直观解释-小波变换（二）

　1 常说尺度,而少说频率 小波就像优秀跳水运动员激起的水面昙花，涌现第一波，就很快消散了，衡量跳水运动的压水花的水平，用尺度显然比频率合适。（这里说“像”，而非“是”，请参见上文中在珍珠入水那一段的补充解释，也谢谢评论14的建议）。
　　
　　　设墨西哥草帽小波的函数为y=f(t/a),
　　　则 a=1/4时 , y=f(4t)，绰号瘦草帽; a=1/2 时，y=f(2t)，绰号中草帽;
　　　a=1时， y=f(t), 绰号胖草帽， a= 2 时，y=f(t/2),是超胖草帽…
　　　这里的a 称为尺度（scale），尺度越大体型越胖，符合直观。

幽默是机智、知识和心态的综合，学过小波的的同学开起玩笑也玩新概念，看见胖子来了，说：“Wow! How big Scale”(好大的尺度)，而不说“好低的频率”。
　　　直观地，小波中至少有一次“一正一负”的波动，尺度越小，波动的频率越高，尺度与频率是有关的。暂时保留这个美好的悬念，留到第3小节解释。
　　
2 小波和2^k倍尺度小波正交 仅以K=1来说明思想。下图中，有两个Harr小波, f(t)的尺度是g(t)的尺度的两倍.

　考察f(t)和g(t)的约会，相约在老地方--内积平台。
　f(t)在[0.2b]上心态平和，始终取+1，在t>4b时，f(t)=0。
　g(t)的情绪不稳定，在[0, b]上阳光灿烂（+1），在[b,2b]突然由晴转阴，取值（-1），t>2b时沉默不语，g(x)=0，
　f(t)g(t)在[0.b]上为正，在[b,2b]上为负, 正负相抵,这样的约会当然没有结果; 于是，

      内积∫f(x)g(x)dt=0，它们有缘无分。
　其他形状的小波复杂一些，需用严格的数学推导，但哲理相同。
　　
3 尺度怎样联系频率 把Harr 波的波形拓扑地变成正弦波。得到如下的分段定义函数
      F(t)=sin(ωt)   当ωt 在[0,2π]中
      F(t)=0        其他情形
1/ω是上述分段函数的尺度，而ω是正宗sin(ωt)在无限区间上的频率，这大致说明了尺度越小，对应于频率越高。
　　奇怪的是，在小波列表中没有这个函数，这里仅仅借用它在直观上说明尺度和频率的联系。不妨把它称为伪小波。之所以说“伪”，是因为按正宗做法，从母函数克隆出正交基时，需要要用平移、伸缩和加减法运算。虽然这个伪小波在适当的平移或倍频变换下，也可以造出正交波；但作加减法时候，要用到三角函数的和差化积，或积化和差，这里就出问题了；做一点改造，把sin(ωt)换成sin(πt)/πt,就构成了Shannon小波的父小波，深刻的道理请数学专家来解释。

   既然尺度联系上了频率和正交，下面暂时偏离小波片刻，说说与频率正交相关的趣事。
4 男女声合唱与声波的正交。下面是C调的音阶 1,2,3,4,5,6,7与频率表：（Hz)

       ================================================================================
       唱名         dou      ruai     mi        fa        sou       la      xi     dou(高)
       计算数值    261.63  293.66    329.61    349.23    391.80   439.77   493.6    523.26　

==================================================================================

注意, 2*261.63= 523.26；即，C调的高音dou之频率是（标准）dou之频率的2倍。
　　事实上，2的12次方根 d=1.0594630，以d为公比，做一个等比级数 ,a₁, a₂,…, a₁₂，
　　首项是C调的 dou为a₁=261.63, 而a₁₂=523.26 是高音Dou的频率，这就是十二平均音阶，是中国明代音乐理论家兼数学家朱载堉（公元1536-1610年）发明（发现？）的。

    上述等比级数中，  a_i+1比a_i高半个音，音乐中加进适当的半音，常使旋律优美欢快。曾经听到过一首歌《新疆故事》，居然在sou上也升半个音，比较少见，挺好听。　　
　　4.1 一条坏消息考虑两个单位向量波 u(t), v(t)。 u在v上的投影分量为 (u.v)v, 这就是u对v的干扰。设u,v两人一起唱歌，如果u唱跑了调，声音又大 (歌厅中常见的一道风景线)，而v的定力不够强，或者是跟着跑调，或者就停唱了。
　　当然，这种干扰也不是全是坏处，从17世纪起，人们就发现音频之间适当的互相干预可能产生好听的和声（包括和弦与和声进行），作为菜鸟，只觉得唱和声的歌手特别不容易，需要定力特别强，这一主题要请声学专家或音乐家来做科普了。
　　4.2 一条好消息  设男女声合唱时，旋律一样，但女声高8度，则女声频率刚好是男声频率的2倍。上面的分析表明，两者互相正交，所以只要都唱对了旋律，就不会互相干扰；还有一种解释，如果作谐波分析，女声的谐波刚好是男声的偶次谐波，女声加强了男声中本来就有、但幅度较小的偶次谐波成分，所以不会互相干扰，听起来很和谐，请这方面的专家来指正和解释。
　　4.3 朱载堉如何发明十二平均音阶  明代的朱载堉虽然是数学家，但考虑到他逝世后33年（即1643年），牛顿才出生，估计他不懂关于弦振动的偏微分方程，没有频率检测仪器，也不懂波的正交，他是怎样发明（发现）音阶十二平均律的呢？有两点猜测:

