文章目录

定积分的几何应用
- 一、平面图形的面积
- - 1. 直角坐标
  - 2. 极坐标
- 二、旋转体的体积
- 三、平面曲线的弧长
- - 1. 直角坐标
  - 2. 参数方程
  - 3. 极坐标
定积分在物理学上的应用
- 一、变力沿直线做功
- 二、水压力

定积分的几何应用

一、平面图形的面积

1. 直角坐标

由曲线y=f(x)(f(x)≥0)y=f(x)\quad(f(x)\geq0)y=f(x)(f(x)≥0)及直线x=a,x=b(a<b)x=a,x=b\quad(a<b)x=a,x=b(a<b)与xxx轴所围成的曲面梯形的面积AAA是定积分A=∫abf(x)dxA=\int^b_af(x)dxA=∫abf(x)dx
由曲线y=f(x)(f(x)≤0)y=f(x)\quad(f(x)\leq0)y=f(x)(f(x)≤0)及直线x=a,x=b(a<b)x=a,x=b\quad(a<b)x=a,x=b(a<b)与xxx轴所围成的曲面梯形的面积AAA是定积分A=−∫abf(x)dxA=-\int^b_af(x)dxA=−∫abf(x)dx
由曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)≤g(x))y=f(x),y=g(x)\quad(f(x)\leq g(x))y=f(x),y=g(x)(f(x)≤g(x))及直线x=a,x=b(a<b)x=a,x=b\quad(a<b)x=a,x=b(a<b)与xxx轴所围成的曲面梯形的面积AAA是定积分A=∫ab[g(x)−f(x)]dxA=\int^b_a[g(x)-f(x)]dxA=∫ab[g(x)−f(x)]dx
由曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)≥g(x))y=f(x),y=g(x)\quad(f(x)\geq g(x))y=f(x),y=g(x)(f(x)≥g(x))及直线x=a,x=b(a<b)x=a,x=b\quad(a<b)x=a,x=b(a<b)与xxx轴所围成的曲面梯形的面积AAA是定积分A=∫ab[f(x)−g(x)]dxA=\int^b_a[f(x)-g(x)]dxA=∫ab[f(x)−g(x)]dx

例1：计算抛物线：y2=x,y=x2y^2=x,y=x^2y2=x,y=x2所围成图形的面积
一定要画图（本节笔记都有图，其他笔记如有必要会进行展示）
导包以及直角坐标系的通用设置（不同会特别说明）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['figure.figsize']=(8,6)
ax=plt.gca()
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
ax.spines['left'].set_position(('data',0))
ax.set_aspect(1)

X=np.arange(-5,5,0.002)
f1=lambda x:x**2
f2=lambda x:x**0.5
f3=lambda x:-x**0.5
s1=pd.Series(f1(X),index=X)
s2=pd.Series(f2(X),index=X)
s3=pd.Series(f3(X),index=X)
s1.plot()
s2.plot(color='orange')
s3.plot(color='orange')
plt.ylim(-2,2)
plt.xlim(-1,2)

dA=(x−x2)dxdA=(\sqrt x-x^2)dxdA=(x−x2)dx
联立{y2=xy=x2\begin{cases}y^2=x\\y=x^2\end{cases}{y2=xy=x2解得{x=0y=0\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}{x=0y=0或{x=1y=1\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}{x=1y=1
A=∫01(x−x2)dx=(23x32−13x3)∣01=13A=\int^1_0(\sqrt x-x^2)dx=(\frac23x^{\frac32}-\frac13x^3)\Big|^1_0=\frac13A=∫01(x−x2)dx=(32x23−31x3)∣∣01=31
例2：计算抛物线y2=2xy^2=2xy2=2x与直线y=x−4y=x-4y=x−4所围成的图形的面积

