《数学建模算法与应用》方法概述

#《数学建模算法与应用》方法概述

序言：学习司守奎《数学建模算法与应用》第2版过程中，给出一个内容的提纲，希望可以在回忆复习时快速建立知识结构。包含了数学建模所需用到的一些方法和常见问题类型。
本文仅仅建立一个学习过程中的知识框图，后续会将具体算法理解与Matlab实践整理出来。
其中前半部分“方法类”为一些常用数学建模方法，单独拿出来介绍
后半部分为总结的“问题类”，主要为规划、分类、优化、评价和预测，也总结了网络类和图像处理类问题

—————— 方法类 ——————

一、Matlab求解规划类和极值问题

数学规划为在约束条件下追求效益而做的安排。
Matlab知识负责实现数学计算，目标函数和约束条件还是需要自己去寻找关系建立方程。
多目标规划：针对多目标，加权系数法和优先等级法。

二、插值和拟合

根据一组数据构造一个函数作为近似
插值曲线要过数据点，拟合曲线整体效果更好。

三、偏最小二乘回归分析

一般研究两组变量间的相互关系

四、微分方程

需要了解研究问题领域相关规律
规律列方程——>Matlab求解微分方程

五、数理统计（需对概率论很熟悉）

利用样本来估计总体时，需要数理统计
参数估计、假设检验 ——> 方差分析、回归分析
Bootstrap扩充样本

六、时间序列

通过构造过去的时间序列并处理来研究其变化规律

移动平均法：直接平均
指数平滑法：加权平均
差分指数平滑法：增量的加权平均
季节性时间序列预测：对季节求系数

ARMA（自回归移动平均序列）构建及预报

七、支持向量机

找到一个超平面，使得其尽可能多地将两类数据点分开
线性可分SVM、线性SVM、可分SVM

—————— 问题类 ——————

一、规划类

寻找目标函数和约束条件 ——> Matlab求解

二、多元分析类（分类、聚类和相关性分析）

（主要是针对多个变量的统计分析）

聚类分析
对样本的Q型聚类
对指标的R型聚类
（利用相似距离进行聚类）
主成分分析
将多个指标转化为少数几个不相关的综合指标
标准化 -> 相关系数矩阵 -> 特征值和特征向量 -> 组成新指标 -> 选取主成分 -> 得到贡献率
因子分析
类似主成分分析，但通过计算初等载荷矩阵选择主因子
判别分析
利用统计方法根据研究个体的观测指标进行归类
典型相关分析
研究两组变量间的相关方法。
思想：分别找出两组变量的各自的某个线性组合，讨论之间相关关系。
对应分析
R-Q型因子分析，在同一因子平面上对变量和样本一块进行分类。
行点和列点用同一二维关系表示，绘于同一散布图。
多维标度法
在指标个数和本身不清晰，仅知道客体间某种距离情况下，研究客体间的结构关系。

三、优化类

求组合优化问题的全局最优解。不断迭代产生新解直到最优。

模拟退火：“状态转换”
遗传算法：“逐代进化”
改进遗传算法

区别：产生新解方式不同

四、评价类（评价与决策）

（关键点在确定评价指标的权重上）

理想解法（TOPSIS法）
找出虚拟正理想解和负理想解，测距找最优
模糊综合评价法
针对考核指标难以量化，以等级制解决。可以多层次评判，权重主观。
数据包络分析
多指标输入和多指标输出。（针对发展情况的评价较为方便）
无需假设权重
灰度关联分析（主观）
计算评价对象和评价标准的关联系数及关联度
主成分分析
指标转化，利用特征值和特征向量
秩和比综合评价法
利用秩和比进行优劣排序

五、预测类

微分方程预测模型
基于相关原理规律的因果预测法，大多为物理和几何方面。
灰度预测
不仅利用原始数据序列，而且对原始数据做累加或其它处理得到近似的指数规律再进行建模
差分方程
（解得问题觉得更像高中应用题）
马尔可夫预测
系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去历史无直接关系
时间序列（根据趋势进行预测）
通过构造过去的时间序列并处理来研究其变化规律
插值和拟合（根据趋势进行预测）
根据一组数据构造一个函数作为近似
插值曲线要过数据点，拟合曲线整体效果更好。
神经元网络（根据参数预测）
BP神经网络：反馈式地不断调整学习参数。
BPF神经网络：把网络看成对未知函数的逼近

六、图与网络类

对于图与网络模型，无论是什么情景，方法总逃不出以下内容

1、最短路问题

Dijkstra算法：单源最短路
Floyd算法：任意两点间的最短路

2、最小生成树

加边
加点

3、最大流、最小费用流

4、旅行商问题
改良圈算法

5、统筹

计划网络图
关键路径

七、数字图像处理

图像表示
采样 + 量化 = 数字图像的矩阵表示
图像类型：二值、灰度、RGB彩色图像
处理方法
亮度转换、空间滤波、频域变换
应用
水印、加密式隐藏……