DOA算法1：MUSIC算法（二）
目录
- 一、Root-MUSIC算法
- 1.1 经典MUSIC算法的困难
- 1.2经典MUSIC到Root-MUSIC的转变
- 1.3Root-MUSIC算法的原理介绍
- 1.3.1 关于PMUSIC−1(ϕ)P^{-1}_{MUSIC}(\phi)PMUSIC−1(ϕ)多项式的零点问题
- 1.4 Root MUSIC算法的步骤
- 二、Smooth-MUSIC
- 2.1 算法描述
- 参考文献（仅写文章的标题，以做记录）
注：本博文为本人阅读论文、文章后的原创笔记，未经授权不允许任何转载或商用行为，否则一经发现本人保留追责权利。有问题可留言联系，欢迎指摘批评，共同进步！！！
一、Root-MUSIC算法
1.1 经典MUSIC算法的困难
- 精度受到PMUSIC(ϕ)P_{MUSIC}(\phi)PMUSIC(ϕ)函数离散化的限制；
- 需要人为确定MMM个最大峰值，或需要理解性搜索算法来确定峰值，这会有很高的计算复杂度
1.2经典MUSIC到Root-MUSIC的转变
经典MUSIC算法是估计输入数据流频谱的技术（频谱估计技术），它的最终产物是PMUSIC(ϕ)P_{MUSIC}(\phi)PMUSIC(ϕ)函数。
Root-MUSIC算法是一种基于模型的参数估计技术，我们使用一个接收信号的模型作为DOA的函数。此处的模型就是旋转矢量，DOA则是模型中的一个参数。基于模型和接收的数据，我们就能估计这个参数。
1.3Root-MUSIC算法的原理介绍
定义：
z=ejkdcosϕz=e^{jkd\ cos\phi} z=ejkd cosϕ
则：
s(ϕ)=[1,z,z2,⋯,zN−1]T,⇒qmHs=∑n=0N−1qmn∗zn=qm(z),\begin{aligned} \bm{s(\phi)} &= [1,z,z^2,\cdots, z^{N-1}]^T, \\ \Rightarrow \mathbf{q^H_ms} &=\sum_{n=0}^{N-1}q^*_{mn}z^n=q_m(z), \end{aligned} s(ϕ)⇒qmHs=[1,z,z2,⋯,zN−1]T,=n=0∑N−1qmn∗zn=qm(z),
由经典MUSIC算法可知，寻找的方向ϕ\phiϕ的条件是使得qm⊥s(ϕ)\mathbf{q_m} \perp \mathbf{s(\phi)}qm⊥s(ϕ),m=(M+1),⋯,N,m=(M+1),\cdots,N,m=(M+1),⋯,N,即，我们要寻找的就是多项式qm(z)=0q_m(z)=0qm(z)=0的根。
首先，我们要找到这个多项式：
PMUSIC−1(ϕ)=sH(ϕ)QnQnHs(ϕ)=sH(ϕ)Cs(ϕ)其中，C=QnQHn⇒PMUSIC−1(ϕ)=∑m=0N−1∑n=0N−1znCmnz−m=∑m=0N−1∑n=0N−1zn−mCmn\begin{aligned} P^{-1}_{MUSIC}(\phi) &= \mathbf{s}^H(\phi) \mathbf{Q_nQ}^H_{\mathbf{n}} \mathbf{s(\phi)} \\ &= \mathbf{s}^H(\phi) \mathbf{Cs(\phi)} \\ 其中，\mathbf{C} &= \mathbf{Q_n}\mathbf{Q^H}_n\\ \Rightarrow P^{-1}_{MUSIC}(\phi) &= \sum^{N-1}_{m=0}\sum^{N-1}_{n=0}z^nC_{mn}z^{-m} = \sum^{N-1}_{m=0}\sum^{N-1}_{n=0}z^{n-m}C_{mn} \end{aligned} PMUSIC−1(ϕ)其中，C⇒PMUSIC−1(ϕ)=sH(ϕ)QnQnHs(ϕ)=sH(ϕ)Cs(ϕ)=QnQHn=m=0∑N−1n=0∑N−1znCmnz−m=m=0∑N−1n=0∑N−1zn−mCmn
为什么能写成上述的下标形式呢？看下面具体的例子：
假设N=3，M=2
那么：
s(ϕ)=[z0,z1,z2]T,sH(ϕ)=[z−0,z−1,z−2],Qn=[qm11,qm12,qm13]T,QnH=[qm11,qm12,qm13]\begin{aligned} \mathbf{s(\phi)} &= [z^0, z^1, z^2]^T, \\ \mathbf{s^H(\phi)} &= [z^{-0}, z^{-1}, z^{-2}],\\ \mathbf{Q_n} &= [q_{m_{11}}, q_{m_{12}}, q_{m_{13}}]^T,\\ \mathbf{Q^H_n} &= [q_{m_{11}}, q_{m_{12}}, q_{m_{13}}] \end{aligned} s(ϕ)sH(ϕ)QnQnH=[z0,z1,z2]T,=[z−0,z−1,z−2],=[qm11,qm12,qm13]T,=[qm11,qm12,qm13]
