1、确知信号的频域特性

1.1 功率信号的频谱

定义

设一个周期性功率信号s(t)的周期为 T 0 T_0 T0，其频谱为：
C n = C ( n f 0 ) = 1 T 0 ∫ − T 0 2 T 0 2 s ( t ) e − j π f 0 t d t (1) C_n = C(nf_0) = \frac 1 {T_0}\int_{-\frac {T_0} 2}^{\frac {T_0} 2}s(t)e^{-j\pi f_0t}dt \tag{1} Cn=C(nf0)=T01∫−2T02T0s(t)e−jπf0tdt(1)
式中, f 0 = 1 T 0 f_0 = \frac 1 {T_0} f0=T01,n为整数， − ∞ < n < ∞ -\infty < n < \infty −∞<n<∞
s ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n e j 2 π n t / T 0 (2) s(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty C_ne^{j2\pi nt/T_0}\tag{2} s(t)=n=−∞∑∞Cnej2πnt/T0(2)
C 0 = 1 T 0 ∫ − T 0 2 T 0 2 s ( t ) d t (3) C_0 = \frac 1 {T_0}\int_{-\frac {T_0} 2}^{\frac {T_0} 2}s(t)dt\tag{3} C0=T01∫−2T02T0s(t)dt(3)

C n = ∣ C n ∣ e j θ n -双边谱，复频谱 C_n = |C_n|e^{j\theta_n}{\text{-双边谱，复频谱}} Cn=∣Cn∣ejθn-双边谱，复频谱

C n -整幅 θ n -相位 C_n {\text{-整幅}} \theta_n {\text{-相位}} Cn-整幅θn-相位

性质
对于物理可实现的实信号，有

C − n = 1 T 0 ∫ − T 0 2 T 0 2 s ( t ) e j π f 0 t d t = [ 1 T 0 ∫ − T 0 2 T 0 2 s ( t ) e − j π f 0 t d t ] ∗ = C n ∗ (4) C_{-n} = \frac 1 {T_0}\int_{-\frac {T_0} 2}^{\frac {T_0} 2}s(t)e^{j\pi f_0t}dt = [\frac 1 {T_0}\int_{-\frac {T_0} 2}^{\frac {T_0} 2}s(t)e^{-j\pi f_0t}dt]^* = C_n^*\tag{4} C−n=T01∫−2T02T0s(t)ejπf0tdt=[T01∫−2T02T0s(t)e−jπf0tdt]∗=Cn∗(4)
正频率部分和负频率部分存在复数共轭关系，即 C n C_n Cn的模偶对称，相位奇对称。

将4式代入2式可得：
s ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n e j 2 π n t / T 0 = C 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n 2 + b n 2 c o s ( 2 π n t / T 0 + θ ) ] (5) s(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty C_ne^{j2\pi nt/T_0} = C_0+\sum_{n=1}^\infty [\sqrt{a_n^2+b_n^2}cos(2\pi nt/T_0+\theta)] \tag{5} s(t)=n=−∞∑∞Cnej2πnt/T0=C0+n=1∑∞[an2+bn2 cos(2πnt/T0+θ)](5)

表明：

实信号可以表示成包含直流分量 C 0 C_0 C0、基波（n=1）和各次谐波。
实信号s(t)的各次谐波的整幅等于 a n 2 + b n 2 \sqrt{a_n^2+b_n^2} an2+bn2
实信号s(t)的各次谐波的相位等于 θ \theta θ，称为单边谱
频谱函数 C n C_n Cn又称为双边谱， ∣ C n ∣ |C_n| ∣Cn∣的值是单边谱的振幅的一半

1.2 能量信号的频谱密度

频谱密度的定义：
- 能量信号s(t)的傅里叶变换： KaTeX parse error: \tag works only in display equations
- S(f)的逆傅里叶变换为原信号
S(f)和Cn的主要区别：
- S(f)是连续谱， C n C_n Cn是离散谱；
- S(f)的单位是V/Hz，而 C n C_n Cn的单位是V。
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称为频谱。
实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，即复数共轭

1.3 能量信号的能量谱密度

定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理
E = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( f ) ∣ 2 d f (7) E = \int_{-\infty}^\infty s^2(t)dt = \int_{-\infty}^\infty |S(f)|^2df \tag{7} E=∫−∞∞s2(t)dt=∫−∞∞∣S(f)∣2df(7)
将 ∣ S ( f ) ∣ 2 |S(f)|^2 ∣S(f)∣2定义为能量谱密度。
可以改写为
E = ∫ − ∞ ∞ G ( f ) d f (8) E = \int_{-\infty}^\infty G(f)df \tag{8} E=∫−∞∞G(f)df(8)
式中 G ( f ) = ∣ S ( f ) ∣ 2 G(f) = |S(f)|^2 G(f)=∣S(f)∣2－能量谱密度
由于信号s(t)是一个实函数，所以|S(f)|是一个偶函数, 因此上式可以改写成
E = 2 ∫ 0 ∞ G ( f ) d f (9) E = 2\int_{0}^\infty G(f)df \tag{9} E=2∫0∞G(f)df(9)

