直观解释-小波变换(一)
小波三特点:一小、二波、三速降 图1中给出了典型的小波,1号中规中矩、3号像白鹤亮翅,正视着读者;4号是哈尔小波,体型方头方脚,尺度有胖有瘦;5号是墨西哥草帽,漂亮且对称。
从外形看,它们像一粒珍珠落入了九寨沟那湖面如镜的镜湖,动静不大而信息丰富;首次冲击之后,激起的涟漪随时间很快地渐行渐小。这里说“像”而不用“是”,是因为有两个物理对象:(a)中心点的上下振动随时间变化的曲线图,它在人的想像中(可视为小波);(b)水面波,由周围的质点振动形成,且传递能量,可被视觉感知;因为前者是后者的原因,所以波形相像。特征可描述为: 一小、二波(有正有负,有起有落)、三速降。这些特性确保了小波分析的局部性,后两条还保证了在无穷区间上积分收敛,有如数学上的交错级数,有正有负,而绝对值渐行渐小,级数和不会无穷大。
下面给出一些类比的例子,与小波相比,事虽不同,但哲理同;旨在说明采用有语义、有内涵的坐标基,可以描述比较复杂的对象。下面由浅入深地表述。
几何坐标基底简单但缺乏语义 解析几何中,在直角坐标系 X,Y,Z轴正方向上,各选一个单位向量,记为 i,j,k, 向量 V=a*i+b*j+c*k,对应从原点指向(a,b,c)那一点的向量。
在等式两边点乘k, 立刻得到 V*k=c; 坐标值c即v在k上的投影的长度。(a,b也有类似意义),计算、存储和信息交换都很方便。
但是,这可能误导初学者, 以为单位向量都是那么抽象、那么简单、没有内部结构、也没有语义。
带语义的7维象棋空间 中国象棋讲究“势”和“力”, “势”由棋子类型及其位置的综合表达,“力”是一个7维向量,(红方的)向量基底是<帅,仕,相, 车,马,炮,兵>。向量(1,2,2,2,2,2,5)表示开局时红方16个棋子的全部力量。中国象棋中,子型不能变换,所以各维度可视为正交,而向量(1,1,0,1,0,0,0,0)就表示只剩下一帅,一仕,一 车的残局了。此例中,单位向量有一点语义了。
人生追求的坐标系 考虑描述理想与追求的多维空间,设有坐标基底( 土地(亩),牛,炕,车,房,妻子,儿子,职称,论文,成果,….),则向量(30,1,1,0,0,1,1,0,0,….)就表示了“三十亩地一头牛….”的那种低标准追求,…..
音乐的合成与分解 一场有众多乐器的合奏,在菜鸟耳中,也许只是一个好听的波W。而乐队指挥或骨灰级的发烧友能够准确地把W按音色个性分解,例如,分解出W= 1*钢琴+3*提琴+1*长号+1*黑管+… ,在排练时,谁出了一点小错,都逃不过乐队指挥那明察秋毫的耳朵。
这是以复杂对象(如钢琴,提琴,长号 等)为基元的分解,而不是傅里叶分解,傅里叶分解的基本单元是没有音色个性的Sin(ωt), Cos(ωt)。 w好像一盘东北农家名菜“大丰收”,而傅里叶分解把他们全磨成了带有频率标记的粉末,打乱后,再按频率标记分堆;已经品尝不到玉米、土豆、花生的单独的味道了。
用墨西哥草帽小波来做基向量。设有三个两两正交墨西哥草帽波U,V,W;根据其外形,依次给绰号为:胖帽,中帽和瘦帽。
不难造一个波 Y=3*U+4*V+5*W ,即 Y可以由三个胖帽,4个中帽,和5瘦帽来合成。Y的形状比较复杂,普通人看到Y,难知其配方,好像按秘方配制的云南白药。而分解成3*U+4*V+5*W之后。就容易描述、分析、复制或重建了,下面是一个应用。
由解析几何常识,正交的基向量能使表达简单,怎样寻找正交的小波基呢:方法之一是:
时间平移创造正交 下图中有4个尺度一样的但带不同时间平移的Harr小波,现说明他们是正交的。
两个 函数U(t),V(t)的向量内积 U*V= |U|*|V|cos(α) = ∫U(t)V(t) dt (在一定的积分限上)
如果内积为0,表示α为直角, 称两函数(向量)正交或无关(没有缘分)。
看他们都长得端庄方正,似乎有缘,由于巧妙的延时,它们约会作内积时,你不为零我为零,我不为零你为零,总是相错,即使相约无穷长时间,内积还是为0;那匍匐在横轴上的长长尾巴,就像一声长叹:实在是有缘无分。易见,上面4个向量是两两正交的。
其他类型的小波要复杂一些。大致情况是:在适当的时移之下,两个小波的主部在时间上错开,而次要部分的绝对值渐行渐小,又正负抵消,以至内积为零,当然,有了直观启示后,这需要严格的数学计算。
所以,用适当的时移可以创造正交的向量集。
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