高等数学考研笔记（八）

2024-05-15 18:45:57

微分方程

高等数学考研笔记（八）：微分方程
- 可分离变量的方程：
- 一阶线性微分方程：
- 伯努利方程：
- 全微分方程：
- 高阶微分方程：
- 二阶线性微分方程：
- n阶线性常系数微分方程：
- 二阶欧拉方程：

高等数学考研笔记（八）：微分方程

可分离变量的方程：
- 定义：
⇒ \Rightarrow ⇒ 若存在 g ( y 0 ) = 0 g(y_0) = 0 g(y0)=0，则 y = y 0 y=y_0 y=y0是方程的奇解，不包括在隐式通解中，需要单独补上；
- 可化为分离变量方程的类型：
  - 线性组合：若微分方程形如：
    d y d x = f ( a x + b y + c ) \cfrac{dy}{dx} = f(ax+by+c) dxdy=f(ax+by+c)
    则令： u = a x + b y + c , d u = a d x + b d y u=ax+by+c,du=adx+bdy u=ax+by+c,du=adx+bdy，有：
    d u d x = a + b d y d x = a + b f ( u ) \cfrac{du}{dx} = a+b\cfrac{dy}{dx} = a+bf(u) dxdu=a+bdxdy=a+bf(u)
  - 齐次式：若微分方程形如：
    d y d x = f ( y x ) \cfrac{dy}{dx} = f(\cfrac{y}{x}) dxdy=f(xy)
    则令： u = y x , d y = u d x + x d u u=\cfrac{y}{x},dy = udx+xdu u=xy,dy=udx+xdu，有：
    d y d x = u + x d u d x = f ( u ) \cfrac{dy}{dx} = u+x\cfrac{du}{dx} = f(u) dxdy=u+xdxdu=f(u)
  - 齐次线性组合：若微分方程形如：
    d y d x = f ( a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 ) \cfrac{dy}{dx} = f(\cfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}) dxdy=f(a2x+b2y+c2a1x+b1y+c1)
    则令： { u = a 1 x + b 1 y + c 1 , v = a 2 x + b 2 y + c 2 , ( a 2 , b 2 ) ≠ k ( a 1 , b 1 ) u = a 1 x + b 1 y , ( a 2 , b 2 ) = k ( a 1 , b 1 ) \begin{cases}u=a_1x+b_1y+c_1,v=a_2x+b_2y+c_2,&(a_2,b_2)\neq k(a_1,b_1)\\u=a_1x+b_1y,&(a_2,b_2)= k(a_1,b_1)\end{cases} {u=a1x+b1y+c1,v=a2x+b2y+c2,u=a1x+b1y,(a2,b2)=k(a1,b1)(a2,b2)=k(a1,b1)
一阶线性微分方程：
- 定义：形如：
  y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y'+P(x)y = Q(x) y′+P(x)y=Q(x)
  的微分方程称为一阶线性微分方程，当 Q ( x ) = 0 Q(x)=0 Q(x)=0时称一阶齐次线性微分方程；
- 通解：令积分因子： u = e ∫ P ( x ) d x u = e^{\int P(x)dx} u=e∫P(x)dx，方程两边同时乘以积分因子，整理得：
  d ( y u ) = Q ( x ) × u d x d(yu) = Q(x)\times udx d(yu)=Q(x)×udx
  故通解为：
  y = 1 u ( C + ∫ Q ( x ) × u d x ) y = \cfrac{1}{u}(C+\int Q(x)\times udx) y=u1(C+∫Q(x)×udx)
伯努利方程：
- 定义：形如：
  d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y k , k ≠ 0 , 1 且 k ∈ R \cfrac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)y^k,k\neq 0,1且k\in R dxdy+P(x)y=Q(x)yk,k=0,1且k∈R
- 通解：
  