1.4 功率信号的功率谱密度

定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理有
E = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( f ) ∣ 2 d f (10) E = \int_{-\infty}^\infty s^2(t)dt = \int_{-\infty}^\infty |S(f)|^2df \tag{10} E=∫−∞∞s2(t)dt=∫−∞∞∣S(f)∣2df(10)
因此，将
lim ⁡ T → ∞ 1 T ∣ S T ( f ) ∣ 2 (11) \lim_{T\rightarrow \infty}\frac 1 T |S_T(f)|^2\tag{11} T→∞limT1∣ST(f)∣2(11)
定义为功率谱密度P(f)。

信号功率则为：
P = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ − ∞ ∞ ∣ S T ( f ) ∣ 2 d f = ∫ − ∞ ∞ P ( f ) d f (12) P = \lim_{T\rightarrow \infty}\frac 1 T \int_{-\infty}^{\infty}|S_T(f)|^2df=\int_{-\infty}^\infty P(f)df \tag{12} P=T→∞limT1∫−∞∞∣ST(f)∣2df=∫−∞∞P(f)df(12)

若此功率信号具有周期性，且周期为T，则：
P = 1 T ∫ − T 0 2 T 0 2 s 2 ( t ) d t = ∑ n = − ∞ ∞ ∣ C n ∣ 2 (13) P = \frac 1 T \int_{- \frac {T_0} 2}^{\frac {T_0}2} s^2(t)dt = \sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \tag{13} P=T1∫−2T02T0s2(t)dt=n=−∞∑∞∣Cn∣2(13)
C n C_n Cn为此周期信号的傅里叶级数的系数， ∣ C n ∣ 2 |C_n|^2 ∣Cn∣2为第n次谐波的功率。

利用 δ \delta δ函数可将上式表示为：
P = ∫ − ∞ ∞ ∣ C ( f ) ∣ 2 δ ( f − n f 0 ) d f (14) P = \int_{-\infty}^{\infty}|C(f)|^2\delta(f-nf_0)df \tag{14} P=∫−∞∞∣C(f)∣2δ(f−nf0)df(14)
式中： C ( f ) = { C n f = n f 0 0 其他处 C(f)=\left\{\begin{matrix}C_n &&& f=nf_0 \\0 &&&其他处\end{matrix}\right. C(f)={Cn0f=nf0其他处

上式的被积因子就是此信号的功率谱密度P(f)了，即
P ( f ) = ∑ n = − ∞ ∞ ∣ C ( f ) ∣ 2 δ ( f − n f 0 ) (15) P(f) = \sum_{n=-\infty}^\infty |C(f)|^2\delta(f-nf_0) \tag{15} P(f)=n=−∞∑∞∣C(f)∣2δ(f−nf0)(15)

2、确知信号的时域特性

2.1能量信号的自相关函数

定义：
R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) s ( t + τ ) d t (16) R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}s(t)s(t+\tau)dt \tag{16} R(τ)=∫−∞∞s(t)s(t+τ)dt(16)
性质：
- 自相关函数 R ( τ ) R(\tau) R(τ)和时间t 无关，只和时间差 τ \tau τ有关。
- 当 τ = 0 \tau = 0 τ=0时，R(0)等于信号的能量：
  R ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t = E (17) R(0) = \int_{-\infty}^{\infty}s^2(t)dt = E \tag{17} R(0)=∫−∞∞s2(t)dt=E(17)
- R ( τ ) R(\tau) R(τ)是 τ \tau τ 的偶函数
- 自相关函数 R ( τ ) R(\tau) R(τ)和其能量谱密度 ∣ S ( f ) ∣ 2 |S(f)|^2 ∣S(f)∣2是一对傅里叶变换

2.2功率信号的自相关函数

定义：
$$$$
性质：
- 当 τ = 0 \tau = 0 τ=0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率：

R ( 0 ) = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 2 ( t ) d t = P R(0) = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {{s^2}(t)dt} = P R(0)=T→∞limT1∫−T/2T/2s2(t)dt=P

功率信号的自相关函数也是偶函数。
周期性功率信号：
自相关函数定义：
R ( τ ) = 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s ( t ) s ( t + τ ) d t − ∞ < τ < ∞ R(\tau) = \frac{1}{T_0} \int_{-{T_0}/2}^{{T_0}/2} s(t)s(t + \tau)dt ~~~~~~~ - \infty < \tau < \infty R(τ)=T01∫−T0/2T0/2s(t)s(t+τ)dt −∞<τ<∞
R ( τ ) R(\tau) R(τ)和功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系：

