希尔伯特黄变换(Hilbert-Huang)原理、HHT求时频谱、边际谱，及MATLAB（2018rb）实现

1. 经验模态分解：

2. 希尔伯特变换：

3. 方法缺陷：

4. MATLAB(2018rb版本)实现和探讨

##边际谱

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希尔伯特黄变换(Hilbert-Huang)包括两部分工作，分别是经验模态分解（EMD）和希尔伯特变换（HT）。

1. 经验模态分解：

找到信号x(t)的极大值和极小值，通过三次样条拟合得到上、下包络线，计算其均值得m1(t).
得到第一个分量 $h_1{}(t)=x(t)-m_1{}(t)$ , 检擦其是否满足模态分量的条件： ① $h_1{}(t)$ 得极大值点与过0点数量相差不超过1个；② $h_1{}(t)$ 的上、下包络线均值恒为0。如不满足，重复操作1、2直至得到满足模态函数(IMF)条件的模态分量 $c_1{}(t)$ .
原始信号减去第一个模态分量，得到信号 $r_{1}(t)=x(t)-c_{1}(t)$ , 将 $r_{1}(t)$ 当成新的“原始信号”，重复以上操作，直至筛选条件 $SD=\frac{\sum_{t=0}^{T}|h_{k-1}(t)-h_{k}(t)|^{2}}{\sum_{t=0}^{T}h_{k-1}^{2}}$ 小于预设值时，经验模态分解结束。这样原始信号便分成若干经验模态分量和一个残余信号： $x(t)=\sum_{i=0}^{n}c_{i}+r_{n}(t)$

2. 希尔伯特变换：

对每个IMF ci(t)求其Hilbert变换： $d_{i}(t)=\frac{1}{\pi }\int_{-\infty }^{+\infty}\frac{c_{1}(\tau)}{t-\tau}d\tau$ ; 根据 $\omega _{i}(t)=\frac{d\theta _{i}(t)}{dt}$ 和 $a_{i}(t) = \sqrt{c_{i}^{2}(t)+d_{i}^{2}(t))}$

可以求得相应IMF的瞬时频率和瞬时幅值，可将原始信号表示成 $x(t)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}(t)e^{j\int \omega _{i}(t)dt}$ ,在经过n次EMD分解后，残余信号 $r_{n}(t)$ 为常熟或单调函数，对信号提取没有实质影响，故舍去。

3. 方法缺陷：

信号的端点不可能同时处于极大值或极小值，因此，上、下包络在数据序列两端会发散，且这种发散会随着运算的进行而逐渐向内，从而使得整个数据序列受到影响。EMD分解存在的端点效应，目前有端点镜像方法、多项式拟合法、极值延拓法、平行延拓法等进行改善。

4. MATLAB(2018rb版本)实现和探讨

#代码详见下面网址

使用两个信号叠加作为分析对象

经验模态分解后得到的imf分量分布：

这是希尔伯特黄变换后得到的频谱图：

##其实对比时频谱图和imf分量图就可以发现，时频谱图是imf图加上能量分布而已，如下：

##边际谱

时频谱图已经出来，下面可根据边际谱求解公式求解边际谱。如下：

$h(\omega)=\int_{0}^{T}H(\omega,t)dt$

这个公式是固定ω不变，对t积分。定积分在离散中可以近似分解为多个长方形的面积和。在离散信号中，H(ω,t)是时频谱矩阵H(ω,k)，长方形的长为第k个数据对应的H(ω,k),宽为时间间隔，即 $\Delta t=1/f_{s}$ （采样频率的倒数），因此积分公式可改为如下公式：

$h(\omega)=\sum_{k=1}^{N}H(\omega,k)* 1/f_{s}$

因此，边际谱本来可以用一行代码搞定：

bjp = sum(hs,2)*1/fs

但问题来了，由自带函数HHT得到hs的数据顺序是错的。时频谱矩阵相当于把时频谱行方向用频率切割，列方向用时刻切割，得出多个小方块，每一个方块对应的频率用中心频率表示，对应的时刻则记录数据的时刻，小方块里的数据则表示该时刻，该频率的能量值（振幅的平方）。

hs是个稀疏矩阵，只记录非零的位置，和该位置对应的能量。但在这里，两者的顺序不同，hs记录的位置按以下方向记录：

然而对应的能量数据，是按得到的imfinse矩阵的顺序排列，两者不相匹配。因此，得到的hs矩阵是一个错误的时频谱矩阵，不能直接用来计算边际谱。

那么，接下来的工作只能根据得到的imf分量每一时刻的瞬时频率和瞬时能量来获得时频谱矩阵。

其实关键步骤是把每一个瞬时频率对应的小方格确定就可以了，然后把每一个小方格内的所有分量的能量累加即可：

时频矩阵大小和hs一样，最大频率为采样频率的一半。

确定中心频率向量

每一个瞬时频率所在的小方格

然后把k<=0的剔除，再累加，就可以得到时频谱矩阵，然后计算得到边际谱，如下图所示：

以下是最新代码且包含相关报告，点此链接下载：

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