2022.6.2 质数（素数）与合数

一、定义：
1、质数（ $p\neq 0,1,-1$ ）：如果p除了显然约数(1 和 p)外没有其他约数，那么称p为素数（不可约数）。

2.合数( $a\neq 0,1,-1$ )：a不是素数，则称a为合数。

二、性质：
1、如果a为合数，则必可以拆分为a=b*c（ $a>1 , a>b,c> 1$ ）。

2、如果质数p有大于1的因数d，则p一定等于d。

3、大于1的合数a一定可以拆分为多个质数的乘积。

4、大于1的合数a必有质数p导致批 p | a（ $\sqrt{a}\geq p$ ）。

5、质数有无穷多个。

6、大于4的质数都可以分解成 $6n\pm 1$ 的形式。

证明：
一个数k（大于3）%6可能会有余数：0，1，2，3，4，5
余数0，2，4 则k必为偶数
余数为3 3+6n=3+3*2n=3*（2n+1），为合数
只剩余数1，5 为 6n+1 和 6n-1

三、质数计数函数： ${\color{Red} \pi (n)}$

表示小于或等于n的素数的个数。

四、质数判定：

1、暴力枚举：

bool isPrime(int n){if(n<2)return false;for(int i=2;i<n;i++){if(n%i==0)return false;}return true;
}

时间复杂度O（n），容易超时。

2、对半测试：
一个数的最小非1的因数为2，所以这个数最大的因数会小于等于n/2。

bool isPrime(int n){if(n<2)return false;for(int i=2;i<=n/2;i++){if(n%i==0)return false;}return true;
}

3、简单检测：

这样做是十分稳妥了，但不一定所有数都要判断。

很容易发现这样一个事实：如果a是n的约数，那么 $\sqrt{a}$ 也是n的约数。

这个结论告诉我们，对于每一对，只需要检验其中的一个就好了。为了方便起见，我们之考察每一对里面小的那个数。不难发现，所有这些较小数就是 $[1,\sqrt{a}]$ 这个区间里的数。

由于1肯定是约数，所以不检验它。

bool isPrime(int n){if(n<2)return false;for(int i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0)return false;}return true;
}

五、筛数：
1、埃氏筛)

不是质数的数不筛	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	\	0	1	0	1	0	1	0	1
3	\	\	0	0	1	0	0	1	0
4	\	\	\	\	\	\	\	\	\
5	\	\	\	\	0	0	0	0	1
6	\	\	\	\	\	\	\	\	\
7	\	\	\	\	\	\	0	0	0
8	\	\	\	\	\	\	\	\	\
9	\	\	\	\	\	\	\	\	\
结果	质数	质数	合数	质数	合数	质数	合数	合数	合数

先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉

再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；

接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；

不断重复下去…

void ass(int n){bool vis[n+1];int prime[n+1],len=0;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){prime[++len]=i;for(int j=2;i*j<=n;j++){vis[i*j]=1;}}}
}

2、欧拉筛：
在埃氏筛的运算中，10被算了两次，特别浪费。

void ols(int n){int a[n+1],b[n+1];for(int i=2;i<=n;i++){if(a[i]==0){b[++k]=i;}for(int j=1;i*j<=n;j++){if(i*b[j]>n)break;a[i*b[j]]=1;if(i%b[j]==0)break;}  }
}

六、真题演练：洛谷（P2441 角色属性树）

题目描述：

绪萌同人社是一个有趣的组织，该组织结构是一个树形结构。有一个社长，直接下属一些副社长。每个副社长又直接下属一些部长……。

每个成员都有一个萌点的属性，萌点属性是由一些质数的萌元素乘积构成（例如，猫耳的值是2，弱气的值是3，黄毛的值是5，病娇的值是7，双马尾的值是11等等）

举个例子，正妹是双份的猫耳，而且有一份弱气，她的属性值为2*2*3=12。

现在组员关心一个问题，希望知道离自己最近且有相同萌元素上司是谁，例如，属性值为2、4、6、45这样的属性值都算是和正妹有相同的属性。

然而，组员可能会随时变化自己的属性。啊。。感觉好麻烦啊。。

输入格式：

第一行，n,k 表示成员数与询问的次数

第二行，n个数，分别是1~n号成员的属性值

接下来n-1行，x_i,y_i 表示x_i是y_i的上司。

接下来来k行，有两种情况

1 u_i 询问离u_i成员最近且有相同萌元素上司。

2 u_i a 更改u_i的属性值为a

输出格式：

对于每个1类型的询问，输出符合要求的编号。如果没有符合要求的编号，输出-1。

输入样例：

输出样例：

说明提示：

对于20%的数据，没有修改的操作。

对于50%的数据，n<=100,修改次数<10

对于100%的数据，n<=200000,k<100000 ,修改次数<=50,a_i<=2^31-1

UPD：本题测试数据随机，可能是假题。

思路：

使用vector建一棵树，记录上司是谁。再用暴力dfs搜索。

实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <list>
#include <map>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n,k,a[N],x,y,op;
vector<int>v[N];
int gcd(int a,int b){if(a<b){swap(a,b);}if(a%b==0)return b;if(a==1||b==1)return 1;return gcd(b,a%b);
}
int dfs(int u,int pos){int len=v[u].size();if(len<1){return -1;}else{for(int i=0;i<len;i++){if(gcd(a[v[u][i]],a[pos])>1){return v[u][i];}}for(int i=0;i<len;i++){return dfs(v[u][i],pos);}}
}
int main(){cin >>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++){cin >>a[i];}for(int i=1;i<=n-1;i++){cin >>x>>y;v[y].push_back(x);}for(int i=1;i<=k;i++){cin >>op;if(op==1){cin >>x;cout <<dfs(x,x)<<endl;}else{cin >>x>>y;a[x]=y;}}return 0;
}

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