X=np.arange(-5,10,0.002)
f1=lambda x:2**0.5*x**0.5
f2=lambda x:-2**0.5*x**0.5
f3=lambda x:x-4
s1=pd.Series(f1(X),index=X)
s2=pd.Series(f2(X),index=X)
s3=pd.Series(f3(X),index=X)
s1.plot(color='orange')
s2.plot(color='orange')
s3.plot()
plt.ylim(-5,5)

联立{y2=2xy=x−4\begin{cases}y^2=2x\\y=x-4\end{cases}{y2=2xy=x−4解得{x=8y=4\begin{cases}x=8\\y=4\end{cases}{x=8y=4或{x=2y=−2\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}{x=2y=−2
对xxx轴积分
dA1=(2x+2x)dx(x∈(0,2)),dA2=(2x−x+4)dx(x∈(2,8))dA_1=(\sqrt{2x}+\sqrt{2x})dx\quad(x\in(0,2)),dA_2=(\sqrt{2x}-x+4)dx\quad(x\in(2,8))dA1=(2x+2x)dx(x∈(0,2)),dA2=(2x−x+4)dx(x∈(2,8))
A=∫0222xdx+∫28(2x−x+4)dxA=\int^2_02\sqrt{2x}dx+\int^8_2(\sqrt{2x}-x+4)dxA=∫0222xdx+∫28(2x−x+4)dx
对yyy轴积分同理
dA=(4+y−y22)dydA=(4+y-\frac{y^2}2)dydA=(4+y−2y2)dy
A=∫−24(4+y−y22)dy=(4y+12y2−16y3)∣−24=18A=\int^4_{-2}(4+y-\frac{y^2}2)dy=(4y+\frac12y^2-\frac16y^3)|^4_{-2}=18A=∫−24(4+y−2y2)dy=(4y+21y2−61y3)∣−24=18
例3：求椭圆x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1a2x2+b2y2=1所围成的图形的面积
此处画图以a=2,b=1a=2,b=1a=2,b=1为例，设置轴标签变换的图像。以后凡是涉及参数大都是这种思路

theta=np.arange(0,2*np.pi,0.01)
a=2
b=1
f=lambda theta:a*np.cos(theta),lambda theta:b*np.sin(theta)
plt.plot(f[0](theta),f[1](theta),color='r')
plt.ylim(-1.5,1.5)
plt.xlim(-2.5,2.5)
plt.xticks([-2,2])
plt.yticks([-1,1])
ax.set_xticklabels(['-a','a'],fontsize=30)
ax.set_yticklabels(['-b','b'],fontsize=30)

法1：
由于图像关于x,yx,yx,y轴均对称，因此计算第一象限面积再乘444
参数方程
令{x=acos⁡ty=bsin⁡t\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}{x=acosty=bsint(0≤t≤π2)\quad(0\leq t\leq\frac\pi2)(0≤t≤2π)
dA=4dA1=4ydx=4yd(acos⁡t=4bsin⁡td(acos⁡t)=−4absin⁡2tdtdA=4dA_1=4ydx=4yd(a\cos t=4b\sin td(a\cos t)=-4ab\sin^2t dtdA=4dA1=4ydx=4yd(acost=4bsintd(acost)=−4absin2tdt
A=−4ab∫π20sin⁡2tde=πabA=-4ab\int^0_{\frac\pi2}\sin^2tde=\pi abA=−4ab∫2π0sin2tde=πab
法2：
dA=4dA1=4y(x)dx=4baa2−x2dxdA=4dA_1=4y(x)dx=4\frac ba\sqrt{a^2-x^2}dxdA=4dA1=4y(x)dx=4aba2−x2dx
A=4ba∫0aa2−x2dx=dx=acos⁡tdt令x=asin⁡t4ba∫0π2a2cos⁡2tdt=4ab∫0π2cos⁡2tdt=πab\begin{aligned}A&=4\frac ba\int^a_0\sqrt{a^2-x^2}dx\\&\overset{\text{令}x=a\sin t}{\underset{dx=a\cos tdt}{=}}4\frac ba\int^{\frac\pi2}_0a^2\cos^2tdt\\&=4ab\int^{\frac\pi2}_0\cos^2tdt\\&=\pi ab\end{aligned}A=4ab∫0aa2−x2dxdx=acostdt=令x=asint4ab∫02πa2cos2tdt=4ab∫02πcos2tdt=πab

