AtCoder Regular Contest 120 解题报告

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ARC120A - Max Add

需要想一两分钟的贪心

ARC120B - Uniformly Distributed

Description

给定 H×WH \times WH×W 的方格，其中一些涂了红色，一些涂了蓝色，一些什么都没涂。问对于剩余的格子，有多少种涂色的方案使得从 (1,1)(1,1)(1,1) 到 (H,W)(H,W)(H,W) 上的所有路径经过的红格子数量都相等。

Solution

不难发现，对于一个从右上到左下的副对角线，其要么全为红色，要么全为蓝色。大体的理由如下：（非严格证明）

从 (1,1)(1,1)(1,1) 到 (H,W)(H,W)(H,W) 一定是会经过 H+W−1H + W - 1H+W−1 条如上面这样的副对角线的，所以我们一定要保证无论怎么穿过一条副对角线，其经过的红格子数量都是相同的。

所以直接做就行了，对于一条有红格子的副对角线，其对答案的贡献是 111；对于一条全空的副对角线，其对答案的贡献为 222（两种涂色方案）；对于既有蓝色又有红色的副对角线，其对答案的贡献为 000。把这些贡献用乘法原理合并即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define FOR(i, a, b) for (int i = a; i <= b; ++i)
#define DEC(i, a, b) for (int i = a; i >= b; --i)typedef long long ll;const int maxn = 505;
const ll mod = 998244353;int h, w;
char s[maxn][maxn];
int r[maxn << 1], b[maxn << 1];int main()
{scanf("%d %d", &h, &w);FOR(i, 1, h) scanf("%s", s[i] + 1);ll ans = 1;FOR(i, 1, h)FOR(j, 1, w)if (s[i][j] == 'R')  ++r[i + j];else if (s[i][j] == 'B') ++b[i + j];FOR(i, 2, h + w)if (r[i] && !b[i]) ans *= 1ll;else if (b[i] && !r[i]) ans *= 1ll;else if (!b[i] && !r[i]) ans = ans * 2ll % mod;else ans = 0;printf("%lld\n", ans);return 0;
}

ARC120C - Swaps 2

Description

给定两个长度为 NNN 的序列 AAA 和 BBB。问对 AAA 进行有限次如下操作后能否使 AAA 变成 BBB：

选择一个正整数 iii 使得 1≤i<N1\le i\lt N1≤i<N
- 交换 AiA_iAi 和 Ai+1A_{i+ 1}Ai+1 的值
- 使 AiA_iAi 加一
- 使 Ai+1A_{i + 1}Ai+1 减一

如果能，问最少操作步数。

Solution

先考虑解的存在性。

我们观察一个数移动的情况：显然是往右走就减小，往左走就增大。设 AiA_iAi 的新位置为 DiD_iDi，则必然有：
BDi=Ai+i−DiB_{D_i} = A_i + i - D_i BDi=Ai+i−Di
移项，
BDi+Di=Ai+iB_{D_i} + D_i = A_i + i BDi+Di=Ai+i
发现两边的形式很像，所以我们只需要建立两个新序列 {Ai+i}\{A_i + i\}{Ai+i} 和 {Bi+i}\{B_i + i\}{Bi+i} 然后将其值排序判断其能不能一一对应就可以判断有没有解了。

然后考虑解的最优性。

刚才的排序中，若按照值为第一关键字排序，原下标为第二关键字排序，则我们不难证明，此时一一对应的结果是最优的。这样子 DiD_iDi 就找到了。

然后我们把 AiA_iAi 移到 ADiA_{D_i}ADi 的过程很像冒泡排序，用线段树维护一下 AAA 中元素的下标就可以做了。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define FOR(i, a, b) for (int i = a; i <= b; ++i)
#define DEC(i, a, b) for (int i = a; i >= b; --i)
#define int long longconst int maxn = 2e5 + 5;int read()
{int s = 0, x = 0;char c = getchar();while (!isdigit(c))x |= (c == '-'), c = getchar();while (isdigit(c))s = s * 10 + c - '0', c = getchar();return x ? -s : s;
}struct node
{int val, id;bool operator<(const node &b)const{return val == b.val ? id < b.id : val < b.val;}
} ai[maxn], bi[maxn];int a[maxn], b[maxn], n;inline int myabs(int x)
{return x >= 0 ? x : -x;
}int f[maxn << 2], tag[maxn << 1], d[maxn];#define L (k << 1)
#define R (L | 1)
#define M ((i + j) >> 1)void build(int i, int j, int k)
{if (i == j)return void(f[k] = i);build(i, M, L);build(M + 1, j, R);f[k] = f[L] + f[R];return;
}void pushdown(int i, int j, int k)
{tag[L] += tag[k], tag[R] += tag[k];f[L] += (M - i + 1) * tag[k];f[R] += (j - M) * tag[k];tag[k] = 0;return;
}void modify(int i, int j, int k, int x, int y, int d)
{if (x > y) return;if (i >= x && j <= y){f[k] += d * (j - i + 1);tag[k] += d;return;}pushdown(i, j, k);if (x <= M) modify(i, M, L, x, y, d);if (y > M) modify(M + 1, j, R, x, y, d);f[k] = f[L] + f[R];return;
}int query(int i, int j, int k, int x)
{if (i == j) return f[k];pushdown(i, j, k);if (x <= M) return query(i, M, L, x);else return query(M + 1, j, R, x);
}signed main()
{n = read();FOR(i, 1, n) a[i] = read(), ai[i].val = a[i] + i, ai[i].id = i;FOR(i, 1, n) b[i] = read(), bi[i].val = b[i] + i, bi[i].id = i;std::sort(ai + 1, ai + n + 1);std::sort(bi + 1, bi + n + 1);FOR(i, 1, n)if (ai[i].val != bi[i].val) return printf("-1\n"), 0;else d[bi[i].id] = ai[i].id;build(1, n, 1);int ans = 0;FOR(i, 1, n){ans += abs(query(1, n, 1, d[i]) - i);modify(1, n, 1, 1, d[i], 1);}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

ARC120D - Bracket Score 2

Description

给定一个长度为 2N2N2N 的整数序列 AiA_iAi，依照其构造一个长度为 2N2N2N 的合法括号序列，使得其分数最大，分数的计算方式：

对于每一对匹配的括号 SiS_iSi 和 SjS_jSj，其贡献为 ∣Aj−Ai∣|A_j - A_i|∣Aj−Ai∣
将每一对匹配的括号的分数加起来得到总分

Solution

眼前一亮的构造。

不难发现，让大的尽量大，小的尽量小就可以使得总分最大。因此选出最大的 NNN 个 AiA_iAi，标记为黑色，剩余的标记为白色。然后根据一黑一白配对的原则直接构造括号序列即可。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define FOR(i, a, b) for (int i = a; i <= b; ++i)
#define DEC(i, a, b) for (int i = a; i >= b; --i)const int maxn = 4e5 + 5;int read()
{int s = 0, x = 0;char c = getchar();while (!isdigit(c))x |= (c == '-'), c = getchar();while (isdigit(c))s = s * 10 + c - '0', c = getchar();return x ? -s : s;
}int n, color[maxn], stk[maxn], top;struct node
{int v, i;bool operator<(const node &b) const {return v < b.v;}
} a[maxn];int main()
{n = read() << 1;FOR(i, 1, n) a[i].v = read(), a[i].i = i;std::sort(a + 1, a + n + 1);FOR(i, 1, n >> 1) color[a[i].i] = 1;FOR(i, 1, n){if (top && color[stk[top]] != color[i]) --top, putchar(')');else stk[++top] = i, putchar('(');}return 0;
}