现代信号处理——平稳随机信号

一、平稳随机信号的定义

狭义（严）平稳随机序列：随机信号的统计特性（均值，方差，自相关，自协方差）不随时间平移而变化，这样的随机信号在实际生活中很难找到。

广义（宽）平稳随机序列：随机信号的均值和方差是常数，其相关函数与时间起点无关，仅是时间差的函数。

均值、方差和均方值均为常数：

自相关函数与自协方差函数是时间差的函数：时间差为m的函数

对于两个各自平稳且联合平稳的随机序列，其互相关函数为

如果对于所有的m，满足公式：rxy(m)=0，则称两个随机序列互为正交。

如果rxy(m)=E[x(n)y*(n-m)]=E[x(n)]E[y*(n-m)]，则称两个随机序列互不相关。

二、平稳随机信号相关函数的性质

（1）相关函数和协方差函数的对称性：

（2）rxx(0)数值上等于随机序列的平均功率：

(3）相关性随时间差的增大越来越弱：

例1：已知随机相位正弦波x(n)=Asin(w0n+θ)，其中A和w0为常数，θ为0~2π间均匀分布的随机变量，计算其均值与自相关函数。

上面的信号满足宽平稳随机信号的条件，因此该信号是宽平稳随机信号

三、平稳随机信号的各态遍历性

1、集合平均

由随机序列X（n)的无穷样本{xi(n)n=1,2,………,+oo}在相应时刻n对应相加来实现的。

由上可知，集合平均要求对大量的样本进行平均，实际中这种做法是不现实的。

2、时间平均

随机信号能进行时间平均的前提条件是：该信号是平稳随机序列；在观察的时间内，一个样本已经包含了整个随机信号的所有可能的取值

设x(n)是平稳随机序列X(n)的一条样本曲线，其时间平均值为

类似地，其时间自相关函数为

各态遍历性：对平稳随机信号，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性(集合平均）和单一样本函数在长时间内的统计特性(时间平均）一致，则称其为各态遍历信号。

直观理解：只要一个实现时间充分长的过程能够表现出各个实现的特征，就可以用一个样本来表示总体的特性。

例1：某随机信号的可能取值为{1,2，3，4，5}。以下是对它进行5次测量得到的样本。

对此随机信号的5个样本从纵向计算均值（集合平均）、从横向计算均值（样本平均）的结果都是3。因此，该信号具有各态遍历性。

例2:讨论随机相位正弦波x(n)=Asin(w0n+θ)是否具有各态遍历性，其中A和w0为常数，θ为0~2π间均匀分布的随机变量。

参考视频：

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