高等数学考研笔记（七）

无穷级数：

高等数学考研笔记（七）：无穷级数
- 无穷级数相关概念：
- 收敛级数性质：
- 数项级数敛散性判定定理：
- 函数项级数收敛定理：
- 无穷限广义积分收敛定理：
- 无界函数广义积分收敛定理：(默认以b为奇点)
- 傅里叶级数：

高等数学考研笔记（七）：无穷级数

无穷级数相关概念：
- 收敛：lim⁡∑an\lim \sum a_nlim∑an存在；
- 发散：lim⁡∑an\lim \sum a_nlim∑an不存在；
- 绝对收敛： lim⁡∑∣an∣\lim \sum \mid a_n\midlim∑∣an∣存在；绝对收敛级数一定收敛；
- 条件收敛：lim⁡∑∣an∣\lim \sum \mid a_n\midlim∑∣an∣不存在，且lim⁡∑an\lim \sum a_nlim∑an存在；
- 一致收敛：设函数项级数∑un(x)\sum u_n(x)∑un(x)，对于任意给定的正数ε\varepsilonε，都存在一个只依赖于ε\varepsilonε的自然数N，使得当n>N时，对于区间III上的一切x，都有：
  ∣rn(x)∣=∣S(x)−Sn(x)∣<ε|r_n(x)| = |S(x)-S_n(x)| < \varepsilon ∣rn(x)∣=∣S(x)−Sn(x)∣<ε
  则称函数项级数∑un(x)\sum u_n(x)∑un(x)在区间I上一致收敛于S(x)S(x)S(x)；
- 收敛区间：若幂级数的收敛半径是RRR，则(−R,R)(-R,R)(−R,R)称该幂级数的收敛区间；
- 收敛域：若幂级数的收敛区间为(−R,R)(-R,R)(−R,R)，考察边界点的收敛性，则该幂级数的收敛域为：
  - [−R,R)[-R,R)[−R,R)，若x=−Rx=-Rx=−R处收敛，x=Rx=Rx=R处发散；
  - (−R,R](-R,R](−R,R]，若x=Rx=Rx=R处收敛，x=−Rx=-Rx=−R处发散；
  - [−R,R][-R,R][−R,R]，若x=R,x=−Rx=R,x=-Rx=R,x=−R处均收敛；
  - (−R,R)(-R,R)(−R,R)，若x=R,x=−Rx=R,x=-Rx=R,x=−R处发散；
收敛级数性质：
- 收敛级数的通项极限为0；
- 正项收敛级数的子级数一定收敛；
- 收敛级数具有可结合性；
- 绝对收敛级数具有可更序性；
- 条件收敛的级数的所有正项或所有负项构成的级数一定发散；
- 两收敛级数的和为收敛级数；一收敛级数和一发散级数的和为发散级数；两个发散级数的和的级数的敛散性不定；
- 两绝对收敛级数的和为绝对收敛级数；一绝对收敛级数和一条件收敛级数的和为条件收敛级数；两条件收敛级数的和可能是绝对收敛级数也可能是条件收敛级数；
- 若正项级数∑an\sum a_n∑an收敛，则：∑an2\sum a_n^2∑an2收敛，反之不然；若∑an2\sum a_n^2∑an2收敛，则正项级数∑an/n\sum a_n/n∑an/n收敛；
- 对于一致收敛（幂级数在收敛域内一致收敛）的函数级数∑un(x)∑u_n(x)∑un(x)：
  - 若un(x)u_n(x)un(x)连续，则和函数连续；
  - 和函数可以逐项求导；
  - 和函数可以逐项积分；
- 设幂级数∑n=0anxn\sum\limits_{n=0} a_nx^nn=0∑anxn的收敛半径是RRR，和函数为S(x)S(x)S(x)，则：
  - 幂级数∑n=0anx2n\sum\limits_{n=0} a_nx^{2n}n=0∑anx2n和∑n=0anx2n−1\sum\limits_{n=0} a_nx^{2n-1}n=0∑anx2n−1的收敛半径为R\sqrt{R}R；
  - 奇偶子列幂级数必定收敛，故收敛半径R’≥RR’\ge RR’≥R；
  - S(x)S(x)S(x)在(−R,R)(-R,R)(−R,R)上连续；
  - S(x)S(x)S(x)在(−R,R)(-R,R)(−R,R)上可导，且可逐项求导，即S′(x)=∑n=1nanxn−1S'(x) = \sum\limits_{n=1}na_nx^{n-1}S′(x)=n=1∑nanxn−1；
  - S(x)S(x)S(x)在(−R,R)(-R,R)(−R,R)上可积，且可逐项积分，即∫0xS(t)dt=∑n=0∫0xantndt=∑n=0ann+1xn+1\int_0^xS(t)dt = \sum\limits_{n=0}\int_0^xa_nt^ndt = \sum\limits_{n=0}\cfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}∫0xS(t)dt=n=0∑∫0xantndt=n=0∑n+1anxn+1
    
