高等数学考研笔记（九）

2024-04-30 09:45:04

解析几何：

高等数学考研笔记（九）：解析几何
- 向量代数：
- 直线与平面：
- 平面曲线：
- 空间曲线和曲面：
- 投影问题：
- 距离问题：
- 平面图形面积：
- 平面曲线弧长：
- 旋转体体积：
- 旋转曲面面积：
- 形心坐标：
- 质心坐标：
- 转动惯量：

高等数学考研笔记（九）：解析几何

向量代数：
- 数量积：a⋅b=∣a∣∣b∣cos<a,b>a\cdot b = |a||b|cos<a,b>a⋅b=∣a∣∣b∣cos<a,b>
  
  ⇒\Rightarrow⇒ 判断两向量垂直：a⊥b⇔a⋅b=0a \perp b \Leftrightarrow a\cdot b = 0a⊥b⇔a⋅b=0
- 向量积：a×b=∣ijkaxayazbxbybz∣a\times b = \left|\begin{matrix}i&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z \end{matrix} \right|a×b=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣，∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin<a,b>|a\times b| = |a||b|sin<a,b>∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin<a,b>
  
  ⇒\Rightarrow⇒ 判断两向量平行：a//b⇔a×b=0⃗a //b \Leftrightarrow a\times b = \vec0a//b⇔a×b=0
- 混合积：(abc)=(a×b)⋅c∣axayazbxbybzcxcycz∣(abc) = (a\times b)\cdot c\left|\begin{matrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\\ \end{matrix} \right|(abc)=(a×b)⋅c∣∣∣∣∣∣axbxcxaybycyazbzcz∣∣∣∣∣∣
  
  ⇒\Rightarrow⇒ 判断三向量共面：(abc)=0(abc) = 0(abc)=0
  
  ⇒\Rightarrow⇒ 判断两直线异面：(s1s2P1P2⃗)≠0(s_1s_2\vec{P_1P_2}) \neq 0(s1s2P1P2)=0
直线与平面：
- 直线方程：
  - 一般式方程：{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1 = 0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2 = 0 \end{cases}{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 该直线为两平面的交线，直线的方向向量：s=n1×n2s=n_1\times n_2s=n1×n2
  - 对称式方程：x−x0m=y−y0n=z−z0p\cfrac{x-x_0}{m} =\cfrac{y-y_0}{n} =\cfrac{z-z_0}{p}mx−x0=ny−y0=pz−z0，其中P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0)P0(x0,y0,z0)是直线任一点，方向向量s=(m,n,p)s=(m,n,p)s=(m,n,p)
  - 参数式方程：{x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt\begin{cases}x = x_0+mt\\y = y_0+nt\\z = z_0+pt \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt，其中P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0)P0(x0,y0,z0)是直线任一点，方向向量s=(m,n,p)s=(m,n,p)s=(m,n,p)
- 平面方程：
  - 一般式方程：Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D = 0Ax+By+Cz+D=0，其中n=(A,B,C)n = (A,B,C)n=(A,B,C)是平面的法向量；
  - 点法式方程：A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0，其中P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0)P0(x0,y0,z0)是平面上任一点；
  - 平面束方程：过直线lll：{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1 = 0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2 = 0 \end{cases}{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0的平面束方程为：
    A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0A_1x+B_1y+C_1z+D_1 +\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0 A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0
- 平面与平面的位置关系：
  
  设平面Π1:A1x+B1y+C1z+D1=0\Pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1 = 0Π1:A1x+B1y+C1z+D1=0，平面Π2:A2x+B2y+C2z+D2=0\Pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2 = 0Π2:A2x+B2y+C2z+D2=0
  - 平行：Π1//Π2⇔n1//n2⇔A1A2=B1B2=C1C2\Pi_1//\Pi_2 \Leftrightarrow n_1//n_2 \Leftrightarrow \cfrac{A_1}{A_2}=\cfrac{B_1}{B_2}=\cfrac{C_1}{C_2}Π1//Π2⇔n1//n2⇔A2A1=B2B1=C2C1；
  - 垂直：Π1⊥Π2⇔n1⊥n2⇔A1A2+B1B2+C1C2=0\Pi_1\perp\Pi_2 \Leftrightarrow n_1\perp n_2\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0Π1⊥Π2⇔n1⊥n2⇔A1A2+B1B2+C1C2=0
  - 二面角：cos<Π1,Π2>=cos<n1,n2>=∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣cos<\Pi_1,\Pi_2> = cos<n_1,n_2> = \cfrac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}cos<Π1,Π2>=cos<n1,n2>=∣n1∣∣n2∣∣n1⋅n2∣
- 直线与直线的位置关系：
  