2. 极坐标

设由曲线ρ=ρ(θ)\rho=\rho(\theta)ρ=ρ(θ)及射线θ=α,θ=β\theta=\alpha,\theta=\betaθ=α,θ=β围成的一个图形，这个曲边扇形的面积AAA是定积分A=∫αβ12[ρ(θ)]2dθA=\int^\beta_\alpha\frac12[\rho(\theta)]^2d\thetaA=∫αβ21[ρ(θ)]2dθ
例1：计算阿基米德螺线ρ=αθ(α>0)\rho=\alpha\theta\quad(\alpha>0)ρ=αθ(α>0)上相应于θ\thetaθ从000变到2π2\pi2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积

theta=np.arange(0,2*np.pi,0.02)
a=1# 去α=1
f=lambda theta:a*theta
ax=plt.gca(projection='polar')
plt.plot(theta,f(theta))

dA=12ρ2dθ=12a2θ2dθdA=\frac12\rho^2d\theta=\frac12a^2\theta^2d\thetadA=21ρ2dθ=21a2θ2dθ
A=∫02π12a2θ2dθ=a22(13θ3)∣02π=43π3a2A=\int^{2\pi}_0\frac12a^2\theta^2d\theta=\frac{a^2}2(\frac13\theta^3)|^{2\pi}_0=\frac43\pi^3a^2A=∫02π21a2θ2dθ=2a2(31θ3)∣02π=34π3a2
例5：计算心形线ρ=a(1+cos⁡θ)(a>0)\rho=a(1+\cos\theta)\quad(a>0)ρ=a(1+cosθ)(a>0)所围成图形的面积

theta=np.arange(0,2*np.pi,0.02)
a=5
f=lambda theta:a*(1+np.cos(theta))
ax=plt.gca(projection='polar')
plt.plot(theta,f(theta))

dA=2(12ρ2dθ)=2(12a2(1+cos⁡θ)2)dθdA=2(\frac12\rho^2d\theta)=2(\frac12a^2(1+\cos\theta)^2)d\thetadA=2(21ρ2dθ)=2(21a2(1+cosθ)2)dθ
可选择(0,π)(0,\pi)(0,π)再乘222，也可直接选择(0,2π)(0,2\pi)(0,2π)，二者同理
A=∫0πa2(1+cos⁡θ)2dθ=a2∫0π(1+2cos⁡θ+cos⁡2θ)dθ(结合图像发现cos⁡θ在(0,2π)上x轴上下面积相等)=a2∫0πdθ+2a2∫0π2cos⁡2θdθ(结合图像，换到(0,π2)区间上)=32πa2\begin{aligned}A&=\int^\pi_0a^2(1+\cos\theta)^2d\theta\\&=a^2\int^\pi_0(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)d\theta\quad\text{(结合图像发现}\cos\theta\text{在}(0,2\pi)\text{上}x\text{轴上下面积相等)}\\&=a^2\int^\pi_0d\theta+2a^2\int^{\frac\pi2}_0\cos^2\theta d\theta\quad\text{(结合图像，换到}(0,\frac\pi2)\text{区间上)}\\&=\frac32\pi a^2\end{aligned}A=∫0πa2(1+cosθ)2dθ=a2∫0π(1+2cosθ+cos2θ)dθ(结合图像发现cosθ在(0,2π)上x轴上下面积相等)=a2∫0πdθ+2a2∫02πcos2θdθ(结合图像，换到(0,2π)区间上)=23πa2
见到区间长度是π2\frac\pi22π的整数倍，积分中含有sin⁡,cos⁡\sin,\cossin,cos，结合图像可以缩小区间或者发现积分为000

