离散数学---循环群，左陪集，子群

题目描述：

设 <Z6,+6> 是一个群，这里 +6 是模 6 加法， Z6={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ，试求出 <Z6,+6> 的所有子群及其相应左陪集。

解答：

由于循环群的子群是循环群,并且群的阶的每一个正因子存在唯一的子群。

即子群的阶是6的正因子，6的正因子只有1,2,3,6,因此Z6共有4个子群,

它们分别是一阶子群，2阶子群，3阶子群，6阶子群 =Z6（本身）。

子群首先有两个平凡子群，即{[0]}，{Z6}。一个为幺元，另一个为群本身。

然后考虑 [2] 生成的子群: {[0],[2],[4]}
然后考虑 [3] 生成的子群: {[0],[3]}

所以子群<{[0]},+6>,<{[0],[3]}，+6>,<{[0],[2],[4],+6}>，<{Z6,},+6>

下面求出左陪集：
分别用{Z6}中的每一个元素加上下面的集合，即可得：

{[0]}的左陪集：{[0]},{[1]},{[2]},{[3]},{[4]},{[5]}.
{[0],[3]}的左陪集：{[0],[3]},{[1],[4]},{[2],[5]}.
{[0],[2],[4]}的左陪集：{[0],[2],[4]},{[1],[3],[5]}.
{[Z6]}的左陪集：{[0],[1],[2],[3],[4],[5]}.(Z6本身)

那么，为什么<{[0],[1],[5]}>不是子群？

根据子群的定义，条件之一：任意两元素的运算结果仍在子群中，即封闭性。
那么可以取两个元素[1]，[1],模加6结果（1+1）%6=2，元素[2]并不在<{[0],[1],[5]}>中，同理验证元素[5]。故其不是子群。

下面是一些概念：

循环群：若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G=(a)，a称为G的—个生成元。

代数系统：S是非空集合，f1, f2, f3…是这个集合上的运算，如果关于任意一个集合上的元素，经过这些运算后的结果还是在这个集合当中 (封闭性)，那么称<S, f1, f2…, fn>为一个代数系统。例如 <R, +, -, ×, ÷>

零元：给定代数系统<S, ●>，如果存在某个元素a在S中且其他任意属于S的元素x与a（且a与x）进行●运算等于a，则a为●的零元。例如<R, ×>，任何实数与0相乘都为0，所以0为×的零元。

幺元：给定代数系统<S, ●>，如果存在某个元素e在S中且其他任意属于S的元素x与e（且e与x）进行●运算等于x本身，则e为●的幺元。例如<R, *>，任何实数与1相乘都为它本身，所以1为×的幺元。

逆元：给定代数系统<S, ●>，如果存在某个元素x在S中，且另一个元素y也在S中，满足x与y（且y与x）进行●运算等于●在S中的单位元e，则x与y互为逆元。例如<R, *>， x(x不为0)与1/x便是互为逆元。

半群：给定代数系统<S, ●>, (● 是二元运算), 如果●的运算满足结合律, 则该代数系统为半群。例如<R+, ×>, 对二元运算×满足结合律。

独异点：含有单位元的半群。例如<R, ×>, 对二元运算还有单位元1。

群：独异点的集合中所有元素都拥有逆元且逆元在该集合中，则称该独异点为群。也就是说一个普通的代数系统要成为群需要满足下面几个条件：
1.代数系统中只有一个二元运算。（代数系统具有封闭性）
2.该运算要满足结合律。
3.该运算要有幺元。
4.集合每个元素都有逆元且逆元在集合中。例如<C, +>, <R, +>, <Q, +>为群, 而<R, *>不再为群，因为0没有逆元。

子群：给定群<G, ●>，若H是S的非空子集，且H关于G中的运算构成群<H, ●>, 则称<H, ●>是<G, ●>的子群。例如<Z, +>便是<R, +>的子群。同样需要满足封闭性、结合律、有幺元，每个元素有逆元。

