高等数学考研笔记（六）
积分学（下）：
- 高等数学考研笔记（六）：积分学（下）
- 二重积分：
- 三重积分：
- 曲线积分：
- 曲面积分：
- 场论：
高等数学考研笔记（六）：积分学（下）
二重积分：
- 定义：
- 定义：
二重积分中值定理：
中值定理：若函数f(x,y),g(x,y)f(x,y),g(x,y)f(x,y),g(x,y)在D上连续，且g(x,y)g(x,y)g(x,y)在D上不变号，则存在(a,b)∈D(a,b)\in D(a,b)∈D，使得：
∬Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)∬g(x,y)dxdy\iint\limits_Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)\iint g(x,y)dxdy D∬f(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)∬g(x,y)dxdy
⇒\Rightarrow⇒ 特别地，当g(x,y)=1g(x,y)=1g(x,y)=1时，有：
∬Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)×SD\iint\limits_Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)\times S_D D∬f(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)×SD二重积分计算方法：
累次积分法：（仅以先对y积分，再对x积分为例，反之类似）
设闭区间D={(x,y)∣φ1(x)≤y≤φ2(x),a≤x≤b}D = \{(x,y)|\varphi_1(x)\le y \le \varphi_2(x),a\le x\le b\}D={(x,y)∣φ1(x)≤y≤φ2(x),a≤x≤b}，则：
∬Df(x,y)dxdy=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy = \int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy D∬f(x,y)dxdy=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy换元积分法：
设函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在D上连续，函数x=x(u,v),y=y(u,v)x=x(u,v),y=y(u,v)x=x(u,v),y=y(u,v)在D’上连续可微且与D上点一一对应，且雅克比行列式：
J(u,v)=D(x,y)D(u,v)≠0J(u,v) = \cfrac{D(x,y)}{D(u,v)}\neq 0 J(u,v)=D(u,v)D(x,y)=0
则有：
∬Df(x,y)dxdy=∬D′f(x(u,v),y(u,v))×∣J(u,v)∣dudv\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy = \iint\limits_{D'}f(x(u,v),y(u,v))\times|J(u,v)|dudv D∬f(x,y)dxdy=D′∬f(x(u,v),y(u,v))×∣J(u,v)∣dudv
⇒\Rightarrow⇒ 常见的变换有：极坐标变换：若x=ρcosθ,y=ρsinθx = \rho cos\theta,y = \rho sin\thetax=ρcosθ,y=ρsinθ，则：
dxdy=∣D(x,y)D(ρ,θ)∣dρdθ=ρdρdθdxdy = |\cfrac{D(x,y) }{ D(ρ,θ)}|dρdθ = ρdρdθdxdy=∣D(ρ,θ)D(x,y)∣dρdθ=ρdρdθ广义极坐标变换：若x=aρcosθ,y=bρsinθx = a\rho cos\theta,y = b\rho sin\thetax=aρcosθ,y=bρsinθ，则：
dxdy=∣D(x,y)D(ρ,θ)∣dρdθ=abρdρdθdxdy = |\cfrac{D(x,y) }{ D(ρ,θ)}|dρdθ = abρdρdθdxdy=∣D(ρ,θ)D(x,y)∣dρdθ=abρdρdθ利用对称性和奇偶性：
- 若积分域DDD关于yyy轴对称，被积函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)关于xxx有奇偶性：
∬Df(x,y)dxdy={2∬D1f(x,y)dxdy,f(x,y)关于x是偶函数0,f(x,y)关于x是奇函数\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy = \begin{cases}2\iint\limits_{D_1}f(x,y)dxdy,&f(x,y)关于x是偶函数\\0,&f(x,y)关于x是奇函数\end{cases} D∬f(x,y)dxdy=⎩⎨⎧2D1∬f(x,y)dxdy,0,f(x,y)关于x是偶函数f(x,y)关于x是奇函数
其中，D1D_1D1是DDD在yyy轴右侧的部分；若积分DDD关于xxx轴对称，被积函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)关于yyy有奇偶性同理可得；
若积分域DDD关于x、yx、yx、y轴均对称，被积函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)关于x、yx、yx、y均有奇偶性：
∬Df(x,y)dxdy={4∬D1f(x,y)dxdy,f(x,y)关于x,y是偶函数0,f(x,y)关于x,y是奇函数\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy = \begin{cases}4\iint\limits_{D_1}f(x,y)dxdy,&f(x,y)关于x,y是偶函数\\0,&f(x,y)关于x,y是奇函数\end{cases} D∬f(x,y)dxdy=⎩⎨⎧4D1∬f(x,y)dxdy,0,f(x,y)关于x,y是偶函数f(x,y)关于x,y是奇函数