    ⇒\Rightarrow⇒ 若∫0xS(t)dt\int_0^xS(t)dt∫0xS(t)dt在R处左连续，且∑n=0ann+1Rn+1\sum\limits_{n=0}\cfrac{a_n}{n+1}R^{n+1}n=0∑n+1anRn+1收敛，则S(x)S(x)S(x)在(−R,R](-R,R](−R,R]上可积；x=−Rx=-Rx=−R时同理
  - an=S(n)(0)n!a_n = \cfrac{S^{(n)}(0)}{n!}an=n!S(n)(0)；特别地，S(0)=a0特别地，S(0) = a_0特别地，S(0)=a0；
数项级数敛散性判定定理：
- 任意级数：
  - 部分和SnS_nSn极限存在（充要，定义）；
  - 柯西收敛原理（充要）：级数∑un\sum u_n∑un收敛，当且仅当对于任意给定的正数ε\varepsilonε，总存在N，使得当n>N时，对于任意正整数p，都有：
    ∣un+1+un+2+..+un+p∣<ε|u_{n+1}+u_{n+2}+..+u_{n+p}|<\varepsilon ∣un+1+un+2+..+un+p∣<ε
  - 通项判别法（必要）：收敛级数的通项unu_nun趋近于0；
  - 阿贝尔判别法（充分）：若满足：① ∑bn\sum b_n∑bn收敛；② {an}\{a_n\}{an}单调有界，则：级数∑anbn\sum a_n b_n∑anbn收敛；
  - 狄利克莱判别法（充分）：若满足：① ∑bn\sum b_n∑bn有界；② {an}\{a_n\}{an}单调趋近于零，则：级数∑anbn\sum a_n b_n∑anbn收敛；
- 正项级数：
  - 部分和SnS_nSn有上界（充要）；
  - 比较定理（充分）：
    - 若lim⁡unvn=ρ(0≤ρ<+∞)\lim \cfrac{u_n}{v_n} = \rho(0\le \rho< +\infty)limvnun=ρ(0≤ρ<+∞)，且级数∑vn\sum v_n∑vn收敛，则∑un\sum u_n∑un收敛；
    - 若lim⁡unvn=ρ(0<ρ≤+∞)\lim \cfrac{u_n}{v_n} = \rho(0< \rho\le +\infty)limvnun=ρ(0<ρ≤+∞)，且级数∑vn\sum v_n∑vn发散，则∑un\sum u_n∑un发散；
    - 常用于比较的已知敛散性的正项级数：
      - ppp级数：∑n=1∞1np{收敛,p>1发散,p≤1\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{n^p} \begin{cases}收敛,&p>1\\发散,&p\le1 \end{cases}n=1∑∞np1{收敛,发散,p>1p≤1；
      - 等比级数：∑n=1∞aqn{收敛,0<q<1发散,q>1,a>0\sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^n \begin{cases}收敛,&0<q<1\\发散,&q>1,a>0 \end{cases}n=1∑∞aqn{收敛,发散,0<q<1q>1,a>0；
      - 对数ppp级数：∑n=2∞1lnpn发散,p>0\sum\limits_{n=2}^{\infty}\cfrac{1}{ln^pn}发散, p> 0n=2∑∞lnpn1发散,p>0；
      - 幂对数ppp级数：∑n=2∞1nplnqn{收敛,p>1或(p=1且q>1)发散,p<1或(p=1且q≤1)\sum\limits_{n=2}^{\infty}\cfrac{1}{n^pln^qn}\begin{cases}收敛,&p>1 或 (p=1且q>1)\\发散,&p<1或(p=1且q\le 1) \end{cases}n=2∑∞nplnqn1{收敛,发散,p>1或(p=1且q>1)p<1或(p=1且q≤1)；
  - 柯西判别法（充分）：令lim⁡unn=ρ\lim \sqrt[n]{u_n} = \rholimnun=ρ，
    - 若ρ<1\rho < 1ρ<1，级数∑un\sum u_n∑un收敛；
    - 若ρ>1或ρ=+∞\rho > 1或\rho = +\inftyρ>1或ρ=+∞，级数∑un\sum u_n∑un发散；
    - 若ρ=1\rho = 1ρ=1，无法判定级数∑un\sum u_n∑un的敛散性；
  - 达朗贝尔判别法（充分）：令lim⁡uu+1un=ρ\lim \cfrac{u_{u+1}}{u_n} = \rholimunuu+1=ρ，
    - 若ρ<1\rho < 1ρ<1，级数∑un\sum u_n∑un收敛；
    - 若ρ>1或ρ=+∞\rho > 1或\rho = +\inftyρ>1或ρ=+∞，级数∑un\sum u_n∑un发散；
    - 若ρ=1\rho = 1ρ=1，无法判定级数∑un\sum u_n∑un的敛散性；
  - 柯西积分判别法（充分）：若存在一个单调递减的正值函数f(x)f(x)f(x)，使得：un=f(n)u_n=f(n)un=f(n)，
    
