高等数学复习之导数的运算（等价无穷小替换）

之前其实是看了几遍了，但一遇到做题还是犯晕，导数有何运算法则呢？和积分公式一样，需要常看看。

1、基本初等函数的求导公式，详见《积分与导数公式记忆》

导数公式的推导用到了函数求极限有些是用等价无穷小替换的，如

何谓无穷小呢？指的是极限为0的变量，可以是序列也可以是函数。

常用的无穷小量替换？？

以下的量都指的是x→0的情况，明显它们都是无穷小量。要说明的是不要狭隘地就认为x只可以是x，它指代的是无穷小量。

第一组等价无穷小替换：

arcsinx∼sinx∼tanx~x，这是我们使用最多，最常见的等价无穷小替换。

第二组等价无穷小替换：

$(1+x)^{a}-1$ ∼ αx(α≠0),如果看见 $(1+x)^{a}$ 的形式，就很可能要用这种等价无穷小替换了,要注意负指数幂和分数指数幂也要看出来，如： $\sqrt{(1+x)}$ -1 ~ $\frac{1}{2}$ * x

第三组等价无穷小替换：

$e^{x}-1 \sim$ x∼ln(x+1)，这个等价无穷小变换也是可以经常见到的。

另外还有其它的一些常用等价无穷小代换，可以用上面三种替换或者用泰勒展开式来得到。如：1−cosx∼ $\frac{1}{2}X^{2}$ ，理由是1−cosx= $2\sin (\frac{x}{2})^{2}$ ∼ $\frac{1}{2}X^{2}$ $a^{x}-1$ ~ xlna,理由是： $a^{x}-1$ = $e^{xlna}$ -1~ xlna

2、导数的四则运算法则

加减求导法则：和差的导数等于导数的和差。

乘法求导：,，由乘法可以得出：

商求导：，分母是V的平方，分子是乘积形式，符号为负。

3、反函数的求导法则

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。如：

4、复合函数的求导法则，最为重要，一定要掌握

,等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.（链式法则）定义如下：

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