其中，D1D_1D1是DDD在第一象限的部分；若积分域DDD关于直线y=xy=xy=x对称，则有轮换对称性：
∬Df(x,y)dxdy=∬Df(y,x)dxdy=12∬D[f(x,y)+f(y,x)]dxdy\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy = \iint\limits_{D}f(y,x)dxdy = \cfrac{1}{2}\iint\limits_{D}[f(x,y)+f(y,x)]dxdy D∬f(x,y)dxdy=D∬f(y,x)dxdy=21D∬[f(x,y)+f(y,x)]dxdy
三重积分：
定义：
三重积分计算方法：
累次积分法：
先对积分区域任意一条平行于z轴的直线进行积分，再对xy投影面进行积分：（简称先一后二）
设：闭区域Ω={(x,y,z)∣z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈D}\Omega = \{(x,y,z)|z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),(x,y)\in D\}Ω={(x,y,z)∣z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈D}，则：
∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∬Ddxdy∫z1z2f(x,y,z)dz\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz = \iint\limits_{D}dxdy\int_{z_1}^{z_2}f(x,y,z)dz Ω∭f(x,y,z)dxdydz=D∬dxdy∫z1z2f(x,y,z)dz先对积分区域任意一个z轴的法切面进行积分，再对z轴进行积分：（简称先二后一）
设：闭区域Ω={(x,y,z)∣(x,y)∈D(z),a≤z≤b}\Omega = \{(x,y,z)|(x,y)\in D(z),a\le z\le b \}Ω={(x,y,z)∣(x,y)∈D(z),a≤z≤b}，则：
∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∫abdz∬D(z)f(x,y,z)dxdy\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz = \int_{a}^{b}dz\iint\limits_{D(z)}f(x,y,z)dxdy Ω∭f(x,y,z)dxdydz=∫abdzD(z)∬f(x,y,z)dxdy
换元积分法：
设函数f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)在Ω\OmegaΩ上连续，函数x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)在Ω′\Omega'Ω′上连续可微且与Ω\OmegaΩ上点一一对应，且雅克比行列式：
J(u,v,w)=D(x,y,z)D(u,v,w)≠0J(u,v,w) = \cfrac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)} \neq 0 J(u,v,w)=D(u,v,w)D(x,y,z)=0
则有：
∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∭Ω′f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))×∣J(u,v,w)∣dudvdw\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz = \iiint\limits_{\Omega'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\times |J(u,v,w)|dudvdw Ω∭f(x,y,z)dxdydz=Ω′∭f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))×∣J(u,v,w)∣dudvdw⇒\Rightarrow⇒ 常见的变换有：
- 柱坐标变换：若x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=zx = \rho cos\theta,y = \rho sin\theta,z=zx=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z，则：
dxdydz=∣D(x,y,z)D(ρ,θ,z)∣dρdθdz=ρdρdθdzdxdydz = |\cfrac{D(x,y,z) }{ D(ρ,θ,z)}|dρdθdz = ρdρdθdzdxdydz=∣D(ρ,θ,z)D(x,y,z)∣dρdθdz=ρdρdθdz - 球坐标变换：若x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφx = rsin\varphi cos\theta ,y = rsin\varphi sin\theta ,z = r cos\varphix=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ，则：
dxdydz=∣D(x,y,z)D(r,θ,φ)∣drdθdφ=r2sinφdrdθdφdxdydz = |\cfrac{D(x,y,z) }{ D(r,\theta,\varphi)}|drdθd\varphi = r^2sin\varphi drdθd\varphidxdydz=∣D(r,θ,φ)D(x,y,z)∣drdθdφ=r2sinφdrdθdφ - 广义球坐标变换：若x=arsinφcosθ,y=brsinφsinθ,z=crcosφx = arsin\varphi cos\theta ,y = brsin\varphi sin\theta ,z = cr cos\varphix=arsinφcosθ,y=brsinφsinθ,z=crcosφ，则：
