机械振动基础

一、简谐振动

简谐振动

（1）简谐运动的定义：

①动力学定义

物体受到线性恢复力作用：F=−kxF=-kxF=−kx

则：
md2xdt2=−kx令km=ω2d2xdt2+ω2x=0m\frac{d^2x}{dt^2}={-kx}\\ 令\frac{k}{m}=\omega^2\\ \frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0 mdt2d2x=−kx令mk=ω2dt2d2x+ω2x=0
②动力学方程定义

上式微分方程求解得到：
x=Acos(ωt+φ)，其中A和φ为常数x=Acos(\omega{t}+\varphi)，其中A和\varphi为常数 x=Acos(ωt+φ)，其中A和φ为常数
谐运动的振幅，周期，频率和相位

（1）振幅：物体离开平衡位置的最大距离；取正值，反应振动的强度，由初始状况决定

（2）周期和频率
周期：T=2πω=2πmk频率：v=1T=12πkm周期频率表示下的谐振动方程：x=Acos(2πTt+φ)=Acos(2πvt+φ)周期：T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt\frac{m}{k}\\ 频率：v=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\\ 周期频率表示下的谐振动方程：x=Acos(\frac{2\pi}{T}t+\varphi)=Acos(2\pi{v}t+\varphi) 周期：T=ω2π=2πkm频率：v=T1=2π1mk周期频率表示下的谐振动方程：x=Acos(T2πt+φ)=Acos(2πvt+φ)

（3）相位

ωt+φ\omega{t}+\varphiωt+φ称为相位，常量φ\varphiφ是t=0时的相位
时间：0→t相位：0→2π时间：0\rightarrow{t}\\ 相位：0\rightarrow{2\pi} 时间：0→t相位：0→2π
振动参量的确定

(1)ω,T,v\omega,T,vω,T,v：描写振动快慢的参量，由系统本身确定
弹簧振子：ω=km,T=2πmk单摆：ω=gl,T=2πlg复摆：ω=mglJ,T=2πJmgl弹簧振子：\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\\ 单摆：\omega=\sqrt{\frac{g}{l}},T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\\ 复摆：\omega=\sqrt{\frac{mgl}{J}},T=2\pi\sqrt{\frac{J}{mgl}} 弹簧振子：ω=mk,T=2πkm单摆：ω=lg,T=2πgl复摆：ω=Jmgl,T=2πmglJ
(2)A,φA,\varphiA,φ：描写振动状态，由初始条件决定
t=0时？{x0=?v0=?解出A和φt=0时？\begin{cases} x_0=?\\ v_0=?\\ \end{cases}\\ 解出A和\varphi t=0时？{x0=?v0=?解出A和φ
(3)推论：

若振动系统除了受弹性力外，还受一恒力作用，则系统的振动规律不变，但坐标原点要取在新的平衡位置上

上述振动均为简谐振动，周期和角速度相同
ω=km;T=2πmk\omega=\sqrt{\frac{k}{m}};T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} ω=mk;T=2πkm
但平衡位置改变。

谐振动的能量

E=Ek+Epx=Acos(ωt+φ)v=−Aωsin(ωt+φ)Ek=12mv2=12mA2ω2sin2(ωt+φ)Ep=12kx2=12kA2cos2(ωt+φ)ω=kmE=E_k+E_p\\ x=Acos(\omega t+\varphi)\\ v=-A\omega sin(\omega t+\varphi)\\ E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mA^2\omega^2sin^2(\omega t+\varphi)\\ E_p=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\varphi)\\ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} E=Ek+Epx=Acos(ωt+φ)v=−Aωsin(ωt+φ)Ek=21mv2=21mA2ω2sin2(ωt+φ)Ep=21kx2=21kA2cos2(ωt+φ)ω=mk

有上面推导可以得到：
E=Ek+Ep=12kA2E=E_k+E_p=\frac{1}{2}kA^2\\ E=Ek+Ep=21kA2
- E∝A2E∝A^2E∝A2在简谐运动中普遍成立
- 做一次全振动EkE_kEk和EpE_pEp转换2次（即：能量转换周期等于12\frac{1}{2}21振动周期）
- 在一个周期内，平均动能和平均势能相等
谐运动的旋转矢量表示法

作图和表示不再赘述，注意求时间时，用下面的公式即可：
2πT=ΔφΔt\frac{2\pi}{T}=\frac{\Delta{\varphi}}{\Delta{t}} T2π=ΔtΔφ

利用相差比较两振动（同频）的步调是否一致
x1=Acos(ωt+φ1)x2=Acos(ωt+φ2)x_1=Acos(\omega t+\varphi_1)\\ x_2=Acos(\omega t+\varphi_2)\\ x1=Acos(ωt+φ1)x2=Acos(ωt+φ2)

$$
(\omega t+\varphi_1)-(\omega t+\varphi_1)=\varphi_2-\varphi_1=
\begin{cases}
2k\pi
(2k+1)\pi

0，x_2比x_1
<0，x_2比x_1
\end{cases}
$$

弹簧的串并联

并联：k=k1+k2k=k_1+k_2k=k1+k2

串联：k=k1k2k1+k2k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}k=k1+k2k1k2

推论：n个相同的弹簧串联k=k0nk=\frac{k_0}{n}k=nk0

n个相同的弹簧并联：k=nk0k=nk_0k=nk0

几种常见的谐振动

(1)单摆
M=Jβ−mglsinθ=ml2d2θdt2∴d2θdt2+glθ=0令ω2=gl;则有θ=θAcos(ωt+φ)T=2πlg;θA为振幅，φ为初相M=J\beta\\ -mglsin\theta=ml^2\frac{d^2\theta}{dt^2}\\ ∴\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}{\theta}=0\\ 令\omega^2=\frac{g}{l};则有\theta=\theta_Acos(\omega t+\varphi)\\ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}};\theta_A为振幅，\varphi为初相 M=Jβ−mglsinθ=ml2dt2d2θ∴dt2d2θ+lgθ=0令ω2=lg;则有θ=θAcos(ωt+φ)T=2πgl;θA为振幅，φ为初相
(2)复摆（物理摆）

