plt.ylabel("位移/m",rotation=True)
#plt.ylabel("速度/m*s^-1",rotation=True)
plt.legend()plt.title("x1 x2 随时间的变化量；求解步长 -m1"+str(h))
plt.savefig("x1 x2 随时间的变化量 求解步长 -m1"+str(h)+".jpg")
plt.show()#plt.title("x1' x2' 随时间的变化量；求解步长 "+str(h))
#plt.savefig("x1' x2' 随时间的变化量 求解步长 "+str(h)+".jpg")
#plt.show()import xlsxwriter as xls
#th1 = np.array(th1[::20])
#th2 = np.array(th2[::20])
#om1 = np.array(om1[::20])
#om2 = np.array(om2[::20])th1 = np.array(th1)
th2 = np.array(th2)
om1 = np.array(om1)
om2 = np.array(om2)workbook = xls.Workbook("1-1-000-m1.xlsx")
worksheet = workbook.add_worksheet("Sheet1")
headings = ["x1","x2","v1","v2"]
worksheet.write_row("A1",headings)
worksheet.write_column("A2",th1)
worksheet.write_column("B2",om1)worksheet.write_column("C2",th1+th2)
worksheet.write_column("D2",om1+om2)
workbook.close()
问题二
变步长搜索法
矩形法数值积分
问题二解法
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60秒-80秒 |
80秒-100秒 |
100秒-120秒 |
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最大平均功率/瓦特 |
|||||
|
290.141018 |
282.3656312 |
285.2766 |
289.2045 |
291.1627 |
291.2182 |
|
Beta值 |
|||||
|
38130 |
37850 |
37940 |
37970 |
37970 |
37970 |
|
Alpha值 |
|||||
|
0.098 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
问题三
数值解（类似一，二的解法）
|
物理量 \ 时间 |
10s |
20s |
40s |
60s |
100s |
|
浮子垂荡位移 |
-0.685529938 |
-0.604544566 |
0.195435534 |
-0.156064651 |
0.142943636 |
|
浮子垂荡速度 |
0.5487404 |
-0.698097309 |
0.922311628 |
-0.867269801 |
-0.917710776 |
|
浮子纵摇角位移 |
0.0293679 |
0.001331413 |
-0.000590353 |
-0.002998229 |
-0.015015832 |
|
浮子纵摇角速度 |
-0.115251745 |
0.020961283 |
-0.03312735 |
0.042788285 |
0.051748796 |
|
振子垂荡位移 |
-0.764772476 |
-0.657517866 |
0.199876278 |
-0.159952226 |
0.168056577 |
|
振子垂荡速度 |
0.565213931 |
-0.788403868 |
1.017008287 |
-0.952503212 |
-0.997533033 |
|
振子纵摇角位移 |
0.030535835 |
0.001439153 |
-0.000618481 |
-0.003153401 |
-0.015074399 |
|
振子纵摇角速度 |
-0.117325818 |
0.019228743 |
-0.031151057 |
0.046614327 |
0.056193417 |
问题四
我们的优化模型：
小结
- 这道题受力分析的成分要更大一点哈
- 分析完了就数值计算
- 受力分析不完整，我们就不放出来了，以后再完善吧。
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