    则：级数∑un\sum u_n∑un和广义积分∫1+∞f(x)dx\int_1^{+\infty}f(x)dx∫1+∞f(x)dx的敛散性相同；
  - 库默尔判别法（充分）：设Σ1cnΣ\cfrac{1}{c_n}Σcn1是一个发散的正项级数，令：
    
    Kn=cn∗unun+1−cn+1,K=lim⁡KnK_n = c_n*\cfrac{u_n}{u_{n+1}} - c_{n+1}, K = \lim K_nKn=cn∗un+1un−cn+1,K=limKn
    - 若K>0K>0K>0，级数∑un\sum u_n∑un收敛；
    - 若K<0K<0K<0，级数∑un\sum u_n∑un发散；
    - 若K=0K=0K=0，无法判定∑un\sum u_n∑un的敛散性；
  - 拉阿伯判别法（充分）：令库默尔判定法中的cn=nc_n=ncn=n，则可令：
    
    Rn=n(unun+1−1),R=lim⁡RnR_n = n(\frac{u_n}{u_{n+1} }- 1), R = \lim R_nRn=n(un+1un−1),R=limRn
    - 若R>0R>0R>0，级数∑un\sum u_n∑un收敛；
    - 若R<0R<0R<0，级数∑un\sum u_n∑un发散；
    - 若R=0R=0R=0，无法判定∑un\sum u_n∑un的敛散性；
  - 贝朗特判别法（充分）：令库默尔中的cn=nln⁡nc_n = n\ln ncn=nlnn则，可令：
    