  设直线L1:x−x1m1=y−y1n1=z−z1p1L_1:\cfrac{x-x_1}{m_1} =\cfrac{y-y_1}{n_1} =\cfrac{z-z_1}{p_1}L1:m1x−x1=n1y−y1=p1z−z1，直线L2:x−x2m2=y−y2n2=z−z2p2L_2:\cfrac{x-x_2}{m_2} =\cfrac{y-y_2}{n_2} =\cfrac{z-z_2}{p_2}L2:m2x−x2=n2y−y2=p2z−z2
  - 平行：L1//L2⇔s1//s2⇔m1m2=n1n2=p1p2L1//L_2 \Leftrightarrow s_1 // s_2 \Leftrightarrow \cfrac{m_1}{m_2}=\cfrac{n_1}{n_2}=\cfrac{p_1}{p_2}L1//L2⇔s1//s2⇔m2m1=n2n1=p2p1
  - 垂直：L1⊥L2⇔s1⊥s2⇔m1m2+n1n2+p1p2=0L1\perp L_2 \Leftrightarrow s_1 \perp s_2 \Leftrightarrow m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2 = 0L1⊥L2⇔s1⊥s2⇔m1m2+n1n2+p1p2=0
  - 二线角：cos<L1,L2>=cos<s1,s2>=∣s1⋅s2∣∣s1∣∣s2∣cos<L_1,L_2> = cos<s_1,s_2> = \cfrac{|s_1\cdot s_2|}{|s_1||s_2|}cos<L1,L2>=cos<s1,s2>=∣s1∣∣s2∣∣s1⋅s2∣
- 直线与平面的位置关系：
  
  设平面Π:Ax+By+Cz+D=0\Pi:Ax+By+Cz+D = 0Π:Ax+By+Cz+D=0，直线L:x−xm=y−yn=z−zpL:\cfrac{x-x}{m} =\cfrac{y-y}{n} =\cfrac{z-z}{p}L:mx−x=ny−y=pz−z
  - 平行：Π//L⇔n⊥s⇔Am+Bn+Cp=0\Pi // L \Leftrightarrow n \perp s \Leftrightarrow Am+Bn+Cp = 0Π//L⇔n⊥s⇔Am+Bn+Cp=0
  - 垂直：Π⊥L⇔n//s⇔Am=Bn=Cp\Pi \perp L \Leftrightarrow n // s \Leftrightarrow \cfrac{A}{m}=\cfrac{B}{n}=\cfrac{C}{p}Π⊥L⇔n//s⇔mA=nB=pC
  - 线面角：sin<Π,L>=cos<n,s>=∣n⋅s∣∣n∣∣s∣sin<\Pi,L> = cos<n,s> = \cfrac{|n\cdot s|}{|n||s|}sin<Π,L>=cos<n,s>=∣n∣∣s∣∣n⋅s∣
平面曲线：
- 摆线：{x=a(θ−cosθ)y=a(1−sinθ)\begin{cases}x=a(\theta-cos\theta)\\y=a(1-sin\theta) \end{cases}{x=a(θ−cosθ)y=a(1−sinθ)
- 星形线：{x=acos3θy=asin3θ\begin{cases}x=acos^3\theta\\y=asin^3\theta\end{cases}{x=acos3θy=asin3θ
- 心脏线：ρ=a(1−cosθ)\rho = a(1-cos\theta)ρ=a(1−cosθ)
- 伯努利双纽线：ρ2=a2cos2θ\rho^2=a^2cos2\thetaρ2=a2cos2θ
  ρ2=a2sin2θ\rho^2=a^2sin2\thetaρ2=a2sin2θ
- 三叶玫瑰线：ρ=acos3θ\rho=acos3\thetaρ=acos3θ
  ρ=asin3θ\rho=asin3\thetaρ=asin3θ
- 四叶玫瑰线：ρ=acos2θ\rho=acos2\thetaρ=acos2θ
  ρ=asin2θ\rho=asin2\thetaρ=asin2θ
空间曲线和曲面：
- 空间曲线：
  - 参数式方程：{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)
  - 一般式方程：{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0 \end{cases}{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0
- 空间曲面：
  - 参数式方程：{x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)
  - 一般式方程：F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0
- 旋转面：
  