二、旋转体的体积

设连续曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)、直线x=a,x=bx=a,x=bx=a,x=b及xxx轴所围成的曲边梯形绕xxx轴旋转一周所围成的旋转体的体积，体积微元是dV=π[f(x)]2dxdV=\pi[f(x)]^2dxdV=π[f(x)]2dx，体积是V=∫abπ[f(x)]2dxV=\int^b_a\pi[f(x)]^2dxV=∫abπ[f(x)]2dx
例6：连接坐标原点OOO及点P(h,r)P(h,r)P(h,r)的直线、直线x=hx=hx=h及xxx轴围成一个直角三角形，将它绕xxx轴旋转一周构成一个底面半径为rrr、高为hhh的圆锥体，计算该圆锥体的体积
dV=πy2(x)dx=π(rhx)2dxdV=\pi y^2(x)dx=\pi(\frac rhx)^2dxdV=πy2(x)dx=π(hrx)2dx
V=π(rh)2∫0hx2dx=πr2h3V=\pi(\frac rh)^2\int^h_0x^2dx=\frac{\pi r^2h}3V=π(hr)2∫0hx2dx=3πr2h
例7：计算由摆线x=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t)x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)x=a(t−sint),y=a(1−cost)相应于0≤t≤2π0\leq t\leq2\pi0≤t≤2π的一拱与直线y=0y=0y=0所围成的图形分别绕xxx轴与yyy轴旋转一周而成的旋转体的体积

theta=np.arange(-1*np.pi,3*np.pi,0.02)
a=1
f=lambda theta:a*(theta-np.sin(theta)),lambda theta:a*(1-np.cos(theta))
plt.plot(f[0](theta),f[1](theta))
plt.xticks([0,2*np.pi])
plt.yticks([2])
ax.set_xticklabels([0,'2πa'])
ax.set_yticklabels(['2a'])

参数方程根据xxx或yyy的极值或零点，确定ttt的值，从而确定yyy或xxx的值，最终确定直角坐标系上的坐标
dVx=πy2(x)dx=πy2(t)x′(t)dt=πa2(1−cos⁡t)2⋅a(1−cos⁡t)dtdV_x=\pi y^2(x)dx=\pi y^2(t)x'(t)dt=\pi a^2(1-\cos t)^2\cdot a(1-\cos t)dtdVx=πy2(x)dx=πy2(t)x′(t)dt=πa2(1−cost)2⋅a(1−cost)dt
Vx=∫02ππa3(1−cos⁡t)3dt=πa3∫02π(1−3cos⁡t+3cos⁡2t−cos⁡3t)dt=5π2a3\begin{aligned}V_x&=\int^{2\pi}_0\pi a^3(1-\cos t)^3dt\\&=\pi a^3\int^{2\pi}_0(1-3\cos t+3\cos^2t-\cos^3t)dt\\&=5\pi^2a^3\end{aligned}Vx=∫02ππa3(1−cost)3dt=πa3∫02π(1−3cost+3cos2t−cos3t)dt=5π2a3
dVy1=πx12(y)dy=π[a(t−sin⁡t)]2⋅asin⁡tdtdV_{y1}=\pi x_1^2(y)dy=\pi[a(t-\sin t)]^2\cdot a\sin tdtdVy1=πx12(y)dy=π[a(t−sint)]2⋅asintdt
dVy2=πx22(y)dy=π[a(t−sin⁡t)]2⋅asin⁡tdtdV_{y2}=\pi x_2^2(y)dy=\pi[a(t-\sin t)]^2\cdot a\sin tdtdVy2=πx22(y)dy=π[a(t−sint)]2⋅asintdt
Vy=∫02aπx12(y)dy−∫02aπx12(y)dy虽然都是∫02a，但第一个式子是x∈(πa,2πa)曲线与y轴构成的面，第二个式子是x∈(0,πa)曲线与y轴构成的面，二者相减得到的结果对于第一个式子的下限0，根据y=a(1−cos⁡t)得t=2π。其余上下限转化同理=π∫2ππ[a(t−sin⁡t)]2⋅asin⁡tdt−π∫0π[a(t−sin⁡t)]2⋅asin⁡tdt=−π∫02πa3(t−sin⁡t)2sin⁡tdt=6π3a3\begin{aligned}V_y&=\int^{2a}_0\pi x_1^2(y)dy-\int^{2a}_0\pi x_1^2(y)dy\\&\text{虽然都是}\int^{2a}_0\text{，但第一个式子是}x\in(\pi a,2\pi a)\text{曲线与}y\text{轴构成的面，第二个式子是}x\in(0,\pi a)\text{曲线与}y\text{轴构成的面，二者相减得到的结果}\\&\text{对于第一个式子的下限}0\text{，根据}y=a(1-\cos t)\text{得}t=2\pi\text{。其余上下限转化同理}\\&=\pi\int^\pi_{2\pi}[a(t-\sin t)]^2\cdot a\sin tdt-\pi\int^\pi_0[a(t-\sin t)]^2\cdot a\sin tdt\\&=-\pi\int^{2\pi}_0a^3(t-\sin t)^2\sin tdt\\&=6\pi^3a^3\end{aligned}Vy=∫02aπx12(y)dy−∫02aπx12(y)dy虽然都是∫02a，但第一个式子是x∈(πa,2πa)曲线与y轴构成的面，第二个式子是x∈(0,πa)曲线与y轴构成的面，二者相减得到的结果对于第一个式子的下限0，根据y=a(1−cost)得t=2π。其余上下限转化同理=π∫2ππ[a(t−sint)]2⋅asintdt−π∫0π[a(t−sint)]2⋅asintdt=−π∫02πa3(t−sint)2sintdt=6π3a3