    Bn=ln⁡n[n(unun+1−1)−1]B_n =\ln n[n(\cfrac{u_n}{u_{n+1} }- 1)-1]Bn=lnn[n(un+1un−1)−1],B=lim⁡Bn,B = \lim B_n,B=limBn
    - 若B>0B>0B>0，级数∑un\sum u_n∑un收敛；
    - 若B<0B<0B<0，级数∑un\sum u_n∑un发散；
    - 若B=0B=0B=0，无法判定∑un\sum u_n∑un的敛散性；
  - 高斯判别法（充分）：若unun+1=λ+μn+cnn2\cfrac{u_n}{u_{n+1}} = λ+\cfrac{μ}{n} + \cfrac{c_n}{n^2}un+1un=λ+nμ+n2cn, 其中λ和μ都是常数，而cnc_ncn是有界量，则：
    - 若λ>1λ>1λ>1，级数收敛；
    - 若λ<1λ<1λ<1，级数发散；
    - 若λ=1λ=1λ=1，若μ>1μ>1μ>1级数收敛，μ≤1μ\le1μ≤1时级数发散；
- 交错级数：
  - 莱布尼兹定理（充分）：若交错级数∑(−1)n+1un\sum (-1)^{n+1}u_n∑(−1)n+1un的一般项unu_nun单调趋近于零，则级数收敛，且其余项rnr_nrn与(−1)n+2un+1(-1)^{n+2}u_{n+1}(−1)n+2un+1的符号相同，且∣rn∣≤un+1|r_n|\le u_{n+1}∣rn∣≤un+1；
函数项级数收敛定理：
- 任意级数：
  - 魏尔斯特拉斯判别法（充分）：如果函数项级数∑un(x)\sum u_n(x)∑un(x)满足：∣un(x)∣≤an|u_n(x)|\le a_n∣un(x)∣≤an，且正项级数∑an\sum a_n∑an收敛，则∑un(x)\sum u_n(x)∑un(x)在区间I上一致收敛；
- 幂级数：
  - 阿贝尔定理（充分）：
    - 若幂级数∑anxn\sum a_nx^n∑anxn在点x0≠0x_0\neq 0x0=0收敛，则对满足∣x∣<∣x0∣|x|<|x_0|∣x∣<∣x0∣的一切x，幂级数∑anxn\sum a_nx^n∑anxn绝对收敛；
    - 若幂级数∑anxn\sum a_nx^n∑anxn在点x0≠0x_0\neq 0x0=0处发散，则对满足∣x∣>∣x0∣|x|>|x_0|∣x∣>∣x0∣的一切x，幂级数∑anxn\sum a_nx^n∑anxn发散；
    - 若幂级数∑an(x−x0)n\sum a_n(x-x_0)^n∑an(x−x0)n在x=bx=bx=b处条件收敛，则x=bx=bx=b为该幂级数收敛区间的一个端点；
  - 柯西-阿达马定理（充分）：对于幂级数∑anxn\sum a_nx^n∑anxn，令lim⁡∣an+1an∣=lim⁡∣an∣n=l\lim |\cfrac{a_{n+1}}{a_n}| =\lim \sqrt[n]{|a_n|}= llim∣anan+1∣=limn∣an∣=l，
    
