等价代换与罗比他法则在极限求值中的应用

无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。因此常量也是可以当做变量来研究的。这么说来——0是可以作为无穷小的常数。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

等价无穷小的定义

（C为常数），就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。特殊地，C=1且n=1，即

，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b。

无穷小的比较

假设a、b都是在x的同一变化过程(x→x0、x→∞、x→x0+……)时的无穷小，且

（1）如果

，就说a是比b高阶的无穷小(或b是a低阶的无穷小），记作a=o（b）

（2）如果

，就是说a是比b低阶的无穷小。

比如

，

。x→∞时，通俗的说，b任意时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。假如有

,那么c比a和b都要高阶，因为c更快地趋于0了。

如果

（C为常数），就说b是关于a的n阶的无穷小， b和aⁿ是同阶无穷小。

无穷小

确切地说，当函数中自变量x或数列中n无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即limf(x)=0，则称f(x)为当x→x0时的无穷小或无穷小量。

例如，

是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的常数与无穷小量混为一谈，常数0在自变量所有过程中都是无穷小，但是无穷小不一定是0。

无穷小等价替换定理

设在x的某一变化过程中，α和β都是无穷小，且

，

存在（不包括

），

则：

注意：

①等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换），比如mf(x)+ng(x),只有f(x)/g(x)的极限不是-n/m时，才可进行等价无穷小代换。[1]

②上各式中的x可以是f(x)也可以新变量t，如 f(x)→0，sin(f(x))~f(x)仍成立。

可直接等价替换的类型

（以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则）

需要满足一定条件才能替换的类型

若

，则

（该条性质非常重要，这是判断在加减法中能否分别等价替换的重要依据）

变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替换。

常用等价无穷小

当

时，

注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。

洛必达法则

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。这种方法主要是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值．在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导；如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则

基本公式

0/0型不定式极限

若函数

和

满足下列条件：

⑴

，

；

⑵ 在点

的某去心邻域内两者都可导，且

；

⑶

（

可为实数，也可为 ±∞ ），

则

∞/∞型不定式极限

若函数

和

满足下列条件：

⑴

，

；

⑵ 在点

的某去心邻域内两者都可导，且

；

⑶

（

可为实数，也可为

或

），

则

其他类型不定式极限

不定式极限还有

，

等类型。经过简单变换，它们一般均可化为

型或

型的极限。

型

可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为

型或

型。

例：求

解：原式=

型

把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为

型。

例：求

解：原式=

型

可利用对数性质

将函数化简成以e为底数的指数函数，对指数进行求极限。

针对不同的问题，还可以利用等价无穷小

作替换，化简算式。

例：求

解：原式=

上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把

替换成了

。

型

同上面的化简方法

例：求

解：原式=

型

同上面的化简方法

例：求

解：原式=

⚠️不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量

是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替

代。