希尔伯特-黄变换（HHT）的前世今生——一个从瞬时频率讲起的故事

一、来自小X的疑问

从前有一个国家，叫做实国（一维国度），里边有个叫小X的小人儿。

小X是一根线段，他每天最爱做的事情就是跳舞。

因为小X的舞姿十分稳定，同伴们都说他的头部跳出了频率为1hz的正弦曲线。

蓝色的小X跳出1Hz的正弦舞姿

天有不测风云，这天小x走路摔了一跤，在踉踉跄跄的3秒钟的时间里，小x的头部画出了这样的形状：

频率明显越来越慢

事后小X就在思考：

在摔倒的这3s中，这个曲线的频率该怎么描述呢？一般来说要计算局部频率的值至少需要一个完整周期的正弦波形。像这样一个周期内振荡速率在明显改变的情况，就无法计算频率了？变化的频率要用瞬时频率表示才好，但是要怎样表示呢？

二、隐形的兄弟

多日之后小X逐渐淡忘了这个问题

这天走在路上的他遇到了一个叫H的智者（Hilbert）。

H说：

小X你知道么，你还有一个隐形的兄弟他生活在一个叫虚国平行宇宙中他的舞姿和你息息相关

说罢，智者打开了天眼（Hilbert变换），小X看到了他本来无法观测到的世界，并看到了“隐形的兄弟”——小Y。

小X从舞步中看出，小Y比他滞后了π/2 的相位（即余弦）。

橙色的小Y比蓝色的小Y滞后π/2

此时有个名叫G的老头（Gabor）说：

相位滞后只是表象小X和小Y真正的联系在于你们都是“复平面国”里的小A的投影

G让他们看到了复平面国的小A：（Analysis Signal）

相比于小X和小Y伸缩的正弦/余弦舞姿，小A的舞姿则是一个圆。

小X回想起几天前摔倒的一幕，小Y和小A都表示自己那天也同样摔了一跤，他们摔出来的波形是这样的：

从三维空间观察这次“跌倒”

小X明白了，原来自己和小Y都是比小A低一维的生物，或者说只是一个亦步亦趋的影子，不由得十分沮丧。

三、由高维生物带来的启发

G安慰道：

不必沮丧，起码有小A在，困扰小X的瞬时频率就可以解决了由于小A的运动轨迹是弧线那么可以求出小A的瞬时相位角变化，此时单位是“弧度/秒” 再除以2π就是瞬时频率了

小X表示不忿：

他是他我是我，凭什么用它的瞬时频率代表我的瞬时频率。

G老头呵呵一笑：

因为这样定义，能满足人们在通常情况下的直观感知而且解析信号（小A）和实信号（小X）的频谱完全相同小A是小X的更高维度表达最重要的是——我是数学家，我说了算*。

*注：解析信号法(Analytic Signal Method)求实数信号的瞬时频率的方法由Gabor提出，这是众多用于描述瞬时频率的理论中的一种。

四、前来捣乱的非平稳信号

正在大家纷纷感叹G的高明时，突然闯入了来自实国的“疯狂的M”

疯狂的M

大家发现用G的方法求他的瞬时频率时竟然出现了负频率

而负频率显然是没有意义的

众人一筹莫展之际，黄先生（黄锷）大喊一声：

都闪开，让我来！

只见黄先生掏出名叫EMD的武器，对“疯狂的M”展开攻击，转眼间M被斩作几段：

被分解后的“疯狂的M”

黄先生说：

大家莫慌，所谓的疯狂的M（非平稳信号），不过是几个普通人（平稳信号）叠罗汉的恶作剧罢了。只要使用EMD就可以把他们分离开。不如把被分离开的这几个家伙叫做IMF（内涵模态分量 Intrinsic Mode Functions）吧。此时再对这几个IMF分量求瞬时频率就没大问题了

**关于EMD分解过程更详细的描述请看这里。

EMD分解结果

五、希尔伯特-黄变换（HHT）及其意义

为了纪念故事中两位老先生（Hilbert和Huang）的突出贡献，人们决定把“经过EMD分解出的IMF分量再经过Hilbert变换，最终得到信号瞬时频率和瞬时幅值”的方法叫做希尔伯特黄变换（HHT，Hilbert-Huang Transform）。

经过HHT的“疯狂的M”

话说回来，获得一个信号的HHT结果究竟有什么用呢？括号先森的理解是这样的：

HHT的结果反映的是信号的时频特征，即信号的频域特征随时间变化的规律。相对于傅里叶变化得到的是信号的频率组成，HHT还可以获取频率成分随时间的“变化”。比如我们要分析的信号代表的是一个性能迅速退化的发动机（假设信号表征是某些IMF分量的频率逐渐升高），使用HHT就可以对该现象进行很好的捕捉。
HHT可以对局部特征进行反映，这点主要得益于EMD的作用。EMD可以自适应地进行时频局部化分析，有效提取原信号的特征信息。
“分解”往往可以对应着“重构”，从HHT结果中选择出满足要求的特征分量并重组信号，有利于将关注的特征从复杂的混合信号中分离出来。

由于这些优点，HHT方法与短时傅里叶变换（STFT）和小波变换（wavelet）等方法共同成为了时频域分析界的重要手段。

尾声：不一样的声音

一切似乎已经尘埃落地，但实国的围观人群中又传来了不同的声音：

Hilbert变换只能用于窄带信号吧~ EMD分解有模态混叠和端点效应，我觉得还可以改进这个瞬时频率的定义我不同意！如果我想指定IMF分量个数要怎么做呢？ ...

大家持续热烈地讨论着，不过那就是另外几个故事了

欢迎关注我的公众号“看海的城堡”来看有趣的科普博文，会有更多有用的东西分享哦~

感觉有用的话点个赞再走吧^_^