C=QnQnH=[qm112qm11qm12qm11qm13qm12qm11qm122qm12qm13qm13qm11qm13qm12qm132]\begin{aligned} \mathbf{C} &= \mathbf{Q_nQ^H_n} \\ &= \begin{bmatrix} q^2_{m_{11}} & q_{m_{11}}q_{m_{12}} & q_{m_{11}}q_{m_{13}}\\ q_{m_{12}}q_{m_{11}} & q^2_{m_{12}} & q_{m_{12}}q_{m_{13}}\\ q_{m_{13}}q_{m_{11}} & q_{m_{13}}q_{m_{12}} & q^2_{m_{13}} \end{bmatrix} \end{aligned} C=QnQnH=⎣⎡qm112qm12qm11qm13qm11qm11qm12qm122qm13qm12qm11qm13qm12qm13qm132⎦⎤
PMUSIC−1=sH(ϕ)Cs(ϕ)=[z0z1z2][qm112qm11qm12qm11qm13qm12qm11qm122qm12qm13qm13qm11qm13qm12qm132][z0z−1z−2]\begin{aligned} P^{-1}_{MUSIC} &= \mathbf{s^H(\phi)}\mathbf{C}\mathbf{s(\phi)} \\ &= \begin{bmatrix} z^0 & z^1 & z^2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q^2_{m_{11}} & q_{m_{11}}q_{m_{12}} & q_{m_{11}}q_{m_{13}}\\ q_{m_{12}}q_{m_{11}} & q^2_{m_{12}} & q_{m_{12}}q_{m_{13}}\\ q_{m_{13}}q_{m_{11}} & q_{m_{13}}q_{m_{12}} & q^2_{m_{13}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z^0 \\ z^{-1} \\ z^{-2}\\ \end{bmatrix} \end{aligned} PMUSIC−1=sH(ϕ)Cs(ϕ)=[z0z1z2]⎣⎡qm112qm12qm11qm13qm11qm11qm12qm122qm13qm12qm11qm13qm12qm13qm132⎦⎤⎣⎡z0z−1z−2⎦⎤
设l=n−ml=n-ml=n−m，则可以把上述两个累加运算减少到一个，其中−(N−1)≤l≤(N−1)-(N-1) \le l \le (N-1)−(N−1)≤l≤(N−1):
⇒PMUSIC−1(ϕ)=∑l=−(N−1)(N−1)Clzl,其中Cl=∑n−m=lCmn\begin{aligned} \Rightarrow P^{-1}_{MUSIC}(\phi) &= \sum^{(N-1)}_{l=-(N-1)}C_lz^l, \\ 其中C_l &= \sum_{n-m=l}C_{mn} \end{aligned} ⇒PMUSIC−1(ϕ)其中Cl=l=−(N−1)∑(N−1)Clzl,=n−m=l∑Cmn
注意，CmnC_{mn}Cmn的下标中，mmm是列数，nnn是行数.同样假设N=3,M=2N=3,M=2N=3,M=2
Cmn=[C00C10C20C01C11C21C02C12C22]C−2=C20,C−1=C10+C21,C0=C00+C11+C22,C1=C01+C12,C2=C02C_{mn}= \begin{bmatrix} C_{00} & C_{10} & C_{20}\\ C_{01} & C_{11} & C_{21}\\ C_{02} & C_{12} & C_{22} \end{bmatrix} \\ C_{-2}=C_{20}, C_{-1} = C_{10}+C_{21},\\ C_{0} = C_{00}+C_{11}+C_{22},\\ C_{1} = C_{01}+C_{12}, C_{2} = C_{02} Cmn=⎣⎡C00C01C02C10C11C12C20C21C22⎦⎤C−2=C20,C−1=C10+C21,C0=C00+C11+C22,C1=C01+C12,C2=C02
