高等数学：定积分在物理学上的应用

温馨提示：
一、变力沿直线做功
- ①电荷作用力做功
- ②推气体做功
- ③吸水桶的水做功
二、液体静压力

温馨提示：

专题分析下定积分在物理学上的应用几种案例。库仑力做功、推气体、抽水玩法、液体静压力。相信很多同学在这里都很懵逼，不好理解。这里简单小述一下，看看能不能加深理解的印象。O(∩_∩)O哈哈~。

一、变力沿直线做功

这种玩法十分简单，看一遍就能懂了。

一定要明白一个道理，在微积分思想中，要用微分的思想对抗它。

匀速直线做功：W = FS（力 ✖️ 距离）

变力沿直线做功：在a → b上，变力做功。F为关于s的变力，ds是所做功的长度。
W=∫abF(s)dsW = \int_a^b {F(s)} \,{\rm d}s W=∫abF(s)ds

重点：当ds很小很小的时候，F(s)的变化很小，这时可以看作恒力做功。

①电荷作用力做功

我们知道，电荷之间的作用力是F®。

库仑力公式：F(r)=kq1∗q2r2(k是常数)F(r) = k \frac{q1 *q2}{r^2} \quad (k是常数)F(r)=kr2q1∗q2(k是常数)
那通常情况下，都会有个单位正电荷存在。于是单位正电荷下的库仑力可以写为。（单位正电荷是1）
F(r)=kq1r2(k是常数)F(r) = k \frac{q1}{r^2} \quad (k是常数)F(r)=kr2q1(k是常数)

故结论：电荷做功如下，微元功 dw = F( r ) ✖️ dr。
W=∫abdw=∫abF(r)dr=∫abkq1r2dr=kq∫ab1r2drW = \int_a^b \,{\rm d}w =\int_a^b F( r ) dr = \int_a^b k \frac{q1}{r^2}dr \quad = kq \int_a^b \frac{1}{r^2}dr \quad W=∫abdw=∫abF(r)dr=∫abkr2q1dr=kq∫abr21dr

②推气体做功

开始了解，引入波义尔定律。等温情况下，气体的体积、压强存在某种固定的联系。气体膨胀之后，压强就会减少。

知道两个公式先

.（bo 义尔）定律：PV = K(P为压强、V为体积、k是常数)
. 压力公式：F = PS （F为压强、S是面积)（压强与面积的乘积）
体积公式：v = sh（这个不用再解释了吧。。。）

dw = F✖️dx
首先、咱们可以先从压力公式拆解压力F。F = PS
1、F = PS
其次、咱们由波义尔定律去限制下压强P。PV = K
2、F = k/v ✖️ S
然后、我们把v体积给拆解一下。v=sx（s为面积、x为长度）
3、F = k/sx ✖️ S = k/x
于是dw就出来了。
4、dw = k/x ✖️dx

故结论：推气体做功如下，微元功 dw = k/x ✖️dx
W=∫abdw=∫abkxdxW = \int_a^b \,{\rm d}w =\int_a^b \frac {k} {x} dx W=∫abdw=∫abxkdx

③吸水桶的水做功

例题：一蓄满水的圆柱型水桶高为5m，底圆半径为3m。
试问要把桶里的水全部吸出需要做多少功。

重力公式 G=mg
质量公式 m=ρv（密度与体积）
圆面积公式 s=πr^2
体积公式 v=πr^2 ✖️dx

故结论：吸水桶的水做功如下.
微元功 dw= Gx = mgx = ρgvx =ρgxπr^2 ✖️ dx(长度微元)
W=∫abdw=ρgπr2∫abxdxW = \int_a^b \,{\rm d}w = ρgπr^2 \int_a^b x dx W=∫abdw=ρgπr2∫abxdx

二、液体静压力

例题：一水平横放半径为R的圆桶内盛半桶密度为ρ的液体，求桶的一个端面所受的压力。

物理学知：在水深处h的压强p=ρgh 密度、重力加速度、水深高度。
如果有一面积为A的平板水平的放置在水深处h处，那么平板一测所受的压力为P=PA （水压= 压强乘面积）

一定要知道的两个公式

压强p=ρgh 密度、重力加速度、水深高度
水压P=PA （水压= 压强乘面积）

微积分思想：累加水片的压力。

那么从一端的圆面看过去，脑补出小水片，就可以开始得出压力微元了。

注意：不是做功，是求压力了。。。
水压微元 dP = PS （压强、面积）

拆解压强P=ρgh
拆解S横截面面积