dxdydz=∣D(x,y,z)D(r,θ,φ)∣drdθdφ=abcr2sinφdrdθdφdxdydz = |\cfrac{D(x,y,z) }{ D(r,\theta,\varphi)}|drdθd\varphi = abcr^2sin\varphi drdθd\varphidxdydz=∣D(r,θ,φ)D(x,y,z)∣drdθdφ=abcr2sinφdrdθdφ
- 柱坐标变换：若x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=zx = \rho cos\theta,y = \rho sin\theta,z=zx=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z，则：
利用对称性和奇偶性：
若积分域Ω\OmegaΩ关于xOyxOyxOy坐标面对称，被积函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)关于zzz有奇偶性：
∭Ωf(x,y,z)dV={2∬Ω1f(x,y,z)dV,f(x,y,z)关于z是偶函数0,f(x,y,z)关于z是奇函数\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dV = \begin{cases}2\iint\limits_{\Omega_1}f(x,y,z)dV,&f(x,y,z)关于z是偶函数\\0,&f(x,y,z)关于z是奇函数\end{cases} Ω∭f(x,y,z)dV=⎩⎨⎧2Ω1∬f(x,y,z)dV,0,f(x,y,z)关于z是偶函数f(x,y,z)关于z是奇函数
其中，Ω1\Omega_1Ω1是Ω\OmegaΩ在zzz轴上方的部分；当积分域Ω\OmegaΩ关于yOzyOzyOz、xOzxOzxOz坐标面对称，被积函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)关于xxx、yyy有奇偶性时同理可得；若积分域Ω\OmegaΩ中xxx、yyy具有轮换对称性，则：
∭Ωf(x,y,z)dV=∬Ωf(y,x,z)dV\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dV = \iint\limits_{\Omega}f(y,x,z)dV Ω∭f(x,y,z)dV=Ω∬f(y,x,z)dV
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
定义：
⇒\Rightarrow⇒ 无向性：第一类曲线积分不依赖于积分曲线的走向，即：∫ABfds=∫BAfds\int_{AB}fds = \int_{BA}fds∫ABfds=∫BAfds
对平面曲线积分的计算公式：
① 直角坐标：∫Cf(x,y)ds=∫abf(x,y)1+(yx′)2dx∫_Cf(x,y)ds = ∫_a^bf(x,y)\sqrt{1+(y'_x)^2} dx∫Cf(x,y)ds=∫abf(x,y)1+(yx′)2dx
② 参数坐标：∫Cf(x,y)ds=∫t1t2f(x(t),y(t))x′(t)2+y′(t)2dt∫_Cf(x,y)ds =∫_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} dt∫Cf(x,y)ds=∫t1t2f(x(t),y(t))x′(t)2+y′(t)2dt
③ 极坐标：∫Cf(x,y)ds=∫θ1θ2f(rcosθ,rsinθ)r(θ)2+r′(θ)2dθ∫_Cf(x,y)ds = ∫_{θ1}^{θ_2}f(rcosθ,rsinθ)\sqrt{r(θ)^2+r'(θ)^2}dθ∫Cf(x,y)ds=∫θ1θ2f(rcosθ,rsinθ)r(θ)2+r′(θ)2dθ
对空间曲线积分的计算公式：
① 参数坐标：∫Cf(x,y,z)ds=∫t1t2f(x(t),y(t),z(t))x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2dt∫_Cf(x,y,z)ds =∫_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2} dt∫Cf(x,y,z)ds=∫t1t2f(x(t),y(t),z(t))x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2dt
② 直角坐标 / 极坐标：一般需要化为参数坐标，再代入公式①进行计算；
⇒\Rightarrow⇒ 从空间曲线的一般式方程化为参数方程的方法：一般联立先消去某个变量zzz，得到在坐标面xOyxOyxOy上的投影曲线，写出其参数方程，再带回原来的一般式方程，求解zzz的参数表达式，即可；
利用对称性和奇偶性，理同二重积分；
第二类曲线积分：（对坐标的曲线积分）：
- 定义：
⇒\Rightarrow⇒ 有向性：第二类曲线积分依赖于积分曲线的走向，且有：∫ABfds=−∫BAfds\int_{AB}fds = -\int_{BA}fds∫ABfds=−∫BAfds
对平面曲线积分的计算公式：
① 直角坐标：∫CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫C[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y′(x)]dx∫_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy = ∫_C[P(x,y(x)) + Q(x,y(x))y'(x)]dx∫CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫C[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y′(x)]dx
