时域离散随机信号的统计特性

文章目录

前言
一、概率描述
二、数字特征
三、平稳随机序列的功率谱
四、各态遍历性
五、功率谱密度
六、相关卷积定理
七、三种时间序列模型
总结

前言

本文的主要内容是时域离散随机信号统计特性的介绍，包括概率描述、数字特征、平稳随机序列的功率谱、各态遍历性、功率谱密度、相关卷积定理以及三种时间序列模型。

一、概率描述

时域离散随机信号：时间变量取离散值，而幅度取连续值的随机信号。
一维概率分布函数：

上式中的P表示概率。
一维概率密度函数：

概率密度函数就是概率分布函数的求导。概率分布函数就是概率密度函数的积分。
二维概率分布函数：

二维概率密度函数：

二、数字特征

概率密度函数、概率分布函数能对随机序列进行完整的描述, 但实际中往往无法得到，而数字特征容易测量和估计，所以随机序列常用数字特征进行描述，常用的数字特征有数学期望、方差和相关函数等。
数学期望(统计平均值)：

数学期望是n的函数，如果随机序列是平稳的，则数学期望是与n无关的常数。
均方值：

方差：

数学期望、均方值和方差三者的关系：

均方值和方差一般都是n的函数，对于平稳随机序列，它们是与n无关的常数。
自相关函数：

自协方差：

进一步化简该式：

互相关函数：

互协方差：

平稳随机序列： 如果随机信号的N维概率分布函数或N维概率密度函数与时间n的起始位置无关，即随机序列的统计特性不随时间的平移而发生变化，则称这类随机序列为平稳随机序列。
平稳随机序列的一维概率密度函数与时间无关，因此均值、方差和均方值均是与时间无关的常数。

二维概率密度函数仅决定于时间差，与起始时间无关，自相关函数与自协方差函数是时间差的函数。

两个各自平稳且联合平稳的随机序列, 其互相关函数为：

对于实平稳序列，自相关函数和自协方差函数是偶函数：

推导如下：

自相关在m=0时为均方值，如下。

在m趋于无穷大时，有：

如果两个随机信号的联合概率密度等于各自概率密度的乘积，则两个信号是统计独立的。
如果两个随机序列的互协方差恒等于零，则两个信号是统计不相关的。
统计独立一定意味着统计不相关。
如果两个随机序列的互相关函数恒等于零，则这两个信号是正交的。
例题分析：

三、平稳随机序列的功率谱

平稳随机序列是能量无限的功率信号，无法直接利用傅里叶变换进行分析。
随机序列的自相关函数随着时间差m的增大，趋近于随机序列均值的平方。
功率谱密度的计算如下：

以上两式也称维纳-辛钦定理。
随机序列的平均功率如下：

功率谱是w的偶函数，因此有：

对于互功率谱，也有以下等式成立：

四、各态遍历性

如果平稳随机序列的集合平均值与集合自相关函数值依概率趋于平稳随机序列样本函数的时间平均值与时间自相关函数，则称平稳随机序列具有各态遍历性。
时间平均值：

时间自相关函数：

如果满足下面的等式：

则平稳随机序列具有各态遍历性。

五、功率谱密度

输出自相关函数：

由于输出与n无关，故y(n)是平稳随机序列。

由上面的推导可知，线性系统输出的自相关函数等于输入的自相关函数与单位脉冲响应的自相关函数的卷积。
输出响应的功率谱密度函数：

输入输出互相关函数：

即输入输出互相关函数等于系统的单位脉冲响应与输入自相关函数的卷积。
输出功率谱和输入输出互功率谱如下。

六、相关卷积定理

卷积的相关等于相关的卷积。

例题分析如下。

七、三种时间序列模型

1.滑动平均模型(Moving Average)，简称MA模型。MA模型只有零点，没有除原点以外的极点，因此也称为全零点模型，如果模型全部零点都在单位圆内，则是一个最小相位系统，且模型是可逆的。

2.自回归模型(Autoregressive)，简称AR模型。AR模型只有极点，没有除原点以外的零点，因此该模型也称为全极点模型，只有当全部极点都在单位圆内部时，模型才稳定。

3.自回归-滑动平均模型，简称ARMA模型。分子部分称为MA部分，分母部分称为AR部分，这两部分无公共因子，应分别满足稳定性和可逆性的条件。

模型的适用情况： 一般AR模型适合表示时间序列的功率谱有尖峰而没有深谷的信号，MA模型适合表示功率谱有深谷而没有尖峰的信号，ARMA模型则适合尖峰和深谷都有的情况。

总结

以上就是时域离散随机信号统计特性的所有内容了，本文参考的课本是丁玉美数字信号处理-时域离散随机信号处理。