三、平面曲线的弧长

1. 直角坐标

当曲线弧由直角坐标方程y=f(x)(a≤x≤b)y=f(x)\quad(a\leq x\leq b)y=f(x)(a≤x≤b)确定，其中f(x)f(x)f(x)在其闭区间[a,b][a,b][a,b]上具有一阶连续导数，则曲线弧长为s=∫ab1+y′2(x)dxs=\int^b_a\sqrt{1+y'^2(x)}dxs=∫ab1+y′2(x)dx
推导：
(ds)2=(dx)2+(dy)2(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2(ds)2=(dx)2+(dy)2
ds=(dx)2+(dy)2=1+(dydx)2dx=1+y′2(x)dxds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx=\sqrt{1+y'^2(x)}dxds=(dx)2+(dy)2=1+(dxdy)2dx=1+y′2(x)dx

2. 参数方程

当曲线弧由参数方程{x=x(t)y=y(t)(α≤t≤β)\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}\quad(\alpha\leq t\leq\beta){x=x(t)y=y(t)(α≤t≤β)确定，其中x=x(t)x=x(t)x=x(t)与y=y(t)y=y(t)y=y(t)在闭区间t∈[α,β]t\in[\alpha,\beta]t∈[α,β]具有连续导数，所以曲线弧长为s=∫αβx′2(t)+y′2(t)dts=\int^\beta_\alpha\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dts=∫αβx′2(t)+y′2(t)dt
推导：
(ds)2=(dx)2+(dy)2(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2(ds)2=(dx)2+(dy)2
ds=(dx)2+(dy)2=(dxdt)2+(dydt)2dt=x′2(t)+y′2(t)dtds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dtds=(dx)2+(dy)2=(dtdx)2+(dtdy)2dt=x′2(t)+y′2(t)dt