    则其收敛半径为：
    R={1l,0<l<+∞+∞,l=00,l=+∞R = \begin{cases} \cfrac{1}{l}, &0<l<+\infty\\ +\infty,&l=0\\ 0,&l=+\infty \end{cases} R=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧l1,+∞,0,0<l<+∞l=0l=+∞
  - 若∑anxn\sum a_nx^n∑anxn的收敛半径为RaR_aRa，∑bnxn\sum b_nx^n∑bnxn的收敛半径为RbR_bRb，则∑(an±bn)xn\sum (a_n\pm b_n)x^n∑(an±bn)xn的收敛半径:
    R{=min(Ra,Rb),Ra≠Rb≥min(Ra,Rb),Ra=RbR\begin{cases}=min(R_a,R_b),&R_a\neq R_b\\\ge min(R_a,R_b),&R_a= R_b \end{cases} R{=min(Ra,Rb),≥min(Ra,Rb),Ra=RbRa=Rb
- 泰勒级数：
  - 余项判别法（充要）：若函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处展开的泰勒级数的余项lim⁡Rn(x)=0\lim R_n(x)=0limRn(x)=0，则该泰勒级数在x0x_0x0处收敛于f(x)f(x)f(x)；
无穷限广义积分收敛定理：
- 柯西收敛原理（充要）：广义积分∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)dx∫a+∞f(x)dx收敛，当且仅当：对于任意给定的正数ε\varepsilonε，存在A>aA>aA>a，使得当b1,a1>Ab_1,a_1>Ab1,a1>A时，恒有：
  ∣∫a1b1f(x)dx∣<ε|\int_{a_1}^{b_1}f(x)dx|<\varepsilon ∣∫a1b1f(x)dx∣<ε
- 比较判别法（充分）：设f(x),g(x)在[a,+∞]f(x),g(x)在[a,+\infty]f(x),g(x)在[a,+∞]上为正值函数，且在任意区间[a,b][a,b][a,b]上可积，令：
  lim⁡x→+∞f(x)g(x)=ρ\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\rho x→+∞limg(x)f(x)=ρ
  则有：
  - 若0≤ρ<+∞0\le \rho <+\infty0≤ρ<+∞，且∫a+∞g(x)dx\int_a^{+\infty}g(x)dx∫a+∞g(x)dx收敛，则∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)dx∫a+∞f(x)dx收敛；
  - 若0<ρ≤+∞0< \rho \le+\infty0<ρ≤+∞，且∫a+∞g(x)dx\int_a^{+\infty}g(x)dx∫a+∞g(x)dx发散，则∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)dx∫a+∞f(x)dx发散；
- 柯西判别法（充分）：设f(x)在[a,+∞]f(x)在[a,+\infty]f(x)在[a,+∞]上为正值函数，令：
  lim⁡x→+∞xpf(x)=ρ\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^pf(x) = \rho x→+∞limxpf(x)=ρ
  即比较判别法中：g(x)=1xpg(x) = \cfrac{1}{x^p}g(x)=xp1
  
  由于：g(x)=1xp{收敛,p>1发散,p≤1g(x) = \cfrac{1}{x^p} \begin{cases}收敛,& p>1\\发散,& p\le 1 \end{cases}g(x)=xp1{收敛,发散,p>1p≤1
  
  则有：
  - 若0≤ρ<+∞0\le \rho <+\infty0≤ρ<+∞，且p>1p>1p>1，则∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)dx∫a+∞f(x)dx收敛；
  - 若0<ρ≤+∞0< \rho \le+\infty0<ρ≤+∞，且p≤1p\le 1p≤1，则∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)dx∫a+∞f(x)dx发散；
  ⇒\Rightarrow⇒ 扩展：另外常用的一个g(x):∫a+∞1x(lnx)p{收敛,p>1发散,p≤1g(x):\int_a^{+\infty}\cfrac{1}{x(lnx)^p}\begin{cases}收敛,& p>1 \\ 发散, & p\le 1 \end{cases}g(x):∫a+∞x(lnx)p1{收敛,发散,p>1p≤1
- 阿贝尔判别法（充分）：若满足：① ∫a+∞g(x)dx\int_a^{+\infty}g(x)dx∫a+∞g(x)dx收敛；② f(x)f(x)f(x)单调有界，则：
  
  级数∫a+∞f(x)g(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx∫a+∞f(x)g(x)dx收敛；
- 狄利克莱判别法（充分）：若满足：① ∀A≥a,∫aAg(x)dx\forall A\ge a,\int_a^{A}g(x)dx∀A≥a,∫aAg(x)dx有界；② f(x)f(x)f(x)单调趋近于零，则：
  
