高等数学笔记:关于等价无穷小替换的一个猜想
关于等价无穷小替换的一个猜想
对于求极限问题,如果我们通过强行拼凑被加被减项来构造等价无穷小(也就是,多加了给它减掉,多减了给它加上)。然后应用常规的等价无穷小无脑替换(甚至不考虑精度问题):如果所求得的结果不是 0 0 0 或者 ± ∞ \pm\infty ±∞,那么这个结果是正确的。
实际上,当我们应用譬如武忠祥老师给出的极限运算加减法(有条件的无穷小替换)时,通常不会考虑精度控制,或者无形之间可以感到我们进行的替换不会超出精度。这个猜想的灵感也来源于此。
笔者通过多个例题验证,结果都是正确的,这个猜想暂时没有被推翻。下面尝试进行一定的解释。
我们知道,等价无穷小替换的本质是泰勒公式展开式。等价代表了在一定场景下它们的高阶无穷小可以忽略。也就是说,当加减号旁边的项被替换时,如果构成了同号相加(正 + 正/负 + 负),此时高阶无穷小一定不会被抵消,那么精度可以保证。而当构成异号相加(或者也是同号相减),那么此时高阶无穷小可能就被减掉了,但是不同函数的高阶无穷小是不一定相等的。就发生了错误。
而如果我们算得的极限是一个非零任意常数,那么就很有可能从结果上规避了高阶无穷小被消解。因为极限存在且非零意味着分子分母是同阶无穷小,那么分子上函数的高阶无穷小一定也是分母的高阶无穷小,那么高阶无穷小无论怎么运算或者直接舍弃,对结果都无影响。
当然,以上只是做题过程中个人的一点想法,可能结论是错误的。敬请指正。
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