(a)在合奏时，在固定张力下，把琴弦缩短一倍，得到的高8度旋律，发现它与中8度旋律听起来很和谐，这属于发现；

（b)按压琴弦时，按 1.0594:1 的比例来缩短琴弦（升高半个音），比较适合手指头的分辨率，这也能解释在拉二胡或提琴时，各“把”（例如中八度和高八度）中，升半音需缩短琴弦的绝对长度是不一样的，但有一个不变量，即各音阶所对应的弦长之间的公比，在自然规律的基础上制定了规范，这属于发明。

多做些实验，把不同的琴弦长度、聆听感觉等，记录下来，再手工做一下数据挖掘，就能得到规律了。朱载堉是否这样挖掘出来的？这里的猜测权当戏谈。

　　Now ,言归正传。
5 构造小波正交标准基
　　前面解释了“适当“的平移和 “适当”的缩放可以创造正交的机会。 “适当”二字中包括向量间的正交性，整个集合的完备性（不缺少）和无冗性，也包含了数学家们的闪光智慧和一言难尽的酸甜苦辣。
　　下面的集合就是一个harr小波正交基　　

　6 小波基的完备性。上面的小波基的完备性是靠人海战术完成的，例如j=3, 缩小到1/8的尺度，就有8个这样瘦波，他们依次平移，挨个儿塞满了那个[0,1]区间。为了下面的方便，给前面几个基向量取一些夸张的绰号：
　　J=0,只有一个，取名冬瓜（尺度最大）用汉语拼音首字母，记为D
　　J=1, 有两个，取名土豆，用汉语拼音首字母，记为T₁, T₂
　　J=2 ,有4个。取名芝麻, 用汉语拼音首字母，记为 Z₁, Z₂, Z₃, Z₄.

7 观察波形的显微镜
7.1朴素丈量原理。朴素的丈量，是用一个做标准的尺元，去匹配对象，看对象是尺元的多少个整数倍，这要求尺元比对象小，学生尺最小单位是1mm,则不能精确测量小于1mm对象。“百步穿杨”就是用“步”度量长度，如果长征时有现在的健身用的计步器，则对万水千山的长征历程的丈量可以精确到“步”。红歌“红军鞋”中唱到 “红军鞋是我的量天尺，穿上它，万水千山也能量完”，不但意境美，旋律美，也符合测度原理。
7.2 焦点访谈：关注波形局部性质。考虑下图的波形中小方框里的那段波形W的构造，太小了，看不清楚，怎样做适当的“放大”呢？，如果是社会问题，央视会派一个记者组，去做一次焦点访谈。访谈常讲究地位匹配：小人物由小记者采访，大人物由大记者采访，如央视的水均益常作高端人物访谈节目，数学的焦点访谈也讲究尺度匹配。　　

　　用第5小节的小波基（冬瓜、土豆、芝麻波等）去丈量它。小波基中有无穷个元素，一般只要前面的一部分组成焦点访谈采访组，就可以达到足够精度。把小波基平移到待观察的小方框的中间的横坐标处，让W在小波基上分解。假定结果为 W= 7*Z₁+2*T₂ ，这说明:
　　（1）W 与冬瓜波正交（无关），（大尺不量小对象）；
　　（2）注意芝麻波在[0，1]区间中位置，Z₁是四个芝麻波最左边的一个，Z₂向右边平移了一点，Z4最靠右边.同理，在[0，1]区间中，土豆波T₁靠左，T₂靠右；所以，从假定 W= 7*Z₁+2*T₂得知W的左边部分是芝麻波Z1在纵向上放大了7倍，而右边部分由土豆波T₂在纵向上放大了2倍。
　　（3）Z₁中有一上一下的波动，其尺寸比较小，用它做尺子，匹配对象的上下波动就比较快，所以W的左边有芝麻波的较高频率；而右边部分与土豆波2*T₂匹配，有土豆波的上下波动频率。这就从数学上比较精确地描述了对象的局部性质，也符合直观的观察，左边部分波动剧烈一些，右边平缓一些。（注意，图只是个示意，上面的图不符合那个假定）

　小波基中有尺度从大到小的无穷个基小波，再小的对象，也有一款适合它。这是否达到了“显微”的目标？
　　
　　需要说明，笔者没有专门讲授过小波课程，在数据挖掘中有一章有基于小波的数据挖掘，为了回答学生关于“数据挖掘+小波”的问题，和学生一起学小波，一起讨论小波，做了一些直观解释。比喻和解释不能取代严密的推理和艰苦的学习。
　　疏漏之处，请专家指正。

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