R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ P ( f ) e j 2 π f τ d f R(\tau ) = \int_{ - \infty }^\infty {P(f){e^{j2\pi f\tau }}df} R(τ)=∫−∞∞P(f)ej2πfτdf P ( f ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j 2 π f τ d τ P(f) = \int_{ - \infty }^\infty {R(\tau ){e^{ - j2\pi f\tau }}d\tau } P(f)=∫−∞∞R(τ)e−j2πfτdτ

2.3 能量信号的互相关函数

定义：
R 12 ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t ∞ < τ < ∞ {R_{12}}(\tau ) = \int_{ - \infty }^\infty {{s_1}(t){s_2}(t + \tau )dt ~~~~~~~~ \infty < \tau < \infty } R12(τ)=∫−∞∞s1(t)s2(t+τ)dt ∞<τ<∞
性质：
- R 12 ( τ ) R_{12}(\tau) R12(τ)和时间 t 无关，只和时间差 τ \tau τ有关。
- R 12 ( τ ) R_{12}(\tau) R12(τ)和两个信号相乘的前后次序有关：
  
  【证】令 x = t + τ x = t + \tau x=t+τ，则
  R 21 ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) s 1 ( t + τ ) d t = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( x − τ ) s 1 ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ s 1 ( x ) s 2 [ x + ( − τ ) ] d x = R 12 ( − τ ) \begin{array}{l} {R_{21}}(\tau ) = \int_{ - \infty }^\infty {{s_2}(t){s_1}(t + \tau )dt = \int_{ - \infty }^\infty {{s_2}(x - \tau ){s_1}(x)dx} } \\ = \int_{ - \infty }^\infty {{s_1}(x){s_2}[x + ( - \tau )]dx = {R_{12}}( - \tau )} \end{array} R21(τ)=∫−∞∞s2(t)s1(t+τ)dt=∫−∞∞s2(x−τ)s1(x)dx=∫−∞∞s1(x)s2[x+(−τ)]dx=R12(−τ)
- 互相关函数 R 12 ( τ ) R_{12}(\tau) R12(τ)和互能量谱密度 S 1 2 ( f ) S_12(f) S12(f)是一对傅里叶变换

R 12 ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ S 12 ( f ) e j 2 π f τ d f {R_{12}}(\tau) = \int_{ - \infty }^\infty {{S_{12}}(f){e^{j2\pi f\tau }}df} R12(τ)=∫−∞∞S12(f)ej2πfτdf S 12 ( f ) = ∫ − ∞ ∞ R 12 ( τ ) e − j 2 π f τ d τ {S_{12}}(f) = \int_{ - \infty }^\infty {{R_{12}}(\tau ){e^{ - j2\pi f\tau }}d\tau } S12(f)=∫−∞∞R12(τ)e−j2πfτdτ

2.4功率信号的互相关函数

定义：
性质：
- R 12 ( τ ) R_{12}(\tau) R12(τ)和时间t 无关，只和时间差 有关。
- R 12 ( τ ) R_{12}(\tau) R12(τ)和两个信号相乘的前后次序有关： R 21 ( τ ) − R 12 ( − τ ) R_{21}(\tau) - R_{12}(-\tau) R21(τ)−R12(−τ)
- 若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写为
  R 12 ( τ ) = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t , − ∞ < τ < ∞ {{\rm{R}}_{{\rm{12}}}}(\tau ){\rm{ = }}\frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {{{\rm{s}}_{\rm{1}}}(t){{\rm{s}}_2}(t + \tau )dt} , - \infty < \tau < \infty R12(τ)=T1∫−T/2T/2s1(t)s2(t+τ)dt,−∞<τ<∞
  式中 T －信号的周期
- R 12 ( τ ) R_{12}(\tau) R12(τ)和其互功率谱 C 12 C_{12} C12之间也有傅里叶变换关系：
  互功率谱定义： C 12 = ( C n ) 1 ∗ ( C n ) 2 {C_{12}} = ({C_n})_1^*{({C_n})_2} C12=(Cn)1∗(Cn)2
  R 12 ( τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ C 12 ( f ) δ ( f − n f 0 ) e j 2 π n f 0 d f {{\rm{R}}_{{\rm{12}}}}(\tau ){\rm{ = }}\sum\nolimits_{n = - \infty }^\infty {\int_{ - \infty }^\infty {{{\rm{C}}_{{\rm{12}}}}(f)\delta (f - n{f_0}){e^{j2\pi n{f_0}}}df}} R12(τ)=∑n=−∞∞∫−∞∞C12(f)δ(f−nf0)ej2πnf0df

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