随机信号及其自相关函数和功率谱密度的MATLAB实现

引言：

现代信号分析中，对于常见的具有各态历经的平稳随机信号，不可能用清楚的数学关系式来描述，但可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。它是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。通过实验仿真可以直观地看出以下特性:(1)功率谱估计中的相关函数法和周期图法所得到的结果是一致的，其特点是离散性大，曲线粗糙，方差较大，但是分辨率较高。(2)平均周期图法和平滑平均周期图法的收敛性较好，曲线平滑，估计的结果方差较小，但是功率谱主瓣较宽，分辨率低。这是由于对随机序列的分段处理引起了长度有限所带来的Gibbs现象而造成的。(3)平滑平均周期图法与平均周期图法相比，谱估值比较平滑，但是分辨率较差。其原因是给每一段序列用适当的窗口函数加权后，在得到平滑的估计结果的同时，使功率谱的主瓣变宽，因此分辨率有所下降。

摘要：

功率谱估计(PSD)的功率谱,来讲都是重要的,是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典谱估计(非参数估计)和现代谱估计(参数估计)。前者的主要方法有BTPSD估计法和周期图法;后者的主要方法有最大熵谱分析法(AR模型法)、Pisarenko谐波分解法、Prony提取极点法、其Prony谱线分解法以及Capon最大似然法。中周期图法和AR模型法是用得较多且最具代表性的方法。

Matlab是目前极为流行的工程数学分析软件,在它的SignalProcessingToolbox中也对这两个方法提供了相应的工具函数,这为我们进行工程设计分析、理论学习提供了相当便捷的途径。

关键词：

随机信号 自相关系数 功率谱密度

实验原理:

随机信号X(t)是一个随时间变化的随机变量，将X(t)离散化，即以Ts对X(t)进行等间隔抽样，得到随机序列X(nTs),简化为X(n)。在实际工作中，对随机信号的描述主要是使用一、二阶的数字特征。如果X(n)的均值与时间n无关，其自相关函数Rx(n1,n2)与n1,n2的选取无关，而是依赖于n1,n2之差，即：

即称X(n)为宽平稳随机序列。宽平稳随机信号是一类重要的随机信号，实际中的大部分随机信号都可以认为是宽平稳的。

对一平稳序列X(n),如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一、二阶特性和单一样本函数在长时间内的统计特性一致，则称X(n)为各态历经序列。对于各态历经序列，可像确定性的功率信号那样定义一、二数字特征。

设X(n)是各台历经序列X(n)的一个函数，对X(n)数字特征可重新定义如下：

均值：

自相关函数：

自协方差函数：

具有各态历经的随机信号，由于能够使用单一的样本函数做时间平均，以求得均值和自相关函数，所以在分析和处理信号时比较方便。在实际工作中，往往先假定信号是平稳的，假定它是各态历经的。在此，我们不加说明地认为所讨论的信号都是平稳的和各态历经的，并将随机序列X(n)改为x(n)。

随机序列的功率谱密度定义为：

功率谱密度反映了信号的功率随频率的分布，在信号处理中占有重要的地位。然而，实际中由该定义式几乎不可能得到信号的真是功率谱密度，因此只能用所得到的有限长数据予以估计。

实验任务

编制MATLAB通用程序，估计一任意指定截止频率的高斯带通白噪声的自相关函数、自协方差函数以及功率谱密度。要求将图形窗口分割成4块，分别显示带通白噪声的时域信号以及自相关函数、协方差函数和功率谱密度函数曲线，并将所有图像添加栅格线和标题。

任务程序：

a=randn(2000,1);

wc=[0.45,0.65];N=79;window=blackman(N+1);

h=fir1(N,wc,window);

x=filter(h,1,a);

subplot(2,2,1),plot(x),title('时域信号'),grid on

[c,n]=xcorr(x,10,'coeff');

subplot(2,2,2),stem(n,c,'filled'),title('自相关函数'),grid on

[b,m]=xcov(x,10,'coeff');

subplot(2,2,3),stem(m,b,'filled'),title('协方差函数'),grid on

subplot(2,2,4),pwelch(x,33,32,[],500),title('概率密度函数'),grid on

波形如图：

实验总结：

通过这次学习，我知道了功率谱估计的实现有许多方法,也有很多具体的算法可以参阅。比如用rand和randn函数产生白噪声序列，还有用MATLAB语言产生随机信号和估计随机信号的自相关函数和功率谱密度，还