C语言求最大公约数及最小公倍数

1. 最大公约数

1.1 定义

最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD），也称最大公因数、最大公因子，是一种数学概念，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

1.2 解法一：常规法（暴力法）

1.2.1 定义

由于最大公约数的本质是一个最大的能同时被两整数整除的自然数。所以我们先比较两数大小，从较大数开始向上递增，直到找到那个最小公倍数。

1.2.2 代码实现

int gcd4(int a, int b)
{//首先找到两个数中较大的数，用a存储较大数if (a < b){int temp = a;a = b;b = temp;}//从较大数开始寻找符合条件的最大公约数for (int i = a; i > 0; --i){if (a % i == 0 && b % i == 0){return i;}}
}

1.3 解法二：辗转相除法（欧几里德法）

1.3.1方法解释：

用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

1.3.2实例：

例如，求（319，377）：

∵ 319÷377=0（余319）

∴（319，377）=（377，319）；

∵ 377÷319=1（余58）

∴（377，319）=（319，58）；

∵ 319÷58=5（余29）

∴ （319，58）=（58，29）；

∵ 58÷29=2（余0）

∴ （58，29）= 29；

∴ （319，377）=29。

1.3.3 代码实现

/*** 递归版辗转相除法* @param a* @param b* @return*/
int gcd1(int a, int b)
{if (a % b == 0){return b;}else{return gcd1(b, a % b);}
}/*** 非递归辗转相除法求解最大公约数* @param a* @param b* @return*/
int gcd2(int a, int b)
{while (b != 0){int temp = a % b;a = b;b = temp;}return a;
}

1.4 解法二：更相减损法

1.4.1 方法解释：

（如果需要对分数进行约分，那么）可以折半的话，就折半（也就是用2来约分）。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分，这个数就是最大公约数；

1.4.2 步骤：

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

1.4.3 实例：

用更相减损术求98与63的最大公约数。

解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数等于7。

用更相减损术求260和104的最大公约数。

解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。

此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：

65-26=39

39-26=13

26-13=13

所以，260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即1322=52。

1.4.4 代码实现

//定义静态变量，保存约掉的若干个2次数
static int count = 0;int gcd3(int a, int b)
{int temp;//任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。if (a % 2 == 0 && b % 2 == 0 && !count){//若是，则用2约简；若不是则执行第二步。a /= 2;b /= 2;//保存约掉的若干个2次数count += 2;}//以较大的数减较小的数，a中保存大数if (a < b){temp = a;a = b;b = temp;}//接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数if (a - b != 0){//递归求解return gcd3(b, a - b);}else{//计算完毕完后count要置为0，防止第二次调用时出错；//所以需要提前定义常量保存输出结果：约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。int result = count * b;//置0count = 0;return result;}
}

2. 最小公倍数

2.1 定义

最小公倍数（Least Common Multiple（LCM））是一种数学概念，几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

2.2 解法一：常规法（暴力法）

2.2.1 方法解释

由于最小公倍数的本质是一个最小的能同时被两整数整除的自然数。所以我们先比较两数大小，从较大数开始向上递增，直到找到那个最小公倍数。

2.2.2 代码实现

/*** 常规法求最小公倍数（暴力法）* @param a* @param b* @return*/
int lcm1(int a, int b)
{//首先找到两个数中较大的数，用a存储较大数if (a < b){int temp = a;a = b;b = temp;}//从较大数开始寻找符合条件的最小公倍数for (int i = a;; ++i){if (i % a == 0 && i % b == 0){return i;}}
}

2.3 解法二：公式法

2.3.1 定义

由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即（a，b）×[a，b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。

2.3.2 实例

求[18，20]，即得[18，20]=18×20÷（18，20）=18×20÷2=180。求几个自然数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。最后所得的那个最小公倍数，就是所求的几个数的最小公倍数。

2.3.3 代码实现

int lcm2(int a, int b)
{//lcd函数上面已经介绍return a*b/lcd(a,b);
}

约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。

2.3.2 实例

2.3.3 代码实现

int lcm2(int a, int b)
{//lcd函数上面已经介绍return a*b/lcd(a,b);
}