② 参数坐标：∫CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫t1t2[P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)]dt∫_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy = ∫_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]dt∫CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫t1t2[P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)]dt
③ 极坐标：一般化为参数坐标或直角坐标，再代入公式②或①进行计算
对空间曲线积分的计算公式：
① 参数坐标：
∫CP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=∫t1t2[P(x(t),y(t),z(t))x′(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y′(t)+R(x(t),y(t),z(t))z′(t)]dt∫_CP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz =\\∫_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t) ]dt ∫CP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=∫t1t2[P(x(t),y(t),z(t))x′(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y′(t)+R(x(t),y(t),z(t))z′(t)]dt
② 直角坐标 / 极坐标：一般需要化为参数坐标，再代入公式①进行计算；
两类曲线积分的转化：
对平面曲线积分：
∫CPdx+Qdy=∫C(Pcosα+Qcosβ)ds\int_CPdx+Qdy = \int_C(Pcos\alpha+Qcos\beta)ds ∫CPdx+Qdy=∫C(Pcosα+Qcosβ)ds
⇒\Rightarrow⇒ (cosα,cosβ)(cos\alpha,cos\beta)(cosα,cosβ)为C上点(x,y)处的单位切向量，方向与积分曲线方向一致；⇒\Rightarrow⇒ 若cosα=cosβ=Ccos\alpha = cos\beta = Ccosα=cosβ=C，则将第二类曲线积分转化为第一类曲线积分有时更方便；
对空间曲线积分：
∫CPdx+Qdy+Rdz=∫C(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds\int_CPdx+Qdy+Rdz = \int_C(Pcos\alpha+Qcos\beta+Rcos\gamma)ds ∫CPdx+Qdy+Rdz=∫C(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds
⇒\Rightarrow⇒ (cosα,cosβ,cosγ)(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)(cosα,cosβ,cosγ)为C上点(x,y,z)处的单位切向量，方向与积分曲线方向一致；
曲线积分与积分路径无关的充要条件：
对于平面曲线积分：
设D为一单连通平面区域，函数P,Q在D内有连续可偏导，则∫CPdx+Qdy\int_CPdx+Qdy∫CPdx+Qdy在D内与路径无关的充要条件为：
∂P∂y=∂Q∂x\cfrac{\partial P}{\partial y} = \cfrac{\partial Q}{\partial x} ∂y∂P=∂x∂Q对于空间曲线积分：
设S为一单连通空间区域，函数P,Q,R在S内有连续可偏导，则∫CPdx+Qdy+Rdz\int_CPdx+Qdy+Rdz∫CPdx+Qdy+Rdz在V内与路径无关的充要条件为：
∂R∂y=∂Q∂z,∂P∂z=∂R∂x,∂Q∂x=∂P∂y\cfrac{\partial R}{\partial y} = \cfrac{\partial Q}{\partial z},\cfrac{\partial P}{\partial z} = \cfrac{\partial R}{\partial x},\cfrac{\partial Q}{\partial x} = \cfrac{\partial P}{\partial y} ∂y∂R=∂z∂Q,∂z∂P=∂x∂R,∂x∂Q=∂y∂P
⇒\Rightarrow⇒ 若存在奇点（设为原点），则若满足上述条件，不一定与路径无关，但有：
① 沿着任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零；
② 沿着任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分相等；
③ 因此此时若仍满足积分与路径无关，则要求②中积分亦为零；
对平面曲线积分的格林公式：
设有界闭区域D是由逐段光滑正向曲线C围成，函数P,Q在D内有连续可偏导，则：
∮CPdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint_C Pdx+Qdy = \iint\limits_{D}( \cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy ∮CPdx+Qdy=D∬(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy
⇒\Rightarrow⇒ 格林公式是平面积分和平面曲线积分之间的连接桥梁，也可看作“二维版”的牛顿-莱布尼兹公式对空间曲线积分的斯托克斯公式：
设分片光滑的有向曲面S的正向边界C为逐段光滑的有向闭曲线，函数P,Q,R在S内有连续可偏导，则：
