“n个球放入m个盒子是否为空”的方案数

2024-05-30 15:04:11

如题：n个小球放到m个盒子里的方案数

1、球相同，盒子不同，不允许空

分成m段，n-1个空选m-1个放隔板，Cn−1m−1C_{n-1}^{m-1}Cn−1m−1。

2、球相同，盒子不同，允许空

(1) 加入m个球变成不允许空（假设m个盒子先每个都放1个球）
(2) m-1个隔板和球放在一起，从中选m-1个做隔板，Cn+m−1m−1C_{n+m-1}^{m-1}Cn+m−1m−1

3、球相同，盒子相同，不允许空

就是整数划分问题啊…n个数写成m个数的和的形式的方案数
f[i][j]=f[i−1][j−1]+f[i−j][j]

有1的话就是f[i−1][j−1]，没有1的话就拿出j个1先放上再分剩下的，f[i−j][j]

4、球相同，盒子相同，允许空

∑j=1mf[n][j]\sum_{j=1}^mf[n][j]∑j=1mf[n][j]

5、球不同，盒子相同，不允许空

第二类Stirling数：n个不同的元素分成m个集合的方案数S(n,m)S(n,m)S(n,m)
S(i,j)=S(i−1,j−1)+S(i−1,j)∗j，S(n,n)=1n≥0, S(n,0)=0,n≥1

考虑一个元素可以放入一个空集合或者已经有元素的集合(j种选择)

6、球不同，盒子相同，允许空

枚举非空盒子数量
∑j=1mS(n,j)\sum_{j=1}^mS(n,j)∑j=1mS(n,j)

7、球不同，盒子不同，不允许空

盒子全排列标号就行了
S(n,m)∗m!S(n,m)∗m!S(n,m)∗m!

8、球不同，盒子不同，允许空

不能简单的全排列标号，因为空盒子标号没有意义
所以枚举非空盒子数量的时候乘上个组合数和全排列标号
∑j=1mS(n,j)∗A(m,j)\sum_{j=1}^mS(n,j)*A(m,j)∑j=1mS(n,j)∗A(m,j)，其中A是排列A(m,j)=C(m,j)∗j!A(m,j)=C(m,j)*j!A(m,j)=C(m,j)∗j!

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