  级数∫a+∞f(x)g(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx∫a+∞f(x)g(x)dx收敛；
无界函数广义积分收敛定理：(默认以b为奇点)
- 柯西收敛原理（充要）：广义积分∫abf(x)dx\int_a^{b}f(x)dx∫abf(x)dx收敛，当且仅当：对于任意给定的正数ε\varepsilonε，存在δ>a\delta>aδ>a，使得当0<η2<η1<δ0<\eta_2<\eta_1<\delta0<η2<η1<δ时，恒有：
  ∣∫b−η1b−η2f(x)dx∣<ε|\int_{b-\eta_1}^{b-\eta_2}f(x)dx|<\varepsilon ∣∫b−η1b−η2f(x)dx∣<ε
- 比较判别法（充分）：设f(x),g(x)在[a,b)f(x),g(x)在[a,b)f(x),g(x)在[a,b)上为正值函数，令：
  lim⁡x→b−f(x)g(x)=ρ\lim\limits_{x\rightarrow b^-}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\rho x→b−limg(x)f(x)=ρ
  则有：
  - 若0≤ρ<+∞0\le \rho <+\infty0≤ρ<+∞，且∫abg(x)dx\int_a^{b}g(x)dx∫abg(x)dx收敛，则∫abf(x)dx\int_a^{b}f(x)dx∫abf(x)dx收敛；
  - 若0<ρ≤+∞0< \rho \le+\infty0<ρ≤+∞，且∫abg(x)dx\int_a^{b}g(x)dx∫abg(x)dx发散，则∫abf(x)dx\int_a^{b}f(x)dx∫abf(x)dx发散；
- 柯西判别法（充分）：设f(x)在[a,b)f(x)在[a,b)f(x)在[a,b)上为正值函数，令：
  {lim⁡x→b−(b−x)pf(x)=ρ,b为奇点lim⁡x→a+(x−a)pf(x)=ρ,a为奇点\begin{cases} \lim\limits_{x\rightarrow b^-}(b-x)^pf(x) = \rho,&b为奇点\\ \lim\limits_{x\rightarrow a^+}(x-a)^pf(x) = \rho,&a为奇点\\ \end{cases} ⎩⎨⎧x→b−lim(b−x)pf(x)=ρ,x→a+lim(x−a)pf(x)=ρ,b为奇点a为奇点
  即比较判别法中：g(x)=1(b−x)p或1(x−a)pg(x) = \cfrac{1}{(b-x)^p}或\cfrac{1}{(x-a)^p}g(x)=(b−x)p1或(x−a)p1
  
  由于：∫a+b1(x−a)p,∫ab−1(b−x)p均:{收敛,0<p<1发散,p≥1\int_{a^+}^b\cfrac{1}{(x-a)^p},\int_{a}^{b^-}\cfrac{1}{(b-x)^p}均:\begin{cases}收敛,&0<p< 1\\发散,& p\ge 1 \end{cases}∫a+b(x−a)p1,∫ab−(b−x)p1均:{收敛,发散,0<p<1p≥1
  
  则有：
  - 若0≤ρ<+∞0\le \rho <+\infty0≤ρ<+∞，且0<p<10<p<10<p<1，则∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)dx∫a+∞f(x)dx收敛；
  - 若0<ρ≤+∞0< \rho \le+\infty0<ρ≤+∞，且p≥1p\ge 1p≥1，则∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)dx∫a+∞f(x)dx发散；
  ⇒\Rightarrow⇒ 扩展：常用的结论：∫01lnxxp{收敛,p<1发散,p≥1\int_0^1\cfrac{lnx}{x^p}\begin{cases}收敛,& p<1\\发散,& p\ge 1 \end{cases}∫01xplnx{收敛,发散,p<1p≥1
- 阿贝尔判别法（充分）：若满足：① ∫abg(x)dx\int_a^{b}g(x)dx∫abg(x)dx收敛；② f(x)f(x)f(x)单调有界，则：
  