3. 极坐标

当曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ)(α≤θ≤β)\rho=\rho(\theta)\quad(\alpha\leq\theta\leq\beta)ρ=ρ(θ)(α≤θ≤β)确定，其中ρ(θ)\rho(\theta)ρ(θ)在闭区间[α,β][\alpha,\beta][α,β]上具有连续导数，则由直角坐标与极坐标的关系得知{x=x(θ)=ρ(θ)cos⁡θy=y(θ)=ρ(θ)sin⁡θ(α≤θ≤β)\begin{cases}x=x(\theta)=\rho(\theta)\cos\theta\\y=y(\theta)=\rho(\theta)\sin\theta\end{cases}\quad(\alpha\leq\theta\leq\beta){x=x(θ)=ρ(θ)cosθy=y(θ)=ρ(θ)sinθ(α≤θ≤β)，极坐标其实就是以极角θ\thetaθ为参数的曲线弧的参数方程，所以曲线弧长为s=∫αβρ2(θ)+ρ′2(θ)dθs=\int^\beta_\alpha\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho'^2(\theta)}d\thetas=∫αβρ2(θ)+ρ′2(θ)dθ
推导：
ds=x′2(θ)+y′2(θ)dθ=(ρ′cos⁡θ−ρsin⁡θ)2+(ρ′sin⁡θ+ρcos⁡θ)2dθ=ρ2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)+ρ′2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)dθ=ρ2(θ)+ρ′2(θ)dθ\begin{aligned}ds&=\sqrt{x'^2(\theta)+y'^2(\theta)}d\theta\\&=\sqrt{(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta)^2+(\rho'\sin\theta+\rho\cos\theta)^2}d\theta\\&=\sqrt{\rho^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+\rho'^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)}d\theta\\&=\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho'^2(\theta)}d\theta\end{aligned}ds=x′2(θ)+y′2(θ)dθ=(ρ′cosθ−ρsinθ)2+(ρ′sinθ+ρcosθ)2dθ=ρ2(sin2θ+cos2θ)+ρ′2(sin2θ+cos2θ)dθ=ρ2(θ)+ρ′2(θ)dθ
例8：求阿基米德螺线ρ=aθ(a>θ)\rho=a\theta\quad(a>\theta)ρ=aθ(a>θ)相应于0≤θ≤2π0\leq\theta\leq2\pi0≤θ≤2π的一段弧长
ds=ρ2(θ)+ρ′2(θ)dθ=a1+θ2dθds=\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho'^2(\theta)}d\theta=a\sqrt{1+\theta^2}d\thetads=ρ2(θ)+ρ′2(θ)dθ=a1+θ2dθ
s=a∫02π1+θdθ=a[θ21+θ2+12ln⁡(θ+1+θ2)]∣02π=π1+4π2+12ln⁡(2π+1+4π2)s=a\int^{2\pi}_0\sqrt{1+\theta}d\theta=a[\frac\theta2\sqrt{1+\theta^2}+\frac12\ln(\theta+\sqrt{1+\theta^2})]\Big|^{2\pi}_0=\pi\sqrt{1+4\pi^2}+\frac12\ln{(2\pi+\sqrt{1+4\pi^2})}s=a∫02π1+θdθ=a[2θ1+θ2+21ln(θ+1+θ2)]∣∣02π=π1+4π2+21ln(2π+1+4π2)
这个积分不容易计算，可以先换成不定积分进行计算，不定积分积完后代入上下限。注意，这种方法的前提是，被积函数在积分区间上连续，如不连续，可以分区间再用该种方法
∫x2+a2dx=dx=asec⁡2udux=atan⁡u∫asec⁡u⋅asec⁡2udu(1)=a2∫sec⁡udtan⁡u=a2sec⁡utan⁡u+a2∫tan⁡2usec⁡udu=a2sec⁡utan⁡u+a2∫(sec⁡3u−sec⁡u)du=a2sec⁡utan⁡u−a2ln⁡∣sec⁡u+tan⁡u∣+a2∫sec⁡3udu(2)\begin{aligned}\int\sqrt{x^2+a^2}dx&\overset{x=a\tan u}{\underset{dx=a\sec^2udu}{=}}\int a\sec u\cdot a\sec^2udu\quad\text{(1)}\\&=a^2\int\sec ud\tan u\\&=a^2\sec u\tan u+a^2\int\tan^2 u\sec udu\\&=a^2\sec u\tan u+a^2\int(\sec^3u-\sec u)du\\&=a^2\sec u\tan u-a^2\ln|\sec u+\tan u|+a^2\int\sec^3udu\quad\text{(2)}\end{aligned}∫x2+a2dxdx=asec2udu=x=atanu∫asecu⋅asec2udu(1)=a2∫secudtanu=a2secutanu+a2∫tan2usecudu=a2secutanu+a2∫(sec3u−secu)du=a2secutanu−a2ln∣secu+tanu∣+a2∫sec3udu(2)
(1)(2)凑成循环积分，因此
∫x2+a2dx=dx=asec⁡2udux=atan⁡ua22tan⁡usec⁡u+a22ln⁡∣sec⁡u+tan⁡u∣+C\begin{aligned}\int\sqrt{x^2+a^2}dx\overset{x=a\tan u}{\underset{dx=a\sec^2udu}{=}}\frac{a^2}2\tan u\sec u+\frac {a^2}2\ln|\sec u+\tan u|+C\end{aligned}∫x2+a2dxdx=asec2udu=x=atanu2a2tanusecu+2a2ln∣secu+tanu∣+C
代回xxx
∫x2+a2dx=x2x2+a2+12ln⁡(x+x2+a2)+C\begin{aligned}\int\sqrt{x^2+a^2}dx=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac12\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\end{aligned}∫x2+a2dx=2xx2+a2+21ln(x+x2+a2)+C

