一、多项式系数

下面 333 个数是等价的 :

① 多项式系数 (nn1n2⋯nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}(n1n2⋯ntn)

② 多重集全排列数

③ 不同的球放到不同盒子中 , 不允许有空盒 , 每个盒子放指定个数的球方案个数 ;

1 . 多项式系数

多项式定理中

(x1+x2+⋯+xt)n\ \ \ \ (x_1 + x_2 + \cdots + x_t)^n (x1+x2+⋯+xt)n

=∑满足n1+n2+⋯+nt=n非负整数解个数(nn1n2⋯nt)x1n1x2n2⋯xtnt= \sum\limits_{满足 n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n 非负整数解个数}\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t}=满足n1+n2+⋯+nt=n非负整数解个数∑(n1n2⋯ntn)x1n1x2n2⋯xtnt

的 ① 多项式系数 (nn1n2⋯nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}(n1n2⋯ntn)

2 . 多重集全排列数 :

同时又代表了 ② 多重集的全排列数 n!n1!n2!⋯nk!\cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}n1!n2!⋯nk!n! , 可以简记为 (nn1n2⋯nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}(n1n2⋯ntn)

3 . 放球子模型方案个数

③ (nn1n2⋯nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}(n1n2⋯ntn) 可以代表放球模型的一个子类型的解个数 ,

nnn 不同的球 , 放到 ttt 个不同的盒子里 , 注意此处球和盒子都有区别 ,

第 111 个盒子放 n1n_1n1 个球 , 第 222 个盒子放 n2n_2n2 个球 , ⋯\cdots⋯ , 第 ttt 个盒子放 ntn_tnt 个球的方案数 ;

相当于多步处理 :

第 111 步 : 选择 n1n_1n1 个球 , 放到第 111 个盒子中 ; 选取方法有 (nn1)\dbinom{n}{n_1}(n1n) 种 ;
第 222 步 : 选择 n2n_2n2 个球 , 放到第 222 个盒子中 ; 选取方法有 (n−n1n2)\dbinom{n-n_1}{n_2}(n2n−n1) 种 ;
⋮\vdots⋮
第 ttt 步 : 选择 ntn_tnt 个球 , 放到第 ttt 个盒子中 ; 选取方法有 (n−n1−n2−⋯−nt−1nt)\dbinom{n-n_1-n_2 - \cdots -n_{t-1}}{n_t}(ntn−n1−n2−⋯−nt−1) 种 ;

根据分步计数原理 , 乘法法则 , 将上面每步的种类个数相乘 , 就是所有的种类个数 :

(nn1)(n−n1n2)(n−n1−n2−⋯−nt−1nt)\ \ \ \ \dbinom{n}{n_1} \dbinom{n-n_1}{n_2} \dbinom{n-n_1-n_2 - \cdots -n_{t-1}}{n_t} (n1n)(n2n−n1)(ntn−n1−n2−⋯−nt−1)

=n!n1!n2!⋯nt!=\cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_t!}=n1!n2!⋯nt!n!

=(nn1n2⋯nt)=\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}=(n1n2⋯ntn)

二、多项式系数恒等式

多项式定理推论 3 :

∑(nn1n2⋯nt)=tn\sum\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = t^n∑(n1n2⋯ntn)=tn

多重集全排列 :

(nn1n2⋯nt)=n!n1!n2!⋯nk!\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = \cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}(n1n2⋯ntn)=n1!n2!⋯nk!n!

递推式 :

(nn1n2⋯nt)=(n−1(n1−1)n2⋯nt)+(n−1n1(n2−1)⋯nt)+(n−1n1n2⋯(nt−1))\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = \dbinom{n-1}{(n_1-1) n_2 \cdots n_t} + \dbinom{n-1}{n_1 (n_2 - 1) \cdots n_t}+ \dbinom{n-1}{n_1 n_2 \cdots (n_t -1)}(n1n2⋯ntn)=((n1−1)n2⋯ntn−1)+(n1(n2−1)⋯ntn−1)+(n1n2⋯(nt−1)n−1)

证明上述递推式 :

左侧 (nn1n2⋯nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}(n1n2⋯ntn) 是放球问题的解 ,

右侧第 111 项 (n−1(n1−1)n2⋯nt)\dbinom{n-1}{(n_1-1) n_2 \cdots n_t}((n1−1)n2⋯ntn−1) 是指定某个球 a1a_1a1 必须落到第 111 个盒子中的方案个数 ;

右侧第 222 项 (n−1n1(n2−1)⋯nt)\dbinom{n-1}{n_1 (n_2 - 1) \cdots n_t}(n1(n2−1)⋯ntn−1) 是指定某个球 a1a_1a1 必须落到第 222 个盒子中的方案个数 ;

⋮\vdots⋮

右侧第 ttt 项 (n−1n1n2⋯(nt−1))\dbinom{n-1}{n_1 n_2 \cdots (n_t -1)}(n1n2⋯(nt−1)n−1) 是指定某个球 a1a_1a1 必须落到第 ttt 个盒子中的方案个数 ;

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一、多项式系数

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