matlab 共轭对称分量,利用共轭对称特性经IFFT转换为实数序列

大多数学生可能对FFT变换后的共轭对称特性有所了解，但怎么利用共轭对称特性经IFFT转换为实数序列会些困难，因为在书中有几处会用到这样的特性，所以在这里先介绍共轭对称特性，再说明IFFT得实数序列。

FFT后的共轭对称特性为X(k)=X*(N-k)(其中k=0,1,…,N-1)，严格地说，共轭对称轴在k=0处(但在MATLAB中下标或索引从1开始，此时共轭对称轴在k=1处)。以下用一个8点随机数的FFT来观察。程序清单为

x=randn(1,8);

X=fft(x);

X1=fftshift(X);

subplot 221; stem(real(X),'k');

subplot 222; stem(imag(X),'k');

subplot 223; stem(real(X1),'k');

subplot 224; stem(imag(X1),'k');

序列x经FFT后为X，又经fftshift后改为X1，其图如下。图中标出了Xr和Xi，标明X的实部和虚部，对X1也是一样标出实部和虚部。

为了说明方便起见，图中标出了Xr(1)～Xr(8)和 Xi(1)～Xi(8)，在X1图中也把X的Xr(1)～Xr(8)和 Xi(1)～Xi(8)也标注出来。在X1的实部图中可以看出以Xr(1)相当于是一条对称轴的轴线，Xr(2)=Xr(8)、Xr(3)=Xr(7)、Xr(4)=Xr(6)；在X1的虚部图中也可以看出Xr(1)相当于反对称的轴线，Xi(2)=-Xi(8)、Xi(3)=-Xi(7)、Xi(4)=-Xi(6)。在这8条谱线中X (1)和X(5)都不和其它谱线具有对称性的，X (1)永远可以做对称轴。

按K=0,1,…,N-1，对称关系式为X(k)=X*(N-k)，若按K=1,…,N，对称关系式为X(k)=X*(N-k+2)。

在N是偶数时可以延伸把X(5)，相当于X(N/2+1)也可以作为对称轴。从X的实部图中可看到Xr(4)=Xr(6) 、Xr(3)=Xr(7)、Xr(2)=Xr(8)；从X的虚部图中可看到Xi(4)=-Xi(6) 、Xi(3)=-Xi(7)、Xi(2)=-Xi(8)。同上以X (1)为对称轴时得的结果一样。

对果我们要取局部的谱线进行反变换。为了保证反变换后还是实数序列，在取有限谱线时还要保留谱线的共轭对称的特性(这样选取IFFT后理论上为实数序列，但由于在MATLAB中计算机计算误差的存在，常常虚部还有数值，但都很小，所以在反变换后还用real函数取实部)。例如我们在正频率区间取X(2:3)两条谱线，为了保留谱线共轭对称性，按上的讨论在负频应取X(7:8)两条谱线。如果还要保留直流分量，则在正频率区间取X(1:3)叁条谱线。

当序列长N，取m条谱线(不包括直流分量)，则取谱线有

X(1:m+1) ～ X(N-m+1:N)，或X(end-m+1:end)

这是在pr3_1_1中用的关系式。若在m条谱线中已包含了直流分量，可把上关系变换一下：

X(1:m+1) ～ X(N-m+1:N)，或X(end-m+1:end)

设j=m+1，则有m=j-1，代入上式得

X(1:j) ～ X(N-j+2:N)，或X(end-j+2:end)

这就是在第9章中程序pr9_2_1用到的关系式。

mg01as.jpg

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2013-11-27 10:10 上传

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