【通信原理】第二章 -- 确知信号
2024-05-17 12:42:20
文章目录
- 第二章 确知信号
- 确知信号的类型
- 两类信号的划分
- 确知信号的频域性质
- 功率信号的频谱
- 能量信号的频谱密度
- 能量信号的能量谱密度
- 功率信号的功率谱密度
- 确知信号的时域性质
- 能量信号的自相关函数
- 功率信号的自相关函数
- 能量信号的互相关函数
- 功率信号的互相关函数
第二章 确知信号
确知信号的类型
- 确知信号： 其取指在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可用数学公式表示他在任何时间的取值
- 按照是否具有周期重复性，可分为周期信号和非周期信号
- 按照能量是否有限区分，可分为能量信号和功率信号
- 用S代表信号的电流或电压计算信号功率，若信号电压和电流的值随时间变化，则S可以改写为时间t的函数S(t)，此时，信号能量E应当是信号瞬时功率的积分，其中E的单位是焦耳J
E = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t E = \int_{-∞}^{∞}{s^2(t)dt} E=∫−∞∞s2(t)dt - 若能量的信号是一个正的有限值，则称此信号为能量信号，将信号的平均功率定义为
P = lim T → ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 s 2 ( t ) d t P = \lim_{T\to∞}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}s^2(t)dt P=T→∞limT1∫−2T2Ts2(t)dt
两类信号的划分
- 能量信号： 其能量等于一个有限正值，但平均功率为零
- 功率信号： 其平均功率等于一个有限正值，但能量为无穷大
- 注意： 能量信号和功率信号的分类对于非确知信号也使用
确知信号的频域性质
- 频率特性，由各个频率分量的分布表示
- 信号的频率特性
- 功率信号的频谱
- 能量信号的频谱密度
- 能量信号的能量谱密度
- 功率信号的功率谱密度
功率信号的频谱
- 设一个周期性功率信号s(t)都周期为T0，则将其频谱函数定义为
C n = C ( n f 0 ) = 1 T ∫ − T 0 2 T 0 2 s ( t ) e − j 2 π n f 0 t d t C_n = C(nf_0) = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}{s(t)e^{-j2πnf_0t}dt} Cn=C(nf0)=T1∫−2T02T0s(t)e−j2πnf0tdt - 周期信号可以展开为如下傅里叶级数
s ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n e j 2 π n t T 0 s(t) = \sum_{n = -∞}^{∞}{C_ne^{\frac{j2πnt}{T_0}}} s(t)=n=−∞∑∞CneT0j2πnt - 在数学上能将周期性函数展开成傅里叶级数的狄利克雷条件，一般信号都是能满足的
- n = 0时，
C 0 = 1 T 0 ∫ − T 0 2 T 0 2 s ( t ) d t C_0 = \frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}{s(t)dt} C0=T01∫−2T02T0s(t)dt - 他是信号s(t)的时间平均值，即直流分量
能量信号的频谱密度
- 设一个能量信号为s(t)，则将它的傅里叶变换S(f)定义为它的频谱密度
S ( f ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) e − j 2 π f t d t S(f) = \int_{-∞}^{∞}{s(t)e^{-j2πft}dt} S(f)=∫−∞∞s(t)e−j2πftdt - 而S(f)的逆傅里叶变换就是原信号
s ( t ) = ∫ − ∞ ∞ S ( f ) e j 2 π f t d f s(t) = \int_{-∞}^{∞}S(f)e^{j2πft}df s(t)=∫−∞∞S(f)ej2πftdf
重要结论
- 对于门函数(矩形)
- S(f) = 面积·sinc(变量·宽度)
- s(t) = 面积·sinc(变量·宽度)
- 三角形状的函数
- S(f) = 面积·sinc2(变量·宽度/2)
- s(t) = 面积·sinc2(变量·宽度/2)
能量信号的能量谱密度
- 设一个能量信号s(t)的能量为E，则此信号的能量为
E = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t E = \int_{-∞}^{∞}{s^2(t)}dt E=∫−∞∞s2(t)dt - 若此信号的傅里叶变换(频谱密度)为S(f)，则由巴塞伐尔定理得
E = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( f ) ∣ 2 d f E = \int_{-∞}^{∞}{s^2(t)}dt = \int_{-∞}^{∞}{|S(f)|^2}df E=∫−∞∞s2(t)dt=∫−∞∞∣S(f)∣2df
功率信号的功率谱密度
- 由于功率信号有无穷大的能量，故首先将信号s(t)截短为长度等于T的一个截短信号sT(t)，该截短信号就成为了一个能量信号
- 对于此能量信号，就可以使用傅里叶变换求出其能量谱密度|ST(f)|2
- 由巴塞伐尔定理有
E = ∫ − T 2 T 2 s T 2 ( t ) d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ S T ( f ) ∣ 2 d f E = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{s_T^2(t)}dt = \int_{-∞}^{∞}{|S_T(f)|^2}df E=∫−2T2TsT2(t)dt=∫−∞∞∣ST(f)∣2df
lim T → ∞ 1 T ∣ S T ( f ) ∣ 2 \lim_{T\to∞}{\frac{1}{T}}{|S_T(f)|^2} T→∞limT1∣ST(f)∣2
- 信号的功率谱密度P(f)
