复数的绝对值

复数的极坐标形式的直观解释练习

复数的绝对值

已知复数 $3-4i$ ，我把它在复平面上标出来了：

实部是3，也就是实轴上标注3，虚部是-4，纵轴向下4，这就是已知复数点 $3-4i$ ，我们要求的是 $\left | 3-4i \right |$ 。不管是实数绝对值，还是复数绝对值，就是这点在坐标平面上到原点的距离，那么 $3-4i$ 的绝对值就等于 $3-4i$ 这一点在复平面上的位置到原点的距离：

那么橙色这一段就是 $3-4i$ 的绝对值，这段距离要怎么求？我们可以找到一个直角三角形然后用勾股定理来求，大家看，要建立一个直角三角形的话，这段距离，从0到-4，所以距离是4。

直角三角形的底边，从0到3，距离就是3，这就是直角：

这条边是水平的，红色边是垂直的，下面可以用勾股定理来求 $\left | 3-4i \right |$ 了，这点到原点的距离就是直角三角形的斜边长度，那么借助勾股定理，两直角边的平方：

$3^2+4^2=\left | 3-4i \right |^2=25$

刚已经说过了，绝对值就是求距离，绝对值一定是正值（至少是非负值），所以等式两边开平方，取正平方根，取正平方根的话，25开平方是5：

$\left | 3-4i \right |=5$

或者这么说，这段距离就是5，这个长度是5，好，假设我们没有画图，还有一种直接的计算方法。当然，实虚部还是已知的，我们可以把实虚分别平方，加和，然后开平方。如果大家不想画图看一下，可以直接这么做，实际刚刚我们也是这么算的。

我们来做一下：实部平方虚部平方加和，然后开平方：

$\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$

复数的极坐标形式的直观解释练习

题目要求我们调整橙色复数的模和角度，也就是图中的橙色的点：

来跟蓝色的复数点 $-3.5+6.06i$ 重合，也就是这个点，要弄明白这个坐标，我们先标一下坐标轴，纵轴是虚轴，横轴是实轴，蓝色复数，实部为3.5，这个我们已经在复平面上做出来了，虚部是6.06。很明显，题目的作图方式是极坐标的方式，同时告诉我们，可以调整复数的角度，极坐标中复数的角度，我们通常称作辅角，半径叫做模，下面我们来调整一下橙色点的位置。

大家看，如果增大半径，点就会外延，

而增大角度的话，比如3/π，

在增大成π/2：

直接变成2π/3。这样的复数的角度就对了，只要再增大半径就可以重合了：

好的，重合时半径是7，角度是2π/3，下面来看，这个橙色点的复数是否就等于题目给的复数，橙色的点复数不仅在直角坐标系中，在具有实虚轴的复平面也表示了，下面我们来演算一下，我们来验证一下两个复数是不是相等的。

那么，这个辅角，在复平面中，这个角，我们一般用 $\phi$ 代表， $\phi=2\pi /3$ ：

这个角度是弧度制的，模，就是指原点到该点的长度，通过这个工具，我们知道这个长度是7，

下面来验证一下，这个复数确实等于 $-3.5+6.06i$ ，这个点的位置，模是7，辅角已知，可以用7乘以e的辅角次方表示：

$7e^\frac{2\pi i}{3}$

而根据欧拉公式，欧拉公式是数学史上非常著名非常有用的公式，这就等于：

$7(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})$

确实，这里系统写的复数与我们得到的一致。下面来求 $cos\frac{2\pi}{3}$ 和 $sin\frac{2\pi}{3}$ 分别等于多少。

既然要求某个角的正余弦，不可避免我们要想到单位圆，角度是 $\frac{2\pi}{3}$ ，我先画一个单位圆，希望大家不要把直角坐标系和刚我们研究的极坐标系混淆了，这不是极坐标系，因为表示的不是复数，这就是我们之前介绍过的单位圆，这是x轴，y轴：

$2\pi /3$ 也就是120°，有点类似左边极坐标的表示，这个角度 $2\pi /3$ 。

$cos\frac{2\pi}{3}$ 就是单位圆上这点的x坐标，

$sin\frac{2\pi}{3}$ 就是单位圆上这点的y坐标，

x坐标是什么呢？这个角度120°的话，这个角就是60°。

所以这是有30-60度角的特殊直角三角形，因为这是单位圆，所以半径就是1，30度角的对边就是斜边的一半，也就是1/2：

所以这个坐标是-1/2，而60度角的对边就是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，所以这个距离是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，大家可以在计算器上算一下：

$cos\frac{2\pi}{3}=-1/2$

根据我们找到的条件，那么得出：

$7(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})$

来看这个复数是不是等于题目给的复数：

$7(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})= -3.5+\frac{7\sqrt{3}}{2}i$

实部是相同的，都是-3.5，下面用计算器计算一下 $\frac{7\sqrt{3}}{2}$ ，虚部是不是在6.06左右，经过计算之后，确实等于6.06。得到的复数确实约等于 $-3.5+6.06i$ 。跟题目给的信息一致的。

——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。

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