求子群时需要注意检验封闭性，即任意两个元素的运算之和仍然在子群中。

左陪集：如果存在一个群<H, ●>是群<G, ●>的子群，且有一个元素a在G中，则把集合a●H = {a ● h | h在H中}称为由元素a所确定的群<G, ●>中的H的左陪集，简记为aH，称a是左陪集aH中的代表元素。右陪集同理。

举例：

H的左陪集应该是对所有a属于G，应该是使a*h结果相等的集合。
比如：H={[0],[2]}是<z4,+4>的子群，H的左陪集为[0]+H={[0],[2]} ; [1]+H={[1],[3]}; [2]+H={[2],[0]}; [3]+H={[1],[3]};
可以看出[0]+H={[0],[2]}与[2]+H={[2],[0]}相等，其中一个左陪集为{[0],[2]};同理，另外一个左陪集为{[1],[3]};
右陪集也一样。

如有错误，还请指正~

离散数学---循环群，左陪集，子群相关推荐

循环群的子群是循环群
循环群的子群是循环群. 证明:$m$阶循环群都与$(\mathbb{Z}_m,+)(m\geq 1)$同构,无限阶循环群都与$(\mathbb{Z},+)$同构,所以我们只要讨论$(\mathbb{Z ...
【离散数学】求一个n阶群的全部子群(代码实现)
这是大二上离散数学的结课大作业.当时写这个作业比较困难,主要是因为网上没有类似的东西,最后是通过求助学长得到的解决方式(感谢学长). 所以把自己的报告和代码(C/C++)放上来供大家参考.如有疏漏和错 ...
【离散数学】思维导图
文章目录 1.why学 (1)实际应用 (2)应试重点 2.笔记/概念 1.关系的性质 2.等价关系 3.谓词公式分类 4.群.半群.独立点 5.欧拉图和哈密顿图 6.左陪集 6.概念汇总 3.思维导 ...
离散数学·期末重点汇总
离散数学I 一.数理逻辑部分 1.命题的概念,5个联结词.真值表.联结词完全集 2.符号化(命题符号化和谓词符号化), 注意区分命题逻辑中条件式的前件后件,谓词逻辑中的量词,辖域,全称量词与→.存在量 ...
近世代数--循环群--怎么判断是不是循环群？
近世代数--循环群--怎么判断是不是循环群? 博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理.算法,加深记忆也方便日后查找:如果有错,欢迎指正. 我整理成一个系列:近世代数,方便检索. ...
素数p阶群乘法循环群啥意思_抽象代数2-3 群元素的阶和循环群
研究一个群,自然的想法是先从最简单的一个元素"a" 开始,与"a" 有关的自然是a和自己以及它的逆的一些运算构成的幂 .a的幂跟单位元的关系得到元素的阶的概念, ...
近世代数——Part2 群：循环群
循环群定义回顾一下循环群的定义,当我们说群可以由一个元素生成,我们就可以说这个群是循环群,具体的:G={an∣n∈Z}G=\{a^n\mid n\in Z\}G={an∣n∈Z} aaa叫做GGG ...
近世代数笔记和题型连载第七章（阿贝尔群和循环群）
文章目录基础概念 1.阿贝尔群 2.循环群 3.有限循环群 4.元素的阶 5.无限循环群相关题型 1.判断一个代数系统的代数结构 2.判定一个群是否是循环群 3.判定一个群是否是循环群 4.循环群 ...
哈工大近世代数期末复习
近世代数是抽象代数的一个分支,是计算机科学和人工智能大数据的基础. 本文内容有点长,大家可以通过index来跳转到想要看的章节,第十章的总结在我的主页里下载 1.代数系半群:满足结合律的代数系交换 ...
群、环、域知识点整理（持续补充ing）
目录前言一.群(Groups) 1. 基本定义 2. 子群 3. 正规子群和商群 4. 循环群二.环(Ring) 1. 环的定义 2. 域的定义 3. 多项式环 4. 整环中的因子分解 5. 由 ...

离散数学---循环群，左陪集，子群

题目描述：

解答：

举例：

离散数学---循环群，左陪集，子群相关推荐

最新文章

热门文章