LeetCode 312. 戳气球（DP，难）

1. 题目

有 n 个气球，编号为0 到 n-1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。每当你戳破一个气球 i 时，你可以获得 nums[left]∗nums[i]∗nums[right]nums[left] * nums[i] * nums[right]nums[left]∗nums[i]∗nums[right] 个硬币。这里的 left 和 right 代表和 i 相邻的两个气球的序号。注意当你戳破了气球 i 后，气球 left 和气球 right 就变成了相邻的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

说明:

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = 1，但注意它们不是真实存在的所以并不能被戳破。
0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

示例:输入: [3,1,5,8]
输出: 167
解释: nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->   [3,8]   -->  [8]  --> []coins =  3*1*5      +  3*5*8    +  1*3*8      + 1*8*1   = 167

来源：力扣（LeetCode）链接：https://leetcode-cn.com/problems/burst-balloons
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2. DP解题

看的别人的解题思路

dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j] 表示戳破 i 到 j 的气球获得的最大金币
每次戳破气球的顺序会影响后面的结果，直接求解的复杂度是O(n!)O(n!)O(n!)
逆向思考，假设最后戳破 k 号气球，那么 k 号气球左边和右边的求解是互不干扰的
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k−1]+nums[i−1]∗nums[k]∗nums[j+1]+dp[k+1][j])dp[i][j] = max(dp[i][j],\quad dp[i][k-1]+nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1]+dp[k+1][j])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k−1]+nums[i−1]∗nums[k]∗nums[j+1]+dp[k+1][j])
[i,j][i,j][i,j] 有多少种组合呢，用他们的长度 lenlenlen 表示， 1<=len<=n1<=len<=n1<=len<=n
在长度len下，i，j 窗口遍历数组，在 i，j 窗口内用递推公式求 dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]

class Solution {public:int maxCoins(vector<int>& nums) {int n = nums.size();nums.insert(nums.begin(),1);//首尾加入虚拟的气球nums.push_back(1);vector<vector<int>> dp(n+2,vector<int>(n+2,0));int len, i, j, k;for(len = 1; len <= n; ++len) {for(i = 1; i <= n-len+1; ++i){j = len+i-1;for(k = i; k <= j; ++k){dp[i][j] =
max(dp[i][j],dp[i][k-1]+dp[k+1][j]+nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1]);}}}return dp[1][n];}
};

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