二、谐运动的合成

两列波相遇，相遇区域的任意质点的振动是二振动的叠加

1、同方向，同频率的谐振动的合成

同方向指的是：同在x(y)轴上振动；

任意时刻，两个振动的位移分别是：
x1=A1cos(ωt+φ1)x2=A2cos(ωt+φ2)x=x1+x2x_1=A_1cos(\omega t+\varphi_1)\\ x_2=A_2cos(\omega t+\varphi_2)\\ x=x_1+x_2 x1=A1cos(ωt+φ1)x2=A2cos(ωt+φ2)x=x1+x2
经过变量替换后得到：
x=Acos(ωt+φ)x=Acos(\omega t+\varphi) x=Acos(ωt+φ)
振幅和相位变换：
A=A12+A22+2A1A2(cosφ2−cosφ1)φ=arctanA1sinφ1+A2sinφ2A1cosφ1+A2cosφ2ω不变A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2(cos\varphi_2-cos\varphi_1)}\\ \varphi=arctan\frac{A_1sin\varphi_1+A_2sin\varphi_2}{A_1cos\varphi_1+A_2cos\varphi_2}\\ \omega不变 A=A12+A22+2A1A2(cosφ2−cosφ1)φ=arctanA1cosφ1+A2cosφ2A1sinφ1+A2sinφ2ω不变

当Δφ={2kπ时：同相合成A=A1+A2(2K+1)π时：反相合成A=∣A1−A2∣当\Delta\varphi=\begin{cases} 2k\pi时：同相合成A=A_1+A_2\\ (2K+1)\pi时：反相合成A=|A_1-A_2|\\ \end{cases} 当Δφ={2kπ时：同相合成A=A1+A2(2K+1)π时：反相合成A=∣A1−A2∣

2.同方向不同频率的谐振动合成

(1)一般情况
x1=A1cos(ω1t+φ)x2=A2cos(ω2t+φ)设A0=A1=A2;φ1=φ2=0(不影响结果的普适性)x=x1+x2=2A0cos(ω2−ω12)t⋅cos(ω2+ω12)t一般情况下不具有周期性，不是谐振动x_1=A_1cos(\omega_1 t+\varphi)\\ x_2=A_2cos(\omega_2 t+\varphi)\\ 设A_0=A_1=A_2;\varphi_1=\varphi_2=0(不影响结果的普适性)\\ x=x_1+x_2=2A_0cos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2})t·cos(\frac{\omega_2+\omega_1}{2})t\\ 一般情况下不具有周期性，不是谐振动 x1=A1cos(ω1t+φ)x2=A2cos(ω2t+φ)设A0=A1=A2;φ1=φ2=0(不影响结果的普适性)x=x1+x2=2A0cos(2ω2−ω1)t⋅cos(2ω2+ω1)t一般情况下不具有周期性，不是谐振动
(2)特例：拍

当∣ω2−ω1∣<<ω1+ω2|\omega_2-\omega_1|<<\omega_1+\omega_2∣ω2−ω1∣<<ω1+ω2时，相减的那一项很缓慢。我们将振动方程变化为：
A=∣2A1cos12(ω2−ω1)t∣x=Acos(ω1+ω22)tA=|2A_1cos\frac{1}{2}(\omega_2-\omega_1)t|\\ x=Acos(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})t A=∣2A1cos21(ω2−ω1)t∣x=Acos(2ω1+ω2)t
所以：
合振动振幅：Amax=2A0合振动的圆频率：ω=ω1+ω22合振动振幅：A_{max}=2A_0\\ 合振动的圆频率：\omega=\frac{\omega_1+\omega_2}{2} 合振动振幅：Amax=2A0合振动的圆频率：ω=2ω1+ω2
拍频 : 单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即
v=∣(ω2−ω1)/2π∣=∣v2−v1∣v=|(\omega_2-\omega_1)/2\pi|=|v_2-v_1| v=∣(ω2−ω1)/2π∣=∣v2−v1∣

3、相互垂直的谐振动的合成

(1)初相差Δφ\Delta\varphiΔφ为0，同相合成
x=Asinωty=Bsinωtx=Asin\omega t\\ y=Bsin\omega t\\ x=Asinωty=Bsinωt
轨迹方程：y=BAxy=\frac{B}{A}xy=ABx

(2)初相差Δφ\Delta\varphiΔφ为π\piπ，反相合成
x=Asinωty=Bsin(ωt+π)x=Asin\omega t\\ y=Bsin(\omega t+\pi)\\ x=Asinωty=Bsin(ωt+π)
(3)初相差为π2\frac{\pi}{2}2π时，轨迹为一椭圆，顺时针转，初始位置在（0,B）

(4)初相差为−π2-\frac{\pi}{2}−2π时，轨迹为一椭圆，逆时针转,初始位置在(0,-B)

4、互相垂直频率不同的谐振动的合成

x=Asinωty=Bsin(ωt+π)x=Asin\omega t\\ y=Bsin(\omega t+\pi)\\ x=Asinωty=Bsin(ωt+π)
(3)初相差为π2\frac{\pi}{2}2π时，轨迹为一椭圆，顺时针转，初始位置在（0,B）

(4)初相差为−π2-\frac{\pi}{2}−2π时，轨迹为一椭圆，逆时针转,初始位置在(0,-B)

4、互相垂直频率不同的谐振动的合成

横、纵边切点数比=纵、横方向振动频率之比

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