P ( f ) = lim T → ∞ 1 T ∣ S T ( f ) ∣ 2 P(f) = \lim_{T\to∞}{\frac{1}{T}}{|S_T(f)|^2} P(f)=T→∞limT1∣ST(f)∣2 - 信号功率为
P = lim T → ∞ 1 T ∫ − ∞ ∞ ∣ S T ( f ) ∣ 2 d f = ∫ − ∞ ∞ P ( f ) d f P = \lim_{T\to∞}{\frac{1}{T}}\int_{-∞}^{∞}{|S_T(f)|^2}df = \int_{-∞}^{∞}{P(f)}df P=T→∞limT1∫−∞∞∣ST(f)∣2df=∫−∞∞P(f)df
确知信号的时域性质
能量信号的自相关函数
- 能量信号s(t)的自相关函数定义为
R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) s ( t + τ ) d t − ∞ < τ < ∞ R(τ) = \int_{-∞}^{∞}{s(t)s(t+τ)}dt -∞ < τ < ∞ R(τ)=∫−∞∞s(t)s(t+τ)dt−∞<τ<∞ - 自相关函数反映了一个信号与延迟τ后的同一信号间的相关程度，自相关函数R(τ)和时间t无关，只和时间差τ有关，当τ = 0时，能量信号的自相关函数R(0)等于信号的能量，即
R ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t = E R(0) = \int_{-∞}^{∞}{s^2(t)}dt = E R(0)=∫−∞∞s2(t)dt=E - 其中，E为能量信号的能量
- R(τ)是τ的偶函数，R(τ) = R(-τ)
功率信号的自相关函数
- 功率信号s(t)的自相关函数定义为
R ( τ ) = lim T → ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 s ( t ) s ( t + τ ) d t − ∞ < τ < ∞ R(τ) = \lim_{T\to∞}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{s(t)s(t+τ)}dt -∞ < τ < ∞ R(τ)=T→∞limT1∫−2T2Ts(t)s(t+τ)dt−∞<τ<∞ - 当τ = 0时，功率信号的自相关函数R(0)等于信号的平均功率，即
R ( 0 ) = lim T → ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 s 2 ( t ) d t = P R(0) = \lim_{T\to∞}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{s^2(t)}dt = P R(0)=T→∞limT1∫−2T2Ts2(t)dt=P - 其中，P为信号的功率
- 对于周期性功率信号，自相关函数的定义可改写为
R ( τ ) = 1 T 0 ∫ − T 0 2 T 0 2 s ( t ) s ( t + τ ) d t − ∞ < τ < ∞ R(τ) = \frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}{s(t)s(t+τ)}dt -∞ < τ < ∞ R(τ)=T01∫−2T02T0s(t)s(t+τ)dt−∞<τ<∞ - 周期性功率信号的自相关函数R(τ)和其功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系，即P(f)的逆傅里叶变换是R(τ)，而R(τ)的傅里叶变换是功率谱密度，即
P ( f ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j 2 π f τ d τ P(f) = \int_{-∞}^{∞}{R(τ)e^{-j2πfτ}}dτ P(f)=∫−∞∞R(τ)e−j2πfτdτ
能量信号的互相关函数
- 两个能量信号s1(t)和s2(t)的互相关函数的定义为
R 12 ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t − ∞ < τ < ∞ R_{12}(τ) = \int_{-∞}^{∞}{s_{1}(t)s_{2}(t+τ)}dt -∞ < τ < ∞ R12(τ)=∫−∞∞s1(t)s2(t+τ)dt−∞<τ<∞ - 互相关函数和时间t无关，只和时间差τ有关，互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关
R 12 ( τ ) = R 21 ( − τ ) R_{12}(τ) = R_{21}(-τ) R12(τ)=R21(−τ)
功率信号的互相关函数
- 两个功率信号s1(t)和s2(t)的互相关函数的定义为
R 12 ( τ ) = lim T → ∞ 1 T ∫ − ∞ ∞ s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t − ∞ < τ < ∞ R_{12}(τ) = \lim_{T\to∞}\frac{1}{T}\int_{-∞}^{∞}{s_{1}(t)s_{2}(t+τ)}dt -∞ < τ < ∞ R12(τ)=T→∞limT1∫−∞∞s1(t)s2(t+τ)dt−∞<τ<∞ - 互相关函数和时间t无关，只和时间差τ有关，互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关
R 12 ( τ ) = R 21 ( − τ ) R_{12}(τ) = R_{21}(-τ) R12(τ)=R21(−τ) - 若两个周期功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写成
R 12 ( τ ) = 1 T ∫ − T 2 T 2 s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t − ∞ < τ < ∞ R_{12}(τ) = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{s_{1}(t)s_{2}(t+τ)}dt -∞ < τ < ∞ R12(τ)=T1∫−2T2Ts1(t)s2(t+τ)dt−∞<τ<∞
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