用Matlab求解高等数学中的问题

一、求解不定积分

利用matlab符号工具箱中的求积函数int，
可求函数的不定积分，int函数的调用格式如下：

int(S)
int(S,v)

说明：
（1）int(S)求表达式S的不定积分(默认的积分变量为x)，即求

（2）int(S,v)求表达式S关于积分变量v的不定积分，即求

问题求解：

**例：**求：

解题：


syms x f;
f=((1+sin(x))*exp(x)/(1+cos(x)));
int(f,'x')

运行：

例2：求

解题：

syms a b t f;
f=(a*t+b)/(4*t^2-7*t+25);
int(f,'t')

运行：

二、求解定积分

利用matlab符号工具箱中的求积函数int，
可求函数的定积分，int函数的调用格式如下：

int（S,a,b）
int（S,v,a,b）

说明：
（1）int（S,a,b）求表达式S在区间[a,b]上的定积分，即求

（2）int（S,v,a,b）求表达式S关于变量v在区间[a,b]上的定积分，即求

例1 计算：

解题：

syms x ;
y=sqrt(1-sin(2*x));
zhi=int(y,'x','0','pi/2');
eval(zhi)

运行：

例2：计算广义积分：

解题：


syms x;
y=exp((-x^2)/2)/sqrt(2*pi);
zhi=int(y,'x','-inf','inf')
eval(zhi)

运行：

三、求解多元微积分

1.求偏导数

函数格式：diff(z,’x’,n)
用它可求函数z关于x的n阶偏导数

例1、设z=exp(1+xlny),求

解题：

syms x;
y=exp((-x^2)/2)/sqrt(2*pi);
zhi=int(y,'x','-inf','inf')
eval(zhi);

运行：

例2、求函数z=ln(x+y)+arctanxy的二阶导数

解题：

syms x y z;
z=log(x+y)+atan(x*y);
dzdx=diff(z,'x');  %求一阶导数
dzdxdy=diff(dzdx,'y')  %第一个答案
dzdx2=diff(z,'x',2)  %第二个答案
dzdy2=diff(z,'y',2)  %第三个答案

运行：

注意：arctan 写成：atan

例3

解题：

syms x y z f;
f=x^3+y^3+z^3-3*x*y*z;
fx=diff(f,'x');
fy=diff(f,'y');
fz=diff(f,'z');
dzdx=-fx/fz;
dzdy=-fy/fz;
simplify(dzdx)%化简
simplify(dzdy)

运行：

2.求二重积分

例4计算二重积分:

解题：

syms x y ;
f=y^2/x^2;
jf1=int(f,'x',1/y,y);
jf2=int(jf1,'y',1,2)

运行：

四、求解微分方程

利用matlab符号工具箱中的函数dsolve,
可求微分方程的解，其调用格式如下：

r=dsolve(‘eql,eq2,…’,’cond1,cond2’,…,’v’)
r=dsolve(‘eql’,’eq2’,…,’cond1’,’cond2’,…,’v’)

说明：
求微分方程或微分方程组eq1,eq2,…
满足初始条件cond1,cond2,…关于自变量v的解。
默认的自变量为t。

例1求如下微分方程的同解：

解题：

simplify(dsolve('5*D2y-6*Dy+5*y=exp(x)','x'))

运行：

例2、求微分方程 dx/dt=y,dy/dt=-x 的解：

解题：

[x,y]=dsolve('Dx=y,Dy=-x')

运行：

五、求解级数问题

1、级数求和

调用matlab符号工具箱中的symsum函数，可求级数的和。调用格式如下：

r=symsum(s)
r=symsum(s,v)
r=symsum(s,a,b)
r=symsum(s,v,a,b)

说明：
（1）symsum(s)求关于默认变量k 的级数从第0项到k-1项和，其中s是通向f(k)的符号表达式。
（2）symsum(s)求关于变量v的级数从第0项到v-1项和，其中s是通向f(v)的符号表达式。
（3）symsum(s,a,b)求级数从第a项到第b项和。

（4）symsum(s,v,a,b)求关于变量v的级数v 从第a项到第b项的和。

例题：
例1、已知级数

求：（1）求它的前k项和；
（2）求第0项到第10项的和。

解题：

syms k
r=symsum(k^2)%前k项和r1=symsum(k^2,0,10)%0到10项的和

运行：

例题：
求幂级数的和函数：

解题：

syms x k;
symsum(x^k/sym('k!'),k,0,inf)

运行：

注意：sym是将字符串转换成符号表达式命令。

2、函数展开成幂级数

调用matlab符号工具箱中的taylor函数，
可求得函数的任意阶幂级数展开式。

调用格式：
TAYLOR(f)
TAYLOR(f,n)
TAYLOR(f,n,a)

说明：
（1）TAYLOR(f)求函数f的5阶Maclaurin级数
（2）TAYLOR(f,n)求（n-1）阶Maclaurin级数
（3）TAYLOR(f,n,a)求函数f在a点的（n-1）阶Taylor级数

例题：

求下面函数的5阶Maclaurin级数：

解题：

taylor(exp(-x))

运行：

例、求函数y=log(x+1)的6阶Maclaurin级数

解题：

taylor(log(x+1),7)

例、求函数f(x)=sinx在x=pi/2处的4阶Taylor级数

taylor(sin(x),5,pi/2)