显然，ClC_lCl就是矩阵C\mathbf{C}C中第nnn个对角线的所有元素相加的结果。
1.3.1 关于PMUSIC−1(ϕ)P^{-1}_{MUSIC}(\phi)PMUSIC−1(ϕ)多项式的零点问题
- 首先明确，PMUSIC−1(ϕ)P^{-1}_{MUSIC}(\phi)PMUSIC−1(ϕ)是个复杂度为(2N−2)(2N-2)(2N−2)、有(2N−2)(2N-2)(2N−2)个零点的多项式，但是并不是所有的零点都是独立的。
- 如果zzz是多项式PMUSIC−1(ϕ)P^{-1}_{MUSIC}(\phi)PMUSIC−1(ϕ)的零点之一，那么它的共轭倒数1z∗\frac{1}{z^*}z∗1也一定是零点。
- 因此，多项式PMUSIC−1(ϕ)P^{-1}_{MUSIC}(\phi)PMUSIC−1(ϕ)的零点是成对出现的。
重要的注意点：
- 我们的目的是要得到信号角度ϕ\phiϕ，从zzz的定义可以得知，只有相位包含了我们想要的角度信息。且zzz和1z∗\frac{1}{z^*}z∗1关于单位圆对称的，有相同的相位，因此最终寻找时只需要找单位圆内的(N−1)(N-1)(N−1)个零点就行。
- 在没有噪声影响时，zzz和1z∗\frac{1}{z^*}z∗1相等，且都位于单位圆上；
- 在有噪声影响时，所要寻找的M个零点就是单位圆内离单位圆最近的M个零点zm(m=1,⋯,M)z_m(m=1, \cdots, M)zm(m=1,⋯,M)
1.4 Root MUSIC算法的步骤
使用式R=1K∑k=1KxkxkH\mathbf{R}=\frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}\mathbf{x_kx_k}^HR=K1∑k=1KxkxkH来估计相关矩阵R\mathbf{R}R，再对其进行特征分解：R=QΛQH\mathbf{R}=\mathbf{Q\Lambda Q}^HR=QΛQH;
分解矩阵Q\mathbf{Q}Q得到矩阵Qn\mathbf{Q_n}Qn，它对应于矩阵Q\mathbf{Q}Q中的(N−M)(N-M)(N−M)个最小的特征向量。再得到矩阵C=QnQnH\mathbf{C}=\mathbf{Q_nQ^H_n}C=QnQnH;
通过将矩阵C\mathbf{C}C中的第lll个对角线元素相加，得到ClC_lCl;
找到多项式的(N−1)(N-1)(N−1)对零点
处于单位圆内的(N−1)(N-1)(N−1)个根中，找出MMM个最靠近单位圆的零点zm(m=1,⋯,M)z_m(m=1, \cdots, M)zm(m=1,⋯,M)
得到DOA:
注：Root-MUSIC算法只关心根的相位，而在幅度上的误差是没有关系的。
二、Smooth-MUSIC
从经典的MUSIC算法中，有一个矩阵A\mathbf{A}A是对角阵，这是因为我们假设了入射信号都是不相关的。但现实中信号往往相互联系，因此在去除相关性的限制后，就要使用Smooth-MUSIC算法来解决问题。
信号间一旦有相关性，就会减小信号相关矩阵Rs\mathbf{R_s}Rs的秩，导致噪声特征值的数量比(N−M)(N-M)(N−M)更大。
2.1 算法描述
- 将阵列的NNN个元素分解到LLL个重叠的子阵列中，每个子阵列有PPP个元素。例如，0号子阵列包括0到(P-1)个阵列元素，1号子阵列包括1到P个阵列元素。因此L=N−P+1L=N-P+1L=N−P+1；
- 使用每个子阵列上的数据，产生LLL个相关矩阵Rl(l=0,⋯,L−1)R_l(l=0, \cdots, L-1)Rl(l=0,⋯,L−1)，每个相关矩阵的维度都是P×PP \times PP×P；
- MUSIC算法就使用的相关矩阵如下：
RL=1L∑l=0L−1Rl\mathbf{R_L}=\frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1}\mathbf{R}_l RL=L1l=0∑L−1Rl
这个方法能够检测最多高达(L−1)(L-1)(L−1)个数量信号的DOA，这是因为信号相关矩阵RL\mathbf{R_L}RL的分量又变成满秩的了。
参考文献（仅写文章的标题，以做记录）
[1]. Direction of Arrival Estimation
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