现代通信原理2.5：确定信号的能量谱密度、功率谱密度与自相关函数

文章目录

1、能量信号的能量谱密度
2、确定功率信号的功率谱密度
3、确定信号的自相关函数与Wiener-Khintchine定理

1、能量信号的能量谱密度

我们首先回顾下帕塞瓦尔定理，对于能量信号g(t)g(t)g(t)，有
(1)∫−∞∞∣g(t)∣2dt=∫−∞∞∣G(f)∣2df.\tag{1} \int_{-\infty}^{\infty}|g(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}|G(f)|^2df. ∫−∞∞∣g(t)∣2dt=∫−∞∞∣G(f)∣2df.(1)从《现代通信原理2.2》中，我们知道，(1)为信号g(t)g(t)g(t)的能量，即
(2)Eg=∫−∞∞∣g(t)∣2dt=∫−∞∞∣G(f)∣2df,\tag{2} {\mathcal E}_g=\int_{-\infty}^{\infty}|g(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}|G(f)|^2df, Eg=∫−∞∞∣g(t)∣2dt=∫−∞∞∣G(f)∣2df,(2)其中 ∣G(f)∣2|G(f)|^2∣G(f)∣2称为能量谱密度（energy spectral density，ESD)。

2、确定功率信号的功率谱密度

对于功率信号，因为其能量为无穷大，因此我们考虑它的平均功率。若g(t)g(t)g(t)为实信号，它的平均功率为
Pg=g2(t)‾=lim⁡T→∞1T∫−T2T2g2(t)dt=lim⁡T→∞1T∫−∞∞gT2(t)dt,\begin{aligned} P_g&=\overline{g^2(t)}\\ &=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g^2(t)dt\\ &=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}g_T^2(t)dt,\\ \end{aligned} Pg=g2(t)=T→∞limT1∫−2T2Tg2(t)dt=T→∞limT1∫−∞∞gT2(t)dt,其中gT(t)=g(t)Rect(tT)g_T(t)=g(t){\rm Rect}(\frac{t}{T})gT(t)=g(t)Rect(Tt)为g(t)g(t)g(t)的截断函数，即将g(t)g(t)g(t)在[−T2,T2][-\frac{T}{2},\frac{T}{2}][−2T,2T]上的波形取出来，显然gT(t)g_T(t)gT(t)为能量信号，它的傅里叶变换为G(f)G(f)G(f)。进一步根据帕塞瓦尔定理，有
Pg=lim⁡T→∞1T∫−∞∞gT2(t)dt=lim⁡T→∞1T∫−∞∞∣GT(f)∣2df=∫−∞∞[lim⁡T→∞∣GT(f)∣2T]df.\begin{aligned} P_g&=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}g_T^2(t)dt\\ &=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}|G_T(f)|^2df\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\left[ \lim_{T\rightarrow \infty}\frac{|G_T(f)|^2}{T}\right]df. \end{aligned} Pg=T→∞limT1∫−∞∞gT2(t)dt=T→∞limT1∫−∞∞∣GT(f)∣2df=∫−∞∞[T→∞limT∣GT(f)∣2]df.因此，我们定义确定功率信号g(t)g(t)g(t)的功率谱密度为
Pg(f)=lim⁡T→∞∣GT(f)∣2T(W/Hz),P_g(f)=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{|G_T(f)|^2}{T}({\rm W/Hz}), Pg(f)=T→∞limT∣GT(f)∣2(W/Hz),显然有
Pg=∫−∞∞Pg(f)df,P_g=\int_{-\infty}^{\infty}P_g(f)df, Pg=∫−∞∞Pg(f)df,这意味着，将功率谱密度在整个频率轴上积分，就得到信号的总功率。注意我们有单边功率谱密度和双边功率谱密度两种定义。通俗来说，若g(t)g(t)g(t)信号的平均功率为PgP_gPg，如果我们认为频率只存在正的值（事实上也确实如此），则所有功率都分布在正半轴上；而如果认为频率有正有负，，则功率都分布在正负两个半轴上。显然单边功率谱密度是双边的两倍，但积分之后的总功率不变。我们后面在白噪声的部分还会详细讨论这个问题。

3、确定信号的自相关函数与Wiener-Khintchine定理

对于确定信号g(t)g(t)g(t)，我们定义它的相关函数为
Rg(τ)≜g(t)g(t+τ)‾=lim⁡T→∞1T∫−T2T2g(t)g(t+τ)dt,R_g(\tau)\triangleq \overline{g(t)g(t+\tau)}=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)g(t+\tau)dt, Rg(τ)≜g(t)g(t+τ)=T→∞limT1∫−2T2Tg(t)g(t+τ)dt,其自变量为τ\tauτ，表示时延的大小。显然Rg(0)=PgR_g(0)=P_gRg(0)=Pg。进一步，根据Wiener-Khintchine定理，有
Rg(τ)↔Pg(f),R_g(\tau)\quad \leftrightarrow \quad P_g(f), Rg(τ)↔Pg(f),即信号的自相关函数与功率谱密度为傅里叶变换对。

尽管我们在这一节定义了确定信号的能量谱密度、功率谱密度以及自相关函数，但事实上我们很少用功率谱密度等来分析确定信号，因为频谱密度就够了。在随机信号部分，我们将对随机信号的功率谱密度进行定义，我们将看到随机信号的功率谱密度是主要的频域特性。