∮CPdx+Qdy+Rdz=∬S(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint_C Pdx+Qdy+Rdz = \iint\limits_{S}( \cfrac{\partial R}{\partial y}-\cfrac{\partial Q}{\partial z})dydz+( \cfrac{\partial P}{\partial z}-\cfrac{\partial R}{\partial x})dzdx+( \cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy ∮CPdx+Qdy+Rdz=S∬(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy
另有行列式写法：
∮CPdx+Qdy+Rdz=∬S∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\oint_C Pdx+Qdy+Rdz = \iint\limits_{S}\left| \begin{matrix} dydz & dzdx & dxdy\\ \cfrac{\partial }{\partial x} & \cfrac{\partial }{\partial y} & \cfrac{\partial }{\partial z}\\ P & Q & R \end{matrix}\right| ∮CPdx+Qdy+Rdz=S∬∣∣∣∣∣∣∣∣dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R∣∣∣∣∣∣∣∣⇒\Rightarrow⇒ 斯托克斯公式是曲面积分和空间曲线积分之间的连接桥梁，也可看作“弯曲版”的格林公式；
曲面积分：
第一类曲面积分：（对曲面面积的积分）
定义：
第一类曲面积分的计算公式：
直角方程：∬Sf(x,y,z)dS=∬Dxyf(x,y,z(x,y))1+zx′2+zy′2dxdy\iint_Sf(x,y,z)dS =\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}dxdy∬Sf(x,y,z)dS=∬Dxyf(x,y,z(x,y))1+zx′2+zy′2dxdy
参数方程：∬Sf(x,y,z)dS=∬Duvf(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EG−F2dudv\iint_Sf(x,y,z)dS = \iint_{D_{uv}}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}dudv∬Sf(x,y,z)dS=∬Duvf(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EG−F2dudv
其中：E=ru′⋅ru′,G=rv′⋅rv′,F=ru′⋅rv′E = r_u'\cdot r_u', G = r_v'\cdot r_v', F = r_u'\cdot r_v'E=ru′⋅ru′,G=rv′⋅rv′,F=ru′⋅rv′，r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))r = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
利用对称性和奇偶性，理同三重积分；
第二类曲面积分：（对坐标平面的曲面积分）
- 定义：
第二类曲面积分的计算公式：
参数方程：
∬SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=∬Duv[PA+QB+RC]dudv\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy = \iint_{D_{uv}}[PA+QB+RC]dudv∬SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=∬Duv[PA+QB+RC]dudv
其中：(A,B,C)=ru′×rv′(A,B,C) = r_u'\times r_v'(A,B,C)=ru′×rv′，r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))r = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
直角方程：∬SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=±∬Dxy[P(−zx′)+Q(−zy′)+R]dxdy\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy =\pm\iint_{D_{xy}}[P(-z_x')+Q(-z_y')+R]dxdy∬SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=±∬Dxy[P(−zx′)+Q(−zy′)+R]dxdy
其中的正负号有S的定向决定，法向量指向上侧时为正，反之为负（仅以XY\rm XYXY平面为坐标投影面为例；同理，若以XZ\rm XZXZ平面为坐标投影面，则法向量指向右侧为正，反之为负；若以YZ\rm YZYZ平面为坐标投影面，则法向量指向前侧为正，反之为负）
两类曲面积分的转化：
∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬S(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS\iint\limits_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \iint\limits_{S}(Pcos\alpha+Qcos\beta+R\cos\gamma)dS S∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=S∬(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