  级数∫a+∞f(x)g(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx∫a+∞f(x)g(x)dx收敛；
- 狄利克莱判别法（充分）：若满足：① ∀a≤A<b,∫aAg(x)dx\forall a\le A<b,\int_a^{A}g(x)dx∀a≤A<b,∫aAg(x)dx有界；② f(x)f(x)f(x)单调且lim⁡x→b−f(x)=0\lim\limits_{x\rightarrow b^-}f(x)=0x→b−limf(x)=0，则：级数∫a+∞f(x)g(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx∫a+∞f(x)g(x)dx收敛；
傅里叶级数：
- 狄利克莱收敛定理：设周期函数f(x)f(x)f(x)的周期为2l2l2l，若满足：
  
  ① f(x)f(x)f(x)在[−l,l][-l,l][−l,l]上连续或只有有限个第一类间断点；
  
  ② f(x)f(x)f(x)在[−l,l][-l,l][−l,l]上只有有限个严格极值点；
  
  则f(x)f(x)f(x)的傅里叶级数收敛；
- 若周期为2l2l2l的周期函数f(x)f(x)f(x)满足狄利克莱收敛定理，则其傅里叶级数为：

a02+∑n=1+∞(ancosnπxl+bnsinnπxl)={f(x),x为f(x)的连续点f(x+)+f(x−)2,x为f(x)的间断点\cfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(a_ncos\cfrac{n\pi x}{l}+b_nsin\cfrac{n\pi x}{l}) = \begin{cases} f(x),&x为f(x)的连续点\\ \cfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2},&x为f(x)的间断点 \end{cases} 2a0+n=1∑+∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)=⎩⎨⎧f(x),2f(x+)+f(x−),x为f(x)的连续点x为f(x)的间断点

其中：
an=1l∫−llf(x)cosnπxldx,n=0,1,2,..bn=1l∫−llf(x)sinnπxldx,n=1,2,..a_n = \cfrac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)cos\cfrac{n\pi x}{l}dx,\space n=0,1,2,..\\ b_n = \cfrac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)sin\cfrac{n\pi x}{l}dx,\space n=1,2,.. an=l1∫−llf(x)coslnπxdx, n=0,1,2,..bn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx, n=1,2,..

若周期为2l2l2l的周期函数f(x)f(x)f(x)是奇函数，则其傅里叶级数为：

∑n=1+∞bnsinnπxl={f(x),x为f(x)的连续点f(x+)+f(x−)2,x为f(x)的间断点\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_nsin\cfrac{n\pi x}{l} = \begin{cases} f(x),&x为f(x)的连续点\\ \cfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2},&x为f(x)的间断点 \end{cases} n=1∑+∞bnsinlnπx=⎩⎨⎧f(x),2f(x+)+f(x−),x为f(x)的连续点x为f(x)的间断点

其中：
bn=2l∫0lf(x)sinnπxldx,n=1,2,..b_n = \cfrac{2}{l}\int_{0}^lf(x)sin\cfrac{n\pi x}{l}dx,\space n=1,2,.. bn=l2∫0lf(x)sinlnπxdx, n=1,2,..

若周期为2l2l2l的周期函数f(x)f(x)f(x)是偶函数，则其傅里叶级数为：

a02+∑n=1+∞ancosnπxl={f(x),x为f(x)的连续点f(x+)+f(x−)2,x为f(x)的间断点\cfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_ncos\cfrac{n\pi x}{l} = \begin{cases} f(x),&x为f(x)的连续点\\ \cfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2},&x为f(x)的间断点 \end{cases} 2a0+n=1∑+∞ancoslnπx=⎩⎨⎧f(x),2f(x+)+f(x−),x为f(x)的连续点x为f(x)的间断点

其中：
an=2l∫0lf(x)cosnπxldx,n=0,1,2,..a_n = \cfrac{2}{l}\int_{0}^lf(x)cos\cfrac{n\pi x}{l}dx,\space n=0,1,2,.. an=l2∫0lf(x)coslnπxdx, n=0,1,2,..