点到超平面的距离简单证明

这是一个简单的问题，定义如下:

设， y ( X ) = W T X + b , X ∈ R n , b ∈ R y(X) = W^TX +b, X \in R^n,b \in R y(X)=WTX+b,X∈Rn,b∈R, 是一个 affine function(这个不重要，是个函数就行),超平面为 h : W T X + b = 0 h:W^TX +b=0 h:WTX+b=0, 证明: R n R^n Rn 中任意一点 X X X 到 h h h 的距离为 ∣ y ( X ) ∣ ∣ ∣ W ∣ ∣ \frac{|y(X)|}{||W||} ∣∣W∣∣∣y(X)∣

证明：

如图:

在超平面上任意取一点 X ′ , s . t . y ( X ′ ) = 0 X',s.t. y(X')=0 X′,s.t.y(X′)=0
距离

d = ∣ ∣ ( X ′ − X ) ∣ ∣ cos ⁡ α = ∣ W T ( X ′ − X ) ∣ ∣ ∣ W ∣ ∣ = ∣ W T X ′ + b − ( W T X + b ) ∣ ∣ ∣ W ∣ ∣ = ∣ y ( X ) ∣ ∣ ∣ W ∣ ∣ \begin{aligned} d&= ||(X'-X)||\cos \alpha \\ &=\frac{|W^T(X'-X)|}{||W||}\\ &=\frac{|W^TX'+b - (W^TX+b)|}{||W||}\\ &=\frac{|y(X)|}{||W||} \end{aligned} d=∣∣(X′−X)∣∣cosα=∣∣W∣∣∣WT(X′−X)∣=∣∣W∣∣∣WTX′+b−(WTX+b)∣=∣∣W∣∣∣y(X)∣

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转载博客: https://blog.csdn.net/deecheanW/article/details/89057405
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