2020全国大学生数学建模A题思路讲解与核心代码

题目
核心方法：
问题一
问题二
问题三和问题四
答案如下：

题目

核心方法：

热传导
有限差分法
遍历法

问题一

建立焊接区域中心温度变化规律模型，推出焊接区域中心温度与其厚度和PCB 板所走过的时间的关系。查阅相关资料可知，由于自动焊接过程中热量传递复杂，因此对模型进行简化，只考虑一维方向的热量传导，即单侧单方向小温区对PCB 板的热量传导。利用能量守恒定律和 Fourier 热传导定律推出热传导方程，再利用附数据件求出方程中的参数，进而建立了焊接区域中心温度变化规律型，即炉温曲线变化模型。依据建立出的炉温曲线变化模型，根据问题一中所给出的各温区的温度参数T1， T2， T3， T4 及过炉速度v，需要求出过炉曲线，即焊接区中心的温度变化

对于热传导方程的求解，需要先确定热传导方程中的参数—热扩散率，这
可以通过附件提供的炉温曲线数据进行参数估计。热传导方程的求解可以利用差分法进行。

// lamda的计算的部分代码
array=zeros(76,length(x1));
array(1,:)=y;
array(:,1)=z(:,1);
for k=1:31for j=1:L(1)-1for i=2:75array(i,j+1)=array(i,j)+u(k)*(array(i-1,j)-2*array(i,j)+array(i+1,j));endarray(76,j+1)=array(74,j+1);ende1=1:L(1);e2=time(1:5,:);[C,ia,ib]=intersect(e1,e2*100);for i=1:5b(i)=array(75,ia(i));endfor i=1:5c(i)=(temperature(i)-b(i))^2;endrss(k)=sum(c(:));
end
result=[u;rss];

有限差分的核心代码：

//有限差分的核心代码
array=zeros(76,length(x1));
array(1,:)=y;
array(:,1)=z(:,1);
for j=1:L(1)for i=2:75array(i,j+1)=array(i,j)+u(1)*(array(i-1,j)-2*array(i,j)+array(i+1,j)); endarray(76,j+1)=array(74,j+1);
end
z(:,2)=array(:,2143);
for k=1:9for j=L(k):L(k+1)for i=2:75array(i,j+1)=array(i,j)+u(k+1)*(array(i-1,j)-2*array(i,j)+array(i+1,j)); endarray(76,j+1)=array(74,j+1);end
end
array(:,length(array))=[];

得模拟数据和真实数据对比得炉温曲线：

问题二

问题二中，基于问题一中所建立的炉温曲线模型，在四个温度参数给定的条件求取传送带的最大过炉速度为优化问题。此问题可以看做是问题一所建立模型的反问题，即在温度分布
已知的条件下，要求通过该分布计算最大过炉速度v。在具体求解该反问题时，可以利用遍历法对过炉速度进行遍历搜索，这样就将反问题转化为了正问题的求解，从而问题一中模型方法都可以继续使用。

问题三和问题四

问题三和问题四仍然和问题二类似，也是对过炉曲线提出了不同的要求，进而在这些要求之下确定影响炉温曲线的 5 个参数 T1， T2， T3， T4， v ，求解也可以采用与问题二相同的遍历法进行，但由于此时遍历的变量个数增多，如果遍历步长较小，必然会使得计算量增大，因而必要情况下，可采用分阶段的遍历，即：大范围，大步长，小范围，小步长。需要考虑的就是对于面积和对称性的数学描述，面积可以采用积分的离散化表示，对称性可以采用以最大峰值温度两侧取对称点，使对称点的温度差值尽可能小来实现。

答案如下：

注：用以上方法算出的结果均在最优解范围内，详细解读请待下次，困了该sleep了