⇒\Rightarrow⇒ (cosα,cosβ,cosγ)(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)(cosα,cosβ,cosγ)为有向曲面S上点(x,y,z)处的单位法向量；⇒\Rightarrow⇒ 若cosα=cosβ=cosγ=Ccos\alpha = cos\beta= cos\gamma= Ccosα=cosβ=cosγ=C，则将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分有时更方便；
对曲面积分的高斯公式：
设有界闭区域V是由分片光滑的闭曲面S（均取外侧）围成，函数P,Q,R在V内有连续可偏导，则：
∯SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭V(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dV\oiint\limits_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \iiint\limits_{V}(\cfrac{\partial P}{\partial x}+\cfrac{\partial Q}{\partial y}+\cfrac{\partial R}{\partial z})dV S∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=V∭(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dV
⇒\Rightarrow⇒ 高斯公式是三重积分和曲面积分之间的连接桥梁，也可看作“三维版”的格林公式；
场论：
数量场的梯度：
设有数量场u=f(x,y,z)u = f(x,y,z)u=f(x,y,z)，有向量场：
gradf=∇f=∂f∂xi+∂f∂yj+∂f∂zkgrad f = \nabla f = \cfrac{\partial f}{\partial x}i+\cfrac{\partial f}{\partial y}j+\cfrac{\partial f}{\partial z}k gradf=∇f=∂x∂fi+∂y∂fj+∂z∂fk
每个数量场f都有一个梯度场gradf与之对应，称，每一点处梯度的方向是变化率最大的方向。向量场的散度：
设有向量场：
A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)kA(x,y,z) = P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
有数量场：
divA=∇⋅A=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂zdiv A = \nabla \cdot A = \cfrac{\partial P}{\partial x}+\cfrac{\partial Q}{\partial y}+\cfrac{\partial R}{\partial z} divA=∇⋅A=∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R
向量场的旋度：
设有向量场：
A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)kA(x,y,z) = P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
有向量场：
rotA=∇×A=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣=(∂R∂y−∂Q∂z)i+(∂P∂z−∂R∂x)j+(∂Q∂x−∂P∂y)krot A = \nabla \times A = \left| \begin{matrix} i & j & k\\ \cfrac{\partial }{\partial x} & \cfrac{\partial }{\partial y} & \cfrac{\partial }{\partial z}\\ P & Q & R \end{matrix}\right| = (\cfrac{\partial R}{\partial y}-\cfrac{\partial Q}{\partial z})i+( \cfrac{\partial P}{\partial z}-\cfrac{\partial R}{\partial x})j+( \cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})k rotA=∇×A=∣∣∣∣∣∣∣∣i∂x∂Pj∂y∂Qk∂z∂R∣∣∣∣∣∣∣∣=(∂y∂R−∂z∂Q)i+(∂z∂P−∂x∂R)j+(∂x∂Q−∂y∂P)k场论形式的斯托克斯公式：
∮CAdr=∬SrotA⋅ndS\oint_C Adr = \iint_S rot A\cdot n dS∮CAdr=∬SrotA⋅ndS，其中：r=(x,y,z),n=(cosα,cosβ,cosγ)r=(x,y,z),n = (cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)r=(x,y,z),n=(cosα,cosβ,cosγ)
场论形式的高斯公式：
∯SA⋅ndS=∭VdivAdV\oiint_S A\cdot ndS = \iiint_V div A dV∬SA⋅ndS=∭VdivAdV，其中：n=(cosα,cosβ,cosγ)n = (cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)n=(cosα,cosβ,cosγ)
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