前言

最近在做信号处理，发现自己基本功不够扎实，开始了恶补之路，希望能够尽快的补齐吧。

简介

希尔伯特黄变换
1998年，Norden E. Huang（黄锷：中国台湾海洋学家）等人提出了经验模态分解方法，并引入了Hilbert谱的概念和Hilbert谱分析的方法，美国国家航空和宇航局（NASA）将这一方法命名为Hilbert-Huang Transform，简称HHT，即希尔伯特-黄变换
HHT主要内容包含两部分，第一部分为经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，简称EMD），它是由Huang提出的；第二部分为Hilbert谱分析（Hilbert Spectrum Analysis，简称HSA）。简单说来，HHT处理非平稳信号的基本过程是：首先利用EMD方法将给定的信号分解为若干固有模态函数（以Intrinsic Mode Function或IMF表示，也称作本征模态函数），这些IMF是满足一定条件的分量；然后，对每一个IMF进行Hilbert变换，得到相应的Hilbert谱，即将每个IMF表示在联合的时频域中；最后，汇总所有IMF的Hilbert谱就会得到原始信号的Hilbert谱。

基本原理

经验模态分解

经验模态分解往往被称为是一个“筛选”过程。这个筛选过程依据信号特点自适应地把任意一个复杂信号分解为一系列本征模态函数(IntrinsicMode Function, IMF)。它满足如下两个条件：
(1) 信号极值点的数量与零点数相等或相差是一；
(2) 信号的由极大值定义的上包络和由极小值定义的下包络的局部均值为零。
EMD 筛选过程如下：
(1) 对输入信号x(t)x(t)x(t)，求取极大值点x(ti)x(ti)x(t_i)，和极小值点x(tj)x(tj)x(t_j)，xu(t)xu(t)x_u(t)
(2) 对极大值点和极小值点采用三次样条函数插值构造信号上下包络、xl(t)xl(t)x_l(t), 计算上、下包络的均值函数；
(3) 考察是否满足IMF 条件，如果满足则转到下一步，否则对xlxlx_l进行前两步操作,求m11m11m_{11}
得以及，依次下去，直到第k步满足IMF条件，则求得第一个IMF ；
(4) 得到第一个残留，对作如同上述三步操作，得到c2c2c_2
以及以此类推；
(5) 直到rnrnr_n为单调信号或者只存在一个极点为止。原始信号被表达为。

希尔伯特变换

这类本征模态函数的瞬时频率(Instantaneous Frequency ,IF)有着明确的物理意义。因此,经验模态分解后, 对每一个IMF作希尔伯特变换( Hilbert Transform,HT)，继而可求取每一个IMF的瞬时频率。
对任意信号x(t)，称为x(t)的希尔伯特变换,其中P.V表示Cauchy 主值积分。
通过HT，可以构造解析信号z(t)，并在极坐标下表达为: ，其中，，则x(t)的瞬时频率定义为。
综合上述两步,原信号表达为，为一个时间-频率-能量三维分布图。

特点

与传统的信号或数据处理方法相比，HHT具有如下特点：

(1)HHT能分析非线性非平稳信号。

传统的数据处理方法，如傅立叶变换只能处理线性非平稳的信号，小波变换虽然在理论上能处理非线性非平稳信号，但在实际算法实现中却只能处理线性非平稳信号。历史上还出现过不少信号处理方法，然而它们不是受线性束缚，就是受平稳性束缚，并不能完全意义上处理非线性非平稳信号。HHT则不同于这些传统方法，它彻底摆脱了线性和平稳性束缚，其适用于分析非线性非平稳信号。

(2)HHT具有完全自适应性。

HHT能够自适应产生“基”，即由“筛选”过程产生的IMF。这点不同于傅立叶变换和小波变换。傅立叶变换的基是三角函数，小波变换的基是满足“可容性条件”的小波基，小波基也是预先选定的。在实际工程中，如何选择小波基不是一件容易的事，选择不同的小波基可能产生不同的处理结果。我们也没有理由认为所选的小波基能够反映被分析数据或信号的特性。

(3)HHT不受Heisenberg测不准原理制约——适合突变信号。

傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换都受Heisenberg测不准原理制约，即时间窗口与频率窗口的乘积为一个常数。这就意味着如果要提高时间精度就得牺牲频率精度，反之亦然，故不能在时间和频率同时达到很高的精度，这就给信号分析处理带来一定的不便。而HHT不受Heisenberg测不准原理制约，它可以在时间和频率同时达到很高的精度，这使它非常适用于分析突变信号。

(4)HHT的瞬时频率是采用求导得到的。

傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换有一个共同的特点，就是预先选择基函数，其计算方式是通过与基函数的卷积产生的。HHT不同于这些方法，它借助Hilbert变换求得相位函数，再对相位函数求导产生瞬时频率。这样求出的瞬时频率是局部性的，而傅立叶变换的频率是全局性的，小波变换的频率是区域性的。

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