关于矩阵相乘顺序的理解（跟旋转没关）

开始学习矩阵时，知道旋转、移动都可以由矩阵乘法来实现，想着也是挺简单的。

比如一个点 $P =(x, y, z)$ ,

第一次绕X轴旋转,设绕X轴旋转矩阵为

$A =\begin{bmatrix} a00 & a01 & a02\\ a10& a11 & a12\\ a20 & a21 & a22 \end{bmatrix}$ ,

这样

$P*A =\begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a00 & a01 & a02\\ a10& a11 & a12\\ a20 & a21 & a22 \end{bmatrix} = P1$ ,

得到 $P$ 点绕X轴旋转后的 $P1$ 点，这时如果再绕Y轴旋转，可以看做是新的点P1绕Y轴旋转,设绕Y轴旋转的的矩阵为

$B =\begin{bmatrix} b00 & b01 & b02\\ b10& b11 & b12\\ b20 & b21 & b22 \end{bmatrix}$ ,

这样

$P1*B =\begin{bmatrix} x1 & y1 & z1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b00 & b01 & b02\\ b10& b11 & b12\\ b20 & b21 & b22 \end{bmatrix} = P2$

如果旋转后得到的新点，又要继续绕世界某坐标轴旋转，只需如下

$P^{'}=P*A*B*C*D...$

是不是觉得很简单，因为这种理解方式是很常规理解方式，把每次的旋转都理解成是某个点绕某轴旋转，也就是点直接与旋转矩阵相乘，即 $(((P)*A)*B)*C$ ,但由于矩阵结合率，只要相乘顺序不变,如 $A*B*C=A*(B*C)$ ,所以

$P^{'}=P*A*B*C*D...=P*(A*B*C*D...)$

上面这个理解，我觉得大多数人都能理解。可是在实际应用中，常常看到的是矩阵乘点,如

$A{}'*P^{T}=\begin{bmatrix} a{}'00 & a{}'01 & a{}'02\\ a{}'10& a{}'11 & a{}'12\\ a{}'20 & a{}'21 & a{}'22 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}= P{}'1$ ,

为了使 $P1= P{}'1$ ,即 $P*A =A{}'*P^{T}$ ，发现之前是点P乘A矩阵的列，现在是矩阵 $A{}'$ 的行乘以 $P^{T}$ ,可得

之前点 $P$ 乘 $A$ 矩阵后的点 $P^{'}$ 的x坐标

$P1.X=P.x * A00 + P.y*A10 + P.z*A20$

现在 $A^{'}$ 矩阵乘点 $P$ 后的点 $P^{'}$ 的x坐标

$P^{'}1.X= A^{'}00 * P.x + A^{'}01 * P.y + A^{'}02* P.z$

很明显要让 $P1.X=P{'}1.X$ ，需要让 $A$ 的列成为 $A{}'$ 的行,所以 $A{}'=A^{T}$ ，即

$A{}'=\begin{bmatrix} a{}'00 & a{}'01 & a{}'02\\ a{}'10& a{}'11 & a{}'12\\ a{}'20 & a{}'21 & a{}'22 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a00 & a10 & a20\\ a01& a11 & a21\\ a02 & a12 & a22 \end{bmatrix}=A^{T}$

$A{}'*P^{T}=\begin{bmatrix} a{}'00 & a{}'01 & a{}'02\\ a{}'10& a{}'11 & a{}'12\\ a{}'20 & a{}'21 & a{}'22 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a00 & a10 & a20\\ a01& a11 & a21\\ a02 & a12 & a22 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=A^{T}*P^{T}$

即 $A{}'*P^{T}=A^{T}*P^{T}=P*A$

这时可得 $P*A=A^{T}*P^{T}$ ,

到了这，之前我犯了个错，因为 $P*A=A^{T}P^{T}$ ,就以为所有矩阵 $A*B=B^{T}A^{T}$ ,可有天发现教材写的是 $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ ,当时我就想 $P*A*B*C$ 与 $C^{T}*B^{T}*A^{T}*P^{T}$ 相等不.

后来我觉得当P为只有一行或只有一列时，上式 $P*A*B*C$ 与 $C^{T}*B^{T}*A^{T}*P^{T}$ 相等是成立的，现在简单证明下。

因为矩阵乘法结合率，只要顺序不变,可以先去求右边的结果，手动计算方式从右往左乘,即

. $B^{T}*A^{T}*P^{T}=B^{T}*(A^{T}*P^{T})$

因为 $A^{T}P^{T}=P*A=P1$ ,则

$B^{T}*(A^{T}*P^{T})=B^{T}*(P*A)=B^{T}*(P1)$

因为P1只有一行且在最右端，实际上矩阵乘点时，是把P1作为列相乘,所以 $B^{T}*(P1) = B^{T}*P1^{T}$

因为根据点乘矩阵， $P2=P1*B$ ,然后又根据 $P1*B=B^{T}P1^{T}$ ,所以

$P2=B^{T}*P1^{T}=B^{T}*((P*A)^{T})=B^{T}*(A^{T}*P^{T})$ ,

从而得到 $P*A*B*C=C^{T}*B^{T}*A^{T}*P^{T}$ $=P2$ 。

本来点依次乘矩阵，哪怕是点去乘多个矩阵的组合也很好理解，为什么实际使用是用矩阵去乘点呢？

我想可能是为了矩阵相乘的效率，比如一个节点下面连了很多多层的子节点,如果用点乘矩阵，那么每个子节点的矩阵会从下一直往上乘，到父节点时，父节点无法利用从子节点得到的矩阵乘积，当对父节点进行操作时，父节点会重复向上相乘，一直乘到根节点才能得到完整的矩阵乘积。

而如果采用矩阵乘点，即矩阵从上往下乘，可以把父节点所得的乘积传给子节点，子节点只需要直接将自身的矩阵乘父矩阵乘积就可以，减少计算消耗。

还有一个我发现的是在opengl里，因为opengl的矩阵采用的是列优先，那么用点乘矩阵的方式推出来的矩阵，在opengl里用矩阵乘点时，可以直接使用点乘矩阵方式退出来的矩阵，不需要行列互换，即

$P*A*B*C$ (行优先,点乘矩阵)= $C^{T}*B^{T}*A^{T}*P^{T}$ (行优先,矩阵乘点)

在opengl用列优先存储 $C^{T}*B^{T}*A^{T}*P^{T}$ 时，可得

$((C^{T})^{T})*((B^{T})^{T})*((A^{T})^{T})*((P^{T})^{T})=C*B*A*P$ ，居然在opengl最终使用的还是点乘矩阵方式推导出的矩阵，只不过顺序颠倒而已，我在想这会不会就是opengl为什么采用列优先存储。

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