常见积分求导公式表--便于记忆

∫1a2+x2dx=1aarctan⁡xa+C(a>0)∫1a2−x2dx=12aln⁡∣x+ax−a∣+C∫1x2−a2dx=12aln⁡∣x−ax+a∣+C∫1x2+a2dx=ln⁡(x+x2+a2)+C∫1a2−x2dx=arcsin⁡xa+C(a>0)∫1x2−a2dx=ln⁡(x+x2−a2)+C(∣x∣>∣a∣)∫a2+x2dx=∫a2−x2dx=a22arcsin⁡xa+x2a2−x2+C∫x2−a2dx=\large \begin{aligned} \int \frac{1}{a^2+x^2}dx&=\frac1a\arctan\frac xa+C(a>0)\qquad&\int\frac{1}{a^2-x^2}dx&=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+C\qquad& \int \frac{1}{x^2-a^2}dx&=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx&=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\qquad&\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx&=\arcsin\frac xa+C(a>0)\qquad& \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx&=\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C(|x|>|a|)\\ \int {\sqrt{a^2+x^2}}dx&=\qquad&\int {\sqrt{a^2-x^2}}dx&=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac xa+\frac x2\sqrt{a^2-x^2}+C\qquad& \int \sqrt{x^2-a^2}dx&=\\ \end{aligned} ∫a2+x21dx∫x2+a21dx∫a2+x2dx=a1arctanax+C(a>0)=ln(x+x2+a2)+C=∫a2−x21dx∫a2−x21dx∫a2−x2dx=2a1ln∣x−ax+a∣+C=arcsinax+C(a>0)=2a2arcsinax+2xa2−x2+C∫x2−a21dx∫x2−a21dx∫x2−a2dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C=ln(x+x2−a2)+C(∣x∣>∣a∣)=

(ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C)′′=(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C)′′=(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(ln⁡∣cos⁡x∣+C)′′=(−tan⁡x)′=−sec⁡2x(ln⁡∣sin⁡x∣+C)′′=(cot⁡x)′=−csc⁡2x\begin{aligned} &\large(\ln|\sec x+\tan x|+C)''=(\sec x)'=\sec x\tan x\\ &\large(\ln|\csc x-\cot x|+C)''=(\csc x)'=-\csc x\cot x\\ &\large(\ln|\cos x|+C)''=(-\tan x)'=-\sec^2 x\\ &\large(\ln|\sin x|+C)''=(\cot x)'=-\csc^2 x \end{aligned} (ln∣secx+tanx∣+C)′′=(secx)′=secxtanx(ln∣cscx−cotx∣+C)′′=(cscx)′=−cscxcotx(ln∣cosx∣+C)′′=(−tanx)′=−sec2x(ln∣sinx∣+C)′′=(cotx)′=−csc2x

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