  当 y ≠ 0 y\neq 0 y=0时，两边同时乘以 y − k y^{-k} y−k，得到：
  y − k d y d x + P ( x ) y 1 − k = 1 1 − k d ( y 1 − k ) d x + P ( x ) y 1 − k = Q ( x ) y^{-k}\cfrac{dy}{dx}+P(x)y^{1-k} = \cfrac{1}{1-k}\cfrac{d(y^{1-k})}{dx}+P(x)y^{1-k} = Q(x) y−kdxdy+P(x)y1−k=1−k1dxd(y1−k)+P(x)y1−k=Q(x)
  令 u = y 1 − k u = y^{1-k} u=y1−k，则上式化为一阶线性微分方程：
  u ′ + ( 1 − k ) P ( x ) u = ( 1 − k ) Q ( x ) u'+(1-k)P(x)u = (1-k)Q(x) u′+(1−k)P(x)u=(1−k)Q(x)
全微分方程：
- 若微分方程形如：
  P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
  且满足： ∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y \cfrac{\partial Q}{\partial x} = \cfrac{\partial P}{\partial y} ∂x∂Q=∂y∂P，则存在可微函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)，使得 d u = P d x + Q d y du=Pdx+Qdy du=Pdx+Qdy，且有：
  u ( x , y ) = ∫ x 0 x P ( x , y 0 ) d x + ∫ y 0 y Q ( x , y ) d y = ∫ x 0 x P ( x , y ) d x + ∫ y 0 y Q ( x 0 , y ) d y u(x,y) = \int_{x_0}^xP(x,y_0)dx+\int_{y_0}^yQ(x,y)dy = \int_{x_0}^xP(x,y)dx+\int_{y_0}^yQ(x_0,y)dy u(x,y)=∫x0xP(x,y0)dx+∫y0yQ(x,y)dy=∫x0xP(x,y)dx+∫y0yQ(x0,y)dy
  其中： ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)可以从 P , Q P,Q P,Q的公共定义域内任取；
高阶微分方程：
- 可降阶的高阶微分方程：形如：
  y ( n ) = f ( x ) y^{(n)} = f(x) y(n)=f(x)
  ⇒ \Rightarrow ⇒ 连续两边积分n次即可；
- 不显含y的微分方程：形如：
  f ( x , y ′ , y ′ ′ ) = 0 f(x,y',y'') = 0 f(x,y′,y′′)=0
  令 y ′ = p ( x ) y' = p(x) y′=p(x)，则 y ′ ′ = p ′ y''=p' y′′=p′，上式化为一阶微分方程：
  f ( x , p , p ′ ) = 0 f(x,p,p') = 0 f(x,p,p′)=0
- 不显含x的微分方程：形如：
  f ( y , y ′ , y ′ ′ ) = 0 f(y,y',y'') = 0 f(y,y′,y′′)=0
  令 y ′ = p ( y ) y'=p(y) y′=p(y)，则： y ′ ′ = d p d x = d p d y d y d x = p × p y ′ y''=\cfrac{dp}{dx} = \cfrac{dp}{dy}\cfrac{dy}{dx} = p\times p'_y y′′=dxdp=dydpdxdy=p×py′，则上式化为一阶微分方程：
  f ( y , p , p × p ′ ) = 0 f(y,p,p\times p') = 0 f(y,p,p×p′)=0
二阶线性微分方程：
- 定义：形如：
  y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) y''+p(x)y'+q(x)y = f(x) y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)
  的方程叫二阶线性微分方程，当 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0时，称二阶齐次线性微分方程；
- 齐次方程的通解结构：若 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) y_1(x),y_2(x) y1(x),y2(x)是二阶方线性微分方程的两个线性无关的解，则：
  y = C 1 y 1 + C 2 y 2 y = C_1y_1+C_2y_2 y=C1y1+C2y2
  即是该方程的通解，其中 C 1 , C 2 C_1,C_2 C1,C2是互相独立的任意常数；
- 非齐次方程的通解结构：
  
  若 y ∗ y^* y∗是二阶非齐次线性微分方程的特解，而 C 1 y 1 + C 2 y 2 C_1y_1+C_2y_2 C1y1+C2y2是对应齐次线性微分方程的通解，则：
  y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + y ∗ y = C_1y_1+C_2y_2 + y^* y=C1y1+C2y2+y∗
  即是非齐次方程的通解；
  
  ⇒ \Rightarrow ⇒ 若 y 1 ∗ y_1^* y1∗和 y 2 ∗ y_2^* y2∗是非齐次方程的两个特解，则 y 1 ∗ − y 2 ∗ y_1^*-y_2^* y1∗−y2∗是对应齐次方程的通解；
  