  设有xOyxOyxOy平面上的曲线C:{f(x,y)=0z=0C:\begin{cases}f(x,y)=0\\z=0 \end{cases}C:{f(x,y)=0z=0
  - 绕x轴旋转产生的旋转面方程：f(x,±y2+z2)=0f(x,\pm \sqrt{y^2+z^2})=0f(x,±y2+z2)=0；
  - 绕y轴旋转产生的旋转面方程：f(±x2+z2,y)=0f(\pm \sqrt{x^2+z^2},y)=0f(±x2+z2,y)=0；
- 柱面：
  - 一般式方程：设准线为C:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0C:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}C:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0，母线的方向向量(m,n,p)(m,n,p)(m,n,p)，则柱面方程为：
    {F(x0,y0,z0)=0G(x0,y0,z0)=0x−x0m=y−y0n=z−z0p\begin{cases}F(x_0,y_0,z_0)=0\\G(x_0,y_0,z_0)=0\\\cfrac{x-x_0}{m} =\cfrac{y-y_0}{n} =\cfrac{z-z_0}{p} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧F(x0,y0,z0)=0G(x0,y0,z0)=0mx−x0=ny−y0=pz−z0
    消去x0,y0,z0x_0,y_0,z_0x0,y0,z0即可得到；
  - 参数式方程：设准线为C:{x=x(t)y=y(t)z=z(t)C:\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}C:⎩⎪⎨⎪⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)，母线的方向向量(m,n,p)(m,n,p)(m,n,p)，则柱面方程为：
    {x=x(t)+msy=y(t)+nsz=z(t)+ts\begin{cases}x=x(t)+ms\\y=y(t)+ns\\z=z(t)+ts\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=x(t)+msy=y(t)+nsz=z(t)+ts
- 二次曲面：
  - 切平面方程：设切点为(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)(x0,y0,z0)，则：x2→x0x,x→x0+x2,xy→x0y+y0x2x^2 \rightarrow x_0x,x\rightarrow \cfrac{x_0+x}{2},xy\rightarrow \cfrac{x_0y+y_0x}{2}x2→x0x,x→2x0+x,xy→2x0y+y0x
  - 二次锥面：x2a2+y2b2−z2c2=0\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}-\cfrac{z^2}{c^2}=0a2x2+b2y2−c2z2=0（见图4.24）
  - 椭球面：x2a2+y2b2+z2c2=1\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}=1a2x2+b2y2+c2z2=1（见图4.25）
  - 单叶双曲面：x2a2+y2b2−z2c2=1\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}-\cfrac{z^2}{c^2}=1a2x2+b2y2−c2z2=1（见图4.26）
  - 双叶双曲面：−x2a2−y2b2+z2c2=1-\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}=1−a2x2−b2y2+c2z2=1（见图4.27）
  - 椭圆抛物面：x2a2+y2b2=2pz\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2} = 2pza2x2+b2y2=2pz（见图4.28）
  - 双曲抛物面：x2a2−y2b2=2pz\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2} = 2pza2x2−b2y2=2pz（见图4.29）
- 牟合方盖：（第一象限）
投影问题：
- 向量在向量上的投影：求向量aaa在向量bbb上的投影：Pba=a⋅b∣b∣P_b a = \cfrac{a\cdot b}{|b|}Pba=∣b∣a⋅b
- 点在平面上的投影：求点P(x0,y0,z0)P(x_0,y_0,z_0)P(x0,y0,z0)在平面Π:Ax+By+Cz+D=0\Pi:Ax+By+Cz+D=0Π:Ax+By+Cz+D=0上的投影点QQQ：
  
  ① 过PPP作垂直于平面Π\PiΠ的直线L:x−x0A=y−y0B=z−z0CL:\cfrac{x-x_0}{A} = \cfrac{y-y_0}{B} = \cfrac{z-z_0}{C}L:Ax−x0=By−y0=Cz−z0
  
  ② 求直线LLL和平面Π\PiΠ的交点QQQ：{L:x−x0A=y−y0B=z−z0CΠ:Ax+By+Cz+D=0\begin{cases} L:\cfrac{x-x_0}{A} = \cfrac{y-y_0}{B} = \cfrac{z-z_0}{C}\\\Pi:Ax+By+Cz+D=0\end{cases}⎩⎨⎧L:Ax−x0=By−y0=Cz−z0Π:Ax+By+Cz+D=0
- 点在直线上的投影：求点P(x0,y0,z0)P(x_0,y_0,z_0)P(x0,y0,z0)在直线L:x−x1m=y−y1n=z−z1pL:\cfrac{x-x_1}{m} = \cfrac{y-y_1}{n} = \cfrac{z-z_1}{p}L:mx−x1=ny−y1=pz−z1的投影点QQQ：
  
