组合数学之放球问题【附斯特林数】

放球问题在组合数学中是一个经典问题，在ACM比赛中也经常会出现类似的题目，这里做一个归纳。

我们假定现在有n个球，要放到m个盒子中，根据情况的不同主要可以分为一下8类(这里确保n>=m)

编号	n个球是否有区别	m个盒子是否有区别	是否允许空盒
1	否	否	是
2	否	否	否
3	否	是	否
4	否	是	是
5	是	否	否
6	是	否	是
7	是	是	否
8	是	是	是

我们对这些情况逐一分析。

一、球相同，盒相同，允许空盒

假设dp[i][j]为球相同，盒相同，允许空盒，且有i个球，j个盒子的结果。那么我们可以分成两种情况，一种是放完有空盒的情况，那么我减去一个盒子不影响结果。还有一种是每一个盒子至少有一个球，那我们可以把每个盒子里拿去一个球，那就变成了(i-j)个球，j个盒子的结果了，即dp[i-j][j],两部分相加即可构成状态转移方程。

dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j]; (i>=j)

dp[i][j]=dp[i][j-1]; (i<j)

预处理后可以O(1)查询，预处理代码见下

void init()
{memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=0;i<=1;i++)for(int j=1;j<maxn;j++){dp[i][j]=1;}for(int i=2;i<maxn;i++)for(int j=1;j<maxn;j++){if(i>=j)dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];else dp[i][j]=dp[i][j-1];}
}

PS：如果(n<m)，其结果与dp[n][n]相同。

二、球相同，盒相同，不允许空盒

由于要求没有空盒，我们先在每个盒子里放一个球即可，剩下(n-m)个球可以随意放，问题就转化为了有(n-m)个球，允许空盒，有多少种情况，容易发现这就是上面的dp[n-m][m]。

三、球相同，盒不相同，不允许空盒

用隔板法即可解决：球之间有(n-1)个空，由于要分成m份，所以应该插(m-1)个隔板，所以方案数为C(n-1,m-1)。

四、球相同，盒不相同，允许空盒

可根据三推得：首先我们假设先在每个盒子里放一个球，然后再往任意盒中放n个球，在这个前提下，问题就转化为共有(n+m)个球，要放到m个盒子中，不允许空盒的方案数，即C(n+m-1,m-1)。

知识补充

在介绍5，6，7之前先介绍一个小知识点：斯特林数(已经了解的可以跳过这一部分)。

第一类斯特林数

S(n,m)表示将n个不同物品排成k个非空循环排列的方法数。

可以举个形象点的例子：现在有n个人要围着m张相同圆桌坐下来，要求每张桌子非空，求方案数。

我们可以这样考虑，对于最后一个人：

如果他单独坐一桌的话，结果就是剩下的(n-1)个人围着(m-1)张圆桌而坐的方案数，即S(n-1,m-1)。

如果前面(n-1)个人已经坐了m张圆桌，这(n-1)个人的方案数为S(n-1,m),那么最后一个人就要插入到他们之中，他可以被安排在第一个人或第二个人或。。。或第(n-1)个人的左边，所以这种坐法方案数为(n-1)*S(n-1,m)。综上所述，就可以写出第一类斯特林数的状态转移方程

S(n,m)=(n-1)*S(n-1,m)+S(n-1,m-1)

第一类斯特林数的预处理代码

void init()
{for(int i=1; i<maxn; i++){s[i][0]=0,s[i][i]=1;for(int j=1; j<i; j++){s[i][j]=(s[i-1][j]*(i-1)+s[i-1][j-1]);}}
}

第二类斯特林数

S(n,m)表示把n个不同物品划分到m个不可区分的盒子中且没有空盒的方案数。

我们还是来考虑最后一个物品，它有两种情况

如果最后一个物品单独放到一个盒子中，那么结果就是剩下的(n-1)个物品放到(m-1)个盒子中，且盒子非的方案数，即S(n-1,m-1)。

如果前面(n-1)个物品放完后已经没有空盒，(方案共有S(n-1,m)种)，那么最后一个物品可以放在任意一个中(方案共有m种)，总方案数即为m*S(n-1,m)。

综上所述，就可以写出第二类斯特林数的状态转移方程

S(n,m)=m*S(n-1,m)+S(n-1,m-1)

第二类斯特林数的预处理代码

void init()
{for(int i=1; i<maxn; i++){s[i][0]=0,s[i][i]=1;for(int j=1; j<i; j++){s[i][j]=(s[i-1][j]*j+s[i-1][j-1]);}}
}

接下来，我们便可以利用斯特林数解决问题5,6,7了。

【PS】下面用到的均为第二类斯特林数。

五、球不相同，盒相同，不允许空盒

根据第二类斯特林数的定义，该问题就是n个不同的物品放入m个相同的箱子中且箱子不能为空，即S(n,m)。

六、球不相同，盒相同，允许空盒

我们只要枚举非空盒的个数(枚举范围为1~n),可以设非空盒的个数为k，那么每次枚举得到的方案数即为S(n,k)，总方案数为S(n,1)+S(n,2)+...+S(n,m)。

七、球不相同，盒不相同，不允许空盒

对比问题七，变化的是盒子从相同变成了不同。我们可以这样考虑，S(n,m)为把n个不同物品分成m份的方案数，现在由于盒子不同，我们只要给盒子排个顺序，然后对应于m份即可，排列顺序有m!种情况，故总方案数为m!*S(n,m)。

八、球不相同，盒不相同，允许空盒

这个问题最简单了，每个球都能任意选择一个盒子去放，每个球有m种情况，故总方案数为mⁿ。