定积分在物理学上的应用

一、变力沿直线做功

公式：W=F⋅sW=F\cdot sW=F⋅s
例1：一圆柱形的储水桶高为5m5m5m，底圆半径为3m3m3m，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需做多少功
建系如图

dW=dF⋅s=dm⋅gy=ρdV⋅gy=ρgyπ32dy=9πρgydydW=dF\cdot s=dm\cdot gy=\rho dV\cdot gy=\rho gy\pi3^2dy=9\pi\rho gydydW=dF⋅s=dm⋅gy=ρdV⋅gy=ρgyπ32dy=9πρgydy
W=9πρg∫05ydy=2252πρg(J)W=9\pi\rho g\int^5_0ydy=\frac{225}2\pi\rho g(J)W=9πρg∫05ydy=2225πρg(J)

二、水压力

公式：P=p⋅A=ρgh⋅AP=p\cdot A=\rho gh\cdot AP=p⋅A=ρgh⋅A
其中水的密度为ρ\rhoρ，重力加速度为ggg，hhh为离水面的深度，AAA为放置在水深为hhh的物体的面积
例2：一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为RRR，水的密度为ρ\rhoρ，计算桶的一个端面（圆面）上所受的压力

dP=pdA=ρgydA=ρgy⋅2x(y)dy=2ρgyR2−y2dydP=pdA=\rho gydA=\rho gy\cdot 2x(y)dy=2\rho gy\sqrt{R^2-y^2}dydP=pdA=ρgydA=ρgy⋅2x(y)dy=2ρgyR2−y2dy
P=2ρg∫0RyR2−y2dy=−ρg[23(R2−y2)32]∣0R=23ρgR3P=2\rho g\int^R_0y\sqrt{R^2-y^2}dy=-\rho g[\frac23(R^2-y^2)^{\frac32}]\Big|^R_0=\frac23\rho gR^3P=2ρg∫0RyR2−y2dy=−ρg[32(R2−y2)23]∣∣0R=32ρgR3

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【高等数学】定积分的应用

文章目录

定积分的几何应用

一、平面图形的面积

1. 直角坐标

2. 极坐标

二、旋转体的体积

三、平面曲线的弧长

1. 直角坐标

2. 参数方程

3. 极坐标

定积分在物理学上的应用

一、变力沿直线做功

二、水压力

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