  ⇒ \Rightarrow ⇒ 若 y 1 y_1 y1和 y 2 y_2 y2分别是非齐次方程 y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 1 ( x ) y''+p(x)y'+q(x)y = f_1(x) y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)和 y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 2 ( x ) y''+p(x)y'+q(x)y = f_2(x) y′′+p(x)y′+q(x)y=f2(x)的两个解，则 y 1 + y 2 y_1+y_2 y1+y2是方程 y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) y''+p(x)y'+q(x)y = f_1(x)+f_2(x) y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)+f2(x)的通解；
- 常数变易法：若 y 1 , y 2 y_1,y_2 y1,y2是齐次方程的两个线性无关的解，则其非齐次方程有特解：
  y ∗ = C 1 ( x ) y 1 + C 2 ( x ) y 2 y^* = C_1(x)y_1+C_2(x)y_2 y∗=C1(x)y1+C2(x)y2
  其中， C 1 ( x ) , C 2 ( x ) C_1(x),C_2(x) C1(x),C2(x)满足方程组：
  { C 1 ′ y 1 + C 2 ′ y 2 = 0 C 1 ′ y 1 ′ + C 2 ′ y 2 ′ = f ( x ) \begin{cases} C_1'y_1 + C_2'y_2 = 0\\ C_1'y_1'+C_2'y_2' = f(x) \end{cases} {C1′y1+C2′y2=0C1′y1′+C2′y2′=f(x)
n阶线性常系数微分方程：
- 定义：形如：
  y ( n ) + c 1 y ( n − 1 ) + . . . + c n y = f ( x ) y^{(n)}+c_1y^{(n-1)}+...+c_ny = f(x) y(n)+c1y(n−1)+...+cny=f(x)
  的方程称为n阶线性常系数微分方程，当 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0时称n阶齐次线性常系数微分方程；
- 特征方程：
  λ n + c 1 λ n − 1 + . . + c n = 0 \lambda^n+c_1\lambda^{n-1}+..+c_n = 0 λn+c1λn−1+..+cn=0
- 齐次方程通解的结构：
- 待定系数法求非齐次方程特解：
  - 设 f ( x ) = P m ( x ) e α x f(x) = P_m(x)e^{\alpha x} f(x)=Pm(x)eαx，其中 P m ( x ) P_m(x) Pm(x)是关于x的m次多项式函数，则非齐次方程的特解形式为：
    y ∗ = x k Q m ( x ) e α x y^* = x^kQ_m(x)e^{\alpha x} y∗=xkQm(x)eαx
    其中，k是 α \alpha α作为特征方程 λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2+p\lambda+q=0 λ2+pλ+q=0的特征根的重数， Q m ( x ) Q_m(x) Qm(x)是关于x的m次多项式函数；
  - 设 f ( x ) = [ A m 1 ( x ) c o s β x + B m 2 ( x ) sin ⁡ β x ] e α x f(x) = [A_{m_1}(x)cos\beta x+B_{m_2}(x)\sin\beta x]e^{\alpha x} f(x)=[Am1(x)cosβx+Bm2(x)sinβx]eαx，其中 A m 1 ( x ) A_{m_1}(x) Am1(x)、 B m 2 ( x ) B_{m_2}(x) Bm2(x)分别是x的 m 1 m_1 m1、 m 2 m_2 m2次多项式，令 m = m a x { m 1 , m 2 } m=max\{m_1,m_2\} m=max{m1,m2}，则非齐次方程的特解形式为：
    y ∗ = x k [ C m ( x ) c o s β ( x ) + D m s i n β x ] e α x y^* = x^k[C_m(x)cos\beta (x)+D_m sin \beta x]e^{\alpha x} y∗=xk[Cm(x)cosβ(x)+Dmsinβx]eαx
    其中，k是 α + β i \alpha+\beta i α+βi作为特征方程 λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2+p\lambda+q=0 λ2+pλ+q=0的特征根的重数， C m ( x ) , D m ( x ) C_m(x),D_m(x) Cm(x),Dm(x)均是关于x的m次多项式函数；
二阶欧拉方程：
- 定义：形如：
  x 2 y ′ ′ + p x y ′ + q y = f ( x ) x^2y''+pxy'+qy = f(x) x2y′′+pxy′+qy=f(x)
- 通解：令 x = e t x = e^t x=et， D = d d t D = \cfrac{d}{dt} D=dtd则：
  d y d x = d y d t d t d x = 1 x D y d 2 y d x 2 = − 1 x 2 D y + 1 x 2 D 2 y = 1 x 2 [ D ( D − 1 ) ] y \cfrac{dy}{dx} = \cfrac{dy}{dt}\cfrac{dt}{dx}=\cfrac{1}{x}Dy\\ \cfrac{d^2y}{dx^2}=-\cfrac{1}{x^2}Dy+\cfrac{1}{x^2}D^2y = \cfrac{1}{x^2}[D(D-1)]y dxdy=dtdydxdt=x1Dydx2d2y=−x21Dy+x21D2y=x21[D(D−1)]y
  故原方程化为二阶常系数线性微分方程：
  [ D ( D − 1 ) ] y + p D y + q y = f ( e t ) [D(D-1)]y+pDy+qy = f(e^t) [D(D−1)]y+pDy+qy=f(et)
- 推广：对于n阶欧拉方程：
  x n y ( n ) + c 1 x n − 1 y ( n − 1 ) + . . + c n − 1 x y ′ + c n y = f ( x ) x^ny^{(n)}+c_1x^{n-1}y^{(n-1)}+..+c_{n-1}xy'+c_ny = f(x) xny(n)+c1xn−1y(n−1)+..+cn−1xy′+cny=f(x)
  同理令 x = e t x=e^t x=et， D = d d t D = \cfrac{d}{dt} D=dtd，可得： x k y ( k ) = D ( D − 1 ) . . ( D − k + 1 ) y = D ! ( D − k ) ! y = A D k y x^{k}y^{(k)} = D(D-1)..(D-k+1)y = \cfrac{D!}{(D-k)!}y = A_D^k y xky(k)=D(D−1)..(D−k+1)y=(D−k)!D!y=ADky；
  
  原方程化为n阶常系数微分方程：
  ∑ k = 0 n c k A D k y = f ( x ) , c 0 = 1 \sum\limits_{k=0}^n c_k A_D^k y = f(x),\space c_0 = 1 k=0∑nckADky=f(x), c0=1

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