  ① 过PPP作垂直于直线LLL的平面Π:m(x−x0)+n(y−y0)+p(z−z0)=0\Pi:m(x-x_0)+n(y-y_0)+p(z-z_0) = 0Π:m(x−x0)+n(y−y0)+p(z−z0)=0；
  
  ② 求直线LLL和平面Π\PiΠ的交点QQQ：{L:x−x1m=y−y1n=z−z1pΠ:m(x−x0)+n(y−y0)+p(z−z0)=0\begin{cases} L:\cfrac{x-x_1}{m} = \cfrac{y-y_1}{n} = \cfrac{z-z_1}{p}\\\Pi:m(x-x_0)+n(y-y_0)+p(z-z_0) = 0\end{cases}⎩⎨⎧L:mx−x1=ny−y1=pz−z1Π:m(x−x0)+n(y−y0)+p(z−z0)=0
- 直线在平面上的投影：求直线L:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0L:\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}L:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 在平面Π:Ax+By+Cz+D=0\Pi:Ax+By+Cz+D=0Π:Ax+By+Cz+D=0上的投影直线L′L'L′：
  
  ① 求过直线LLL且垂直于Π\PiΠ的平面Π′:A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0\Pi':A_1x+B_1y+C_1z+D_1 +\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0Π′:A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0
  
  ② 求平面Π\PiΠ和平面Π′\Pi'Π′的交线
  L′:{Π′:A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0Π:Ax+By+Cz+D=0L':\begin{cases} \Pi':A_1x+B_1y+C_1z+D_1 +\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0\\\Pi:Ax+By+Cz+D=0\end{cases} L′:{Π′:A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0Π:Ax+By+Cz+D=0
- 空间曲线在坐标面上的投影：求曲线C:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0C:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}C:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0 在xOyxOyxOy平面上的投影曲线C′C'C′：
  
  ① 消去zzz，求曲线CCC平行于zzz轴的投影柱面Γ:H(x,y)=0\Gamma: H(x,y) = 0Γ:H(x,y)=0；
  
  ② 求柱面Γ\GammaΓ在xOyxOyxOy平面上的投影曲线C′:{H(x,y)=0z=0C':\begin{cases}H(x,y)=0\\z=0\end{cases}C′:{H(x,y)=0z=0
距离问题：
- 两点之间的距离：求点P1(x1,y1,z1)P_1(x_1,y_1,z_1)P1(x1,y1,z1)和点P2(x2,y2,z2)P_2(x_2,y_2,z_2)P2(x2,y2,z2)的距离：
  d=(x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2d = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2} d=(x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2
- 点到平面的距离：求点P(x0,y0,z0)P(x_0,y_0,z_0)P(x0,y0,z0)到平面Π:Ax+By+Cz+D=0\Pi:Ax+By+Cz+D=0Π:Ax+By+Cz+D=0的距离：
  d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d = \cfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} d=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣
- 平行平面之间的距离：求平面Π1:Ax+By+Cz+D1=0\Pi_1: Ax+By+Cz+D_1=0Π1:Ax+By+Cz+D1=0和平面Π2:Ax+By+Cz+D2=0\Pi_2:Ax+By+Cz+D_2=0Π2:Ax+By+Cz+D2=0的距离：
  d=∣D1−D2∣A2+B2+C2d = \cfrac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} d=A2+B2+C2∣D1−D2∣
- 点到直线的距离：求点P(x0,y0,z0)P(x_0,y_0,z_0)P(x0,y0,z0)到直线L:x−x1m=y−y1n=z−z1pL:\cfrac{x-x_1}{m} = \cfrac{y-y_1}{n} = \cfrac{z-z_1}{p}L:mx−x1=ny−y1=pz−z1的距离：
  d=∣s×PQ⃗∣∣s∣d = \cfrac{|s\times \vec{PQ}|}{|s|} d=∣s∣∣s×PQ∣
  其中，s=(m,n,p),PQ⃗=(x0−x1,y0−y1,z0−z1)s=(m,n,p),\vec{PQ} = (x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)s=(m,n,p),PQ=(x0−x1,y0−y1,z0−z1)
- 异面直线间的距离：求异面直线L1:x−x1m1=y−y1n1=z−z1p1L_1:\cfrac{x-x_1}{m_1} = \cfrac{y-y_1}{n_1} = \cfrac{z-z_1}{p_1}L1:m1x−x1=n1y−y1=p1z−z1和直线L2:x−x2m2=y−y2n2=z−z2p2L_2:\cfrac{x-x_2}{m_2} = \cfrac{y-y_2}{n_2} = \cfrac{z-z_2}{p_2}L2:m2x−x2=n2y−y2=p2z−z2的距离：
  d=∣n⋅PQ⃗∣∣n∣d = \cfrac{|n\cdot\vec{PQ}|}{|n|} d=∣n∣∣n⋅PQ∣
  其中，n=s1×s2,s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2),PQ⃗=(x1−x2,y1−y2,z1−z2)n=s_1\times s_2,s_1=(m_1,n_1,p_1),s_2=(m_2,n_2,p_2),\vec{PQ} = (x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)n=s1×s2,s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2),PQ=(x1−x2,y1−y2,z1−z2)
平面图形面积：
- 曲线y=y1(x)y = y_1(x)y=y1(x)和曲线y=y2(x)y=y_2(x)y=y2(x)与x=a,x=bx=a,x=bx=a,x=b围成的平面图形面积：
  S=∫ab(y1(x)−y2(x))dxS = \int_a^b (y_1(x)-y_2(x))dx S=∫ab(y1(x)−y2(x))dx
- 极坐标曲线r=r(θ)r=r(\theta)r=r(θ)介于射线θ=a,θ=b\theta=a,\theta=bθ=a,θ=b之间的曲边扇形面积：
  S=12∫abr2(θ)dθS = \cfrac{1}{2}\int_a^br^2(\theta)d\theta S=21∫abr2(θ)dθ
- 设任一平面图形的定义域为DDD，则其面积为：
  S=∬DdxdyS = \iint\limits_{D} dxdy S=D∬dxdy
平面曲线弧长：
- 参数方程曲线{x=x(t)y=y(t),a≤t≤b\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases},a\le t\le b{x=x(t)y=y(t),a≤t≤b的弧长：
  s=∫abx′2(t)+y′2(t)dts = \int_a^b \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt s=∫abx′2(t)+y′2(t)dt
- 直角坐标曲线y=y(x),a≤x≤by=y(x),a\le x\le by=y(x),a≤x≤b的弧长：
  s=∫ab1+y′2(x)dxs = \int_a^b\sqrt{1+y'^2(x)}dx s=∫ab1+y′2(x)dx
- 极坐标曲线r=r(θ),a≤θ≤br=r(\theta),a\le \theta \le br=r(θ),a≤θ≤b的弧长：
  s=∫abr2+r′2(θ)dθs = \int_a^b\sqrt{r^2+r'^2(\theta)}d\theta s=∫abr2+r′2(θ)dθ
旋转体体积：
- 曲线y=y1(x),y=y2(x)y=y_1(x),y=y_2(x)y=y1(x),y=y2(x)与x=a,x=bx=a,x=bx=a,x=b围成的曲边梯形绕x轴旋转一周的旋转体体积：
  V=π∫ab[y12(x)−y22(x)]dxV = \pi\int_a^b[y_1^2(x)-y^2_2(x)]dx V=π∫ab[y12(x)−y22(x)]dx
- 曲线y=y1(x),y=y2(x)y=y_1(x),y=y_2(x)y=y1(x),y=y2(x)与x=a,x=bx=a,x=bx=a,x=b围成的曲边梯形绕y轴旋转一周的旋转体体积：
  V=2π∫abx[y1(x)−y2(x)]dxV = 2\pi\int_a^b x[y_1(x)-y_2(x)]dx V=2π∫abx[y1(x)−y2(x)]dx
旋转曲面面积：
- 在[a,b][a,b][a,b]上的曲线C:y=y(x)C:y=y(x)C:y=y(x)的弧绕x轴旋转一周的旋转曲面面积：
  S=2π∫C∣y∣ds=2π∫ab∣y∣1+y′2dxS = 2\pi\int_C |y|ds = 2\pi\int_a^b |y|\sqrt{1+y'^2}dx S=2π∫C∣y∣ds=2π∫ab∣y∣1+y′2dx
- 在[a,b][a,b][a,b]上的曲线C:y=y(x)C:y=y(x)C:y=y(x)的弧绕y轴旋转一周的旋转曲面面积：
  S=2π∫C∣x∣ds=2π∫ab∣x∣1+y′2dxS = 2\pi\int_C |x|ds = 2\pi\int_a^b |x|\sqrt{1+y'^2}dx S=2π∫C∣x∣ds=2π∫ab∣x∣1+y′2dx
形心坐标：
- 弧形心坐标公式：x‾=∫Cxdsl,y‾=∫Cydsl\overline{x} = \cfrac{\int_{C}x ds}{l},\overline{y} = \cfrac{\int_{C}y ds}{l}x=l∫Cxds,y=l∫Cyds
- 面形心坐标公式：x‾=∬SxdσS,y‾=∬SydσS\overline{x} = \cfrac{\iint\limits_{S}x d\sigma}{S},\overline{y} = \cfrac{\iint\limits_{S}y d\sigma}{S}x=SS∬xdσ,y=SS∬ydσ
- 体形心坐标公式：x‾=∭ΩxdVV,y‾=∭ΩydVV\overline{x} = \cfrac{\iiint\limits_{\Omega}x dV}{V},\overline{y} = \cfrac{\iiint\limits_{\Omega}y dV}{V}x=VΩ∭xdV,y=VΩ∭ydV
质心坐标：
- 弧质心坐标公式：x‾=∫Cxρds∫Cρds,y‾=∫Cyρds∫Cρds\overline{x} = \cfrac{\int_{C}x\rho ds}{\int_C \rho ds},\overline{y} = \cfrac{\int_{C}y \rho ds}{\int_C \rho ds}x=∫Cρds∫Cxρds,y=∫Cρds∫Cyρds
- 面质心坐标公式：x‾=∬SxρdS∬SρdS,y‾=∬SyρdS∬SρdS\overline{x} = \cfrac{\iint\limits_{S}x \rho dS}{\iint\limits_{S}\rho dS},\overline{y} = \cfrac{\iint\limits_{S}y \rho dS}{\iint\limits_{S}\rho dS}x=S∬ρdSS∬xρdS,y=S∬ρdSS∬yρdS
- 体质心坐标公式：x‾=∭ΩxρdV∭ΩρdV,y‾=∭ΩyρdV∭ΩρdV\overline{x} = \cfrac{\iiint\limits_{\Omega}x\rho dV}{\iiint\limits_{\Omega} \rho dV},\overline{y} = \cfrac{\iiint\limits_{\Omega}y \rho dV}{\iiint\limits_{\Omega} \rho dV}x=Ω∭ρdVΩ∭xρdV,y=Ω∭ρdVΩ∭yρdV
转动惯量：
- 平面：Ix=∬Dy2ρdσ,Iy=∬Dx2ρdσI_x = \iint\limits_{D}y^2\rho d\sigma,I_y = \iint\limits_{D}x^2\rho d\sigmaIx=D∬y2ρdσ,Iy=D∬x2ρdσ
- 曲线：Ix=∫C(y2+z2)ρds,Iy=∫C(x2+z2)ρds,Iz=∫C(x2+y2)ρdsI_x = \int_{C}(y^2+z^2)\rho ds,I_y = \int_{C}(x^2+z^2)\rho ds,I_z = \int_{C}(x^2+y^2)\rho dsIx=∫C(y2+z2)ρds,Iy=∫C(x2+z2)ρds,Iz=∫C(x2+y2)ρds
- 曲面：Ix=∬S(y2+z2)ρdS,Iy=∬S(x2+z2)ρdS,Iz=∬S(x2+y2)ρdSI_x = \iint\limits_{S}(y^2+z^2)\rho dS,I_y = \iint\limits_{S}(x^2+z^2)\rho dS,I_z = \iint\limits_{S}(x^2+y^2)\rho dSIx=S∬(y2+z2)ρdS,Iy=S∬(x2+z2)ρdS,Iz=S∬(x2+y2)ρdS
- 空间体：Ix=∭v(y2+z2)ρdV,Iy=∬V(x2+z2)ρdV,Iz=∬V(x2+y2)ρdVI_x = \iiint\limits_{v}(y^2+z^2)\rho dV,I_y = \iint\limits_{V}(x^2+z^2)\rho dV,I_z = \iint\limits_{V}(x^2+y^2)\rho dVIx=v∭(y2+z2)ρdV,Iy=V∬(x2+z2)ρdV,